2024届高考数学一轮复习第5章第4节正弦定理、余弦定理及应用学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第4节正弦定理、余弦定理及应用学案，共24页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第四节　正弦定理、余弦定理及应用
考试要求：1．掌握正弦定理、余弦定理．
2．能用正弦定理、余弦定理解三角形．

一、教材概念·结论·性质重现
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝c2＋a2－2ca cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
cos A＝b2+c2-a22bc；
cos B＝c2+a2-b22ac；
cos C＝a2+b2-c22ab


若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．三角形解的个数

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝b sin A
b sin Asin B⇔cos Ac2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．
(　√　)
(4)在△ABC中，若sin A sin Bcos B，故D错误．故选AC.

考点3　解三角形的综合问题——综合性

考向1　三角形的边、角计算问题
在①3b cos A＝2c sin C－3a cos B，②cos2π2+C＋cosC＝54这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_________．
(1)求角C；
(2)若AB＝3，AC＝2，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)若选条件①：因为3b cos A＝2c sin C－3a cos B，
由正弦定理可得3(sin B cos A＋sin A cos B)＝2sin2C，所以3sin(A＋B)＝2sin2C.
因为A＋B＋C＝π，可得A＋B＝π－C，
所以3sinC＝2sin2C.
因为sinC≠0，所以sin C＝32.
又因为△ABC为锐角三角形，所以C＝π3.
若选条件②：因为cos2π2+C＋cosC＝54，
所以(－sin C)2＋cos C－54＝0，
即1－cos2C＋cosC－54＝0，
所以cos2C－cosC＋14＝0，解得cos C＝12.
因为△ABC为锐角三角形，所以C＝π3.
(2)因为AB＝3，AC＝2，由正弦定理得sin B＝AC·sinCAB＝22.
因为△ABC为锐角三角形，
所以B＝π4，则A＝5π12.
因为CE是角C的平分线，所以∠ACE＝π6，
故∠CEA＝π－π6-5π12＝5π12，所以∠A＝∠CEA，
则△AEC为等腰三角形，所以AC＝CE＝2，故CE的长为2.

正、余弦定理的一般用法原则
(1)“已知两角和一边”采用正弦定理(只有一解)．
(2)“已知两边和其中一边的对角”既可以采用正弦定理，又可以采用余弦定理．
(3)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理．
考向2　与面积有关的问题
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+C2＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A+C2＝sin B sin A.
因为sin A≠0，所以sin A+C2＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin A+C2＝cos B2，故cos B2＝2sin B2cos B2.
因为cos B2≠0，所以sin B2＝12，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.
由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°-CsinC＝32tanC+12.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
由(1)知A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.
因此，△ABC面积的取值范围是38，32.

三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝5c，cos C＝35.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．
解：(1)因为cos C＝35＞0，所以C∈0，π2，且sin C＝1-cos2C＝45，
由正弦定理可得：asinA＝csinC，
即有sin A＝asinCc＝acsin C＝54×45＝55.
(2)因为4a＝5c⇒a＝54c＜c，
所以A＜C，故A∈0，π2，
又因为sin A＝55，所以cos A＝255，
所以sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A·cos C＋cos A sin C＝11525.
由正弦定理可得：asinA＝csinC＝bsinB＝55，
所以a＝55sin A＝5，
所以S△ABC＝12ab sin C＝12×5×11×45＝22.


已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．55 B．255
C．355 D．53
[四字程序]
读
想
算
思
△ABC面积的最大值
1．面积的表达式．
2．以谁为变量
用适当的变量表示S
转化与化归
a2＋b2＋2c2＝8
1．S＝12ah.
2．S＝12ab sin C．
3．边作变量．
4．角作变量．
5．海伦公式
S2＝14a2b2·(1－cos2C)
S≤2sinC3-2cosC
1．基本不等式．
2．函数最值．
3．三角函数的性质


思路参考：余弦定理＋角化边＋二次函数的最值．
B　解析：因为a2＋b2＋2c2＝8，即a2＋b2＝8－2c2，
所以S2＝14a2b2sin2C＝14a2b2(1－cos2C)＝14a2b21-a2+b2-c22ab2
＝14a2b2－8-3c2216≤14a2+b222－8-3c2216
＝－5c416＋c2＝－516c2-852＋45，
故当a2＝b2＝125，c2＝85时，S2有最大值45，
所以△ABC面积的最大值为255.

