专题03 排队问题-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题03 排队问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】由题意，分三步进行分析：
①将名红队队员分成组，有种分组方法，将人的一组看成一个元素，考虑人之间的顺序，有种情况；
②将黄队的人全排列，有种排法，排好后，有个空位；
③在个空位中任选个，安排名红队队员分成的两个组，有种方法，
则人站成一排照相，名红队队员中有且只有两人相邻的站法有种，
故选：A.
例2．（2023·全国·高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（    ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
【答案】D
【解析】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．
故选：D．
例3．（2023春·山西朔州·高二校考阶段练习）名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（   ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，故选A.
例4．（2023·全国·高三专题练习）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
【答案】B
【解析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
由加法计数原理可知共有种方案，
故选：B
例5．（2023·全国·高三专题练习）新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有、、、、、六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（    ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
【答案】C
【解析】因为A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置，
所以先将BCF三个班级全排列,排好后有4个空位，有中排法，
再在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有中排法，
则有种排法.
故选：C.
例6．（2023·全国·高三专题练习）六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（    ）
A．48 B．72 C．90 D．120
【答案】A
【解析】由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，
所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有种排法，其他车辆任意排列，
所以总排法有种.
故选：A
例7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（    ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
【答案】CD
【解析】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误；
B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误；
C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确；
D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确.
故选：CD.
例8．（多选题）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（    ）
A．若甲乙丙顺序固定，共有种站法
B．若甲乙必须站在一起，共有种站法
C．若甲乙不站在一起，共有种站法
D．若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法
【答案】ABC
【解析】对于A，对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全排列，然后除以顺序固定的几个元素的全排列，甲乙丙顺序固定，即先对6个志愿者全排列，再除以顺序固定的甲乙丙3个志愿者，所以，共有种站法，所以，A正确；
对于B，某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列；所以，若甲乙必须站在一起，共有种站法，所以，B正确；
对于C，某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中；若甲乙不站在一起，共有种站法，所以，C正确；
对于D，若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法，所以，D错误.
故选：ABC
例9．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________.
【答案】24
【解析】第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有种排法，故总的排法有＝24(种).
故答案为：24.
例10．（2023·全国·高二专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）分步完成共有种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
例11．（2023·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
【解析】（1）问题即为从7个元素中选出5个全排列，有＝2 520种排法．
（2）前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有＝5 040种排法
（3）相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝＝288(种)．
（4）不相邻问题(插空法)：先安排女生共有种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法，故N＝＝1 440(种)．
例12．（2023·全国·高三专题练习）1.有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？
(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；
(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；
(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；
(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻.
【解析】（1）不妨先将4个男生看作一个整体，有种排法，连同三个女生共4个元素进行排列，有种排法，共有＝576（种）.
（2）先排男生，有种排法，再在他们之间和左右两端共5个空位中插入3个女生，有种排法，故共有＝1 440（种）.
（3）先不考虑三人的顺序，任意排列有种，其中每种有且只有1种符合甲、乙、丙三人顺序一定，∴共有（种）.
（4）先将男生和女生看作两个整体，男生、女生分别全排列，有种排法，再考虑男甲与女乙相邻，有种，故有 （种）.
例13．（2023秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.
(1)选5名同学排成一排：
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端：
(3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(4)全体站成一排，男生彼此不相邻；
【解析】（1）无条件的排列问题,排法有种.
（2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，
所以有种.
（3）相邻问题，利用捆绑法，共有种.
（4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，
所以共有种.
例14．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）有四名男生，三名女生排队照相.
(1)若七个人排成一排，且三名女生必须连排在一起，那么有多少种不同排法数？
(2)若七个人排成一排，且女生不能站在两端，那么有多少种不同排法数？
(3)若七个人排成两排，前排站女生，后排站男生.那么有多少种不同的排法数？
（上述排法数结果，用数字表达）
【解析】(1)由捆绑法知，视三名女生为一整体，后与四名男生共同排序，
所以，不同的排法种数为.
(2)由特殊元素、特殊位置知，由男生站队伍两端，后剩余两名男生与三名女生共同排序.
所以，不同的排法种数为种.
(3)第一步，先排女生，有种不同的排法，
第二步，排男生，有种不同的排法，
由乘法原理知，不同的排法种数为.
例15．（2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）若，，，，五个人按不同的要求排列队伍，求不同的排队方法的种数
(1)，两人不站在一起；
(2)不站在最左边，不站最右边；
(3)如果又来了一位同学，六个人站一排，、站在中间，站在的右边；
(4)若5个人站成两排，其中一排站2个人，另一排站3个人．
【解析】(1)采用插空法，，两人不站在一起有种方法；
(2)当站在最右端，则有种方法，
当不站在最右端，有种方法，所以共有种方法；
(3)六个人站一排，、站在中间，站在的右边，有种方法；
(4)若前排2人，后排3人，共有种方法，若前排3人，后排2人也是120种方法，所以共有240种方法.
例16．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）人站成两排队列，前排人，后排人.
（1）一共有多少种站法；
（2）现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.
【解析】（1）根据题意，将7个人全排列，再将其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可；
则有种排法，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①前排3人有4个空，从甲乙丙3人中选1人插入，有种排法；
②对于后排，若插入的2人不相邻有种，若相邻有种，则后排的安排方法有种；
则有种排法．
例17．（2023春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）7名同学，站成一排排队：
（1）甲站在最中间的排法共有多少种？
（2）甲、乙两名同学相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
【解析】（1）先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列，
共有种排列方法．
（2）先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，再与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法，
∴这样的排法一共有种．
（3）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，
∴一共有种．