数学人教版21.2.1 配方法第2课时教学设计

这是一份数学人教版21.2.1 配方法第2课时教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

21.2.1 配方法
第2课时 用配方法解一元二次方程
一、教学目标
1.了解配方的概念..
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
二、教学重难点
重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)9x2=1 ；(2)(x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2+6x+9 =5；(2)x2+6x+4=0.
[提示]把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方法.
[探究交流]问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1)a2+2ab+b2=(a+b)2；
(2)a2-2ab+b2=(a-b)2.
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+22= ( x+2)2；
（2）x2-6x+32= ( x-3 )2；
（3）x2+8x+42= ( x+4 )2；
（4）x2- 43x+232= ( x-23 )2.
[思考]你发现了什么规律？
[归纳总结]配方的方法：
二次项系数为1的完全平方式；
常数项等于一次项系数一半的平方.
[思考]x2+px+( p2)2=(x+p2)2
【新知探究】
(一)用配方法解方程
[思考]怎样解方程:x2+6x+4=0(1)?
问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？

问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
[归纳总结]方程配方的方法归纳：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
[归纳总结]
1.配方法的定义
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
2.配方法解方程的基本思路：
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
(二)配方法的应用
例1 解下列方程：
1​　x2-8x+1=0； 
解：（1）移项，得x2－8x=－1,
配方，得x2－8x+42=－1+42 ,即( x－4)2=15
由此可得x-4=±１5,
方程的两根为x1=4+15,x2=4-15.
 2　　2x2+1=3x； 
解：（2）移项，得2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得x2-32x=-12
配方，得x2-32x+342=-12+342,,
即x-342=116由此可得x-34=±14
方程的两根为x1=1,x2=12
[思考]移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
 33x2-6x+4=0.
解：（3）移项，得3x2-6x=-4,
二次项系数化为1，得x2-2x=-43
配方，得x-12=-13
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
[思考]用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
移项时需注意改变符号.
[思考]用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
[归纳总结]
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.
① 当p>0时,则x+n=±p,方程的两个根为x1=-n-p,x2=-n+p
② 当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且a2-6a+b2-8b+c-5+25=0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 a-32+b-42+c-5=0
由代数式的性质可知a-32=0,b-42=0,c-5=0,
∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=32+42=52=c2,
所以，△ABC为直角三角形.
例4.读诗词解题：
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.
解：设个位数字为x，十位数字为(x-3).
x2=10(x-3)+x，x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52,
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x1=6, x2=5.∴这个两位数为36或25，
∵周瑜30岁还攻打过东吴，
∴周瑜去世的年龄为36岁.
【课堂小结】

特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
【课堂训练】
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0；（4） 3x2+6x-9=0.
解：（1）x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；
（2）x2-4x-12=0，(x-2)2=16,x1=6,x2=-2.
（3）x2-32x-34=0,x-342=2116,x1=3+214,x2=3-214
(4)x2+2x-3=0， (x+1)2=4, x1=-3,x2=1.
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：(1)原式=2(x-1)2 +3,当x =1时有最小值3;
解：(2)原式=-3(x-2)2 -4,当x =2时有最大值-4.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0, 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 12a-b2+a-c2b-c2=0
由代数式的性质可知 a-b2=0,a-c2=0,b-c2=0,a=b=c,
所以，△ABC为等边三角形.
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 
解：设道路的宽为xm, 根据题意得（35-x)(26-x)=850，
整理得x2-61x+60=0.
解得x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
【布置作业】

【教学反思】
教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.