思路参考：设高转化，利用基本不等式．
B　解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
设AD＝m，BD＝n，CD＝h.
因为a2＋b2＋2c2＝8，所以m2＋n2＋2h2＋2c2＝8.
因为m2＋n2≥m+n22＝c22，当且仅当m＝n时取等号．

故m2＋n2＋2h2＋2c2≥c22＋2h2＋2c2＝5c22＋2h2≥25ch＝45S，
所以S≤255，当且仅当m＝n，c＝255h时取等号．
所以△ABC面积的最大值为255.

思路参考：利用海伦公式S＝pp-ap-bp-c＋基本不等式．
B　解析：p＝12(a＋b＋c)，则p－a＝12(b＋c－a)，p－b＝12(a＋c－b)，p－c＝12(a＋b－c)，
所以S＝pp-ap-bp-c
＝14a+b2-c2c2-b-a2
＝144a2b2-a2+b2-c22.
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以S＝144a2b2-8-3c22，
4a2b2≤(a2＋b2)2＝(8－2c2)2，
所以S≤148-2c22-8-3c22＝1416c2-5c4.
当c2＝85时，S2有最大值45.
所以△ABC面积的最大值为255.

思路参考：建系设点．
B　解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．

不妨令x1>0，y2>0，设A(－x1，0)，
B(x1，0)，C(x2，y2)．
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以x1-x22+y22+x1+x22+y22+8x12＝8，
所以5x12+x22+y22＝4.
因为S＝x1y2，所以25S≤5x12+y22＝4-x22≤4，
所以S≤255，当且仅当x2＝0，5x12＝y22＝2时取等号．
所以△ABC面积的最大值为255.

1．本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助三角函数的性质求最值．对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元．
2．基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为_________．
9　解析：因为a2＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝b2+c2-a22bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3.
方法一：因为a＝3，所以由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝332＝23，所以b＝23sin B，c＝23sin C，
则a＋b＋c＝3＋23sin B＋23sin C＝3＋23sin B＋23sin 2π3-B＝3＋33sin B＋3cos B＝3＋6sin B+π6.
因为B∈0，2π3，所以当B＝π3时，周长取得最大值9.
方法二：因为a＝3，所以由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，所以(b＋c)2－3bc＝9，所以(b＋c)2－9＝3bc≤3·b+c22，所以(b＋c)2≤36.
因为b＋c>0，所以00，有a>c，所以ca＝37，故选B.
3．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A．3π4 B．π3
C．π4 D．π6
C　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A＝2b2(1－cos A)．因为a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A．因为cos A≠0，所以tan A＝1.因为A∈(0，π)，所以A＝π4.故选C.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若23a cos C－3b cos C＝3c cos B，则角C的大小为(　　)
A．π6 B．π4
C．π3 D．2π3
A　解析：因为23a cos C－3b cos C＝3c cos B，所以23sin A cos C－3sin B cos C＝3sin C cos B，所以23sin A·cos C＝3sin (C＋B)＝3sin A．因为A，C∈(0，π)，所以sin A≠0，cos C＝32.又C∈(0，π)，所以C＝π6.故选A.
5．(多选题)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解
C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos B
D．若cos 2A＋cos 2B－cos 2C＜1，则△ABC为锐角三角形
BC　解析：对于A，由正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B，所以sin 2A＝sin 2B，所以A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，a sin B＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B＜b＜a，所以△ABC必有两解，故B正确；对于C，因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞π2，即π2＞A＞π2－B＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A＞sin π2-B＝cos B，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C＜1，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即a2＋b2－c2＞0，所以cosC＞0，即C为锐角，不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误.
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1a+b+1b+c＝3a+b+c，则角B＝_________．
π3　解析：因为 1a+b+1b+c＝3a+b+c，所以 b2＝a2＋c2－ac.又由余弦定理得 cos B＝a2+c2-b22ac＝12，且B∈(0，π)，解得 B＝π3.
7．在△ABC中，设BC＝a，AB＝c，∠ABC为锐角且满足lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2，则△ABC的形状是_________．
等腰直角三角形　解析：由题可知lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2.
因为lg a－lg c＝lg ac，－lg 2＝lg (2)-1＝lg 22，
所以lg ac＝lg sin B＝lg 22，得到ac＝sin B＝22.
因为∠B是锐角，所以∠B＝45°，cos B＝22.
因为ac＝22，
所以a2＝12c2，
b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝12c2＋c2－2·22c2·22＝12c2＋c2－c2＝12c2，
所以a2＝b2＝12c2，所以a2＋b2＝c2.
因此三角形ABC的形状是等腰直角三角形．
8．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝________时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．(写出一个a的具体数值即可)
(1，2)内任一数　解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，所以sin B＝sinAa＝1a.若满足条件的△ABC有两个，则1a