四川省成都市高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份四川省成都市高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上)
1．（4分）（2023春•成都期末）下列图形是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）（2023春•成都期末）已知，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）（2023春•成都期末）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是　　
A． B．
C． D．
4．（4分）（2023春•成都期末）在中，点，是的三等分点，且是等边三角形，则的度数为　　
A． B． C． D．
5．（4分）（2023春•成都期末）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（4分）（2023春•成都期末）化简的结果为　　
A． B． C． D．
7．（4分）（2023春•成都期末）如图，正比例函数是常数，的图象与一次函数的图象相交于点，点的纵坐标为4，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．
8．（4分）（2023春•成都期末）如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接、，若，，则 的周长为　　

A．10 B．14 C．16 D．20
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）（2023春•成都期末）已知分式的值为0，则的值为 　　．
10．（4分）（2023春•成都期末）如果正边形的一个内角与一个外角的比是，则的值为 　　．
11．（4分）（2023春•成都期末）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是 　　．
12．（4分）（2023春•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，小颖不小心将墨汁滴到点的坐标上，已知，，三点的坐标分别为，，，则点的坐标为 　　．

13．（4分）（2023春•成都期末）如图，在中，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则线段的长为 　　．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（2023春•成都期末）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
15．（8分）（2023春•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的△；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的△；
（3）根据（1）（2）画出的图形，求出△的面积．

16．（8分）（2023春•成都期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形．

（1）用1张型卡片，2张型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式因式分解的结果为 　　；

（2）请用1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

17．（10分）（2023春•成都期末）如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的度数．

18．（10分）（2023春•成都期末）如图1，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求线段的长；
（3）如图2，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求线段的长．

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）（2023春•成都期末）已知：，则　　．
20．（4分）（2023春•成都期末）已知不等式组的解集为，则的取值范围是 　　．
21．（4分）（2023春•成都期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么这个正整数称为“和谐数”．例如：因为，所以8是“和谐数”．在不超过200的正整数中，“和谐数”的个数为 　　．
22．（4分）（2023春•成都期末）如图，中，，，为的角平分线，过点作的垂线，垂足为点，则的长为 　　．

23．（4分）（2023春•成都期末）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作射线的垂线，垂足为点，连接，，则的值为 　　．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）（2023春•成都期末）毛笔书法是一种独特的艺术形式，是中华民族传统文化的重要组成部分．随着素质教育的深入，某校积极开展毛笔书法教育活动，现计划购进一批毛笔，已知每支甲种毛笔的价格比每支乙种毛笔的价格多5元，且用1000元购买甲种毛笔的数量与用800元购买乙种毛笔的数量相同．
（1）求甲、乙两种毛笔每支的价格分别是多少元？
（2）若需要购进甲、乙两种毛笔共60支，且购买毛笔的总费用不超过1300元，则最多能购进甲种毛笔多少支？
25．（10分）（2023春•成都期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．

（1）求点的坐标；
（2）点是线段上一动点，直线与轴交于点．
ⅰ若的面积为8，求点的坐标；
ⅱ如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．
26．（12分）（2023春•成都期末）在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点．（1）如图1，，求的度数；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）如图2，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点到的距离最小值时，求出此时的面积．


2022-2023学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上)
1．（4分）（2023春•成都期末）下列图形是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题．
【解答】解：选项、、都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
【点评】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．
2．（4分）（2023春•成都期末）已知，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：，
根据不等式的性质1可得：，，故选项成立、选项不成立；
根据不等式的性质2可得：，故选项不成立；
根据不等式的性质3可得：，故选项不成立．
故选：．
【点评】此题考查的是不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（4分）（2023春•成都期末）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：、，故本选项不符合题意；
、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、，是因式分解，故本选项符合题意；
、，等式的右边不是几个整式的积的形式不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．（4分）（2023春•成都期末）在中，点，是的三等分点，且是等边三角形，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用三角形外角的额性质可求解，，进而可求解．
【解答】解：点，是的三等分点，
，

是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，灵活利用等边三角形的性质解题的关键．
5．（4分）（2023春•成都期末）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
【解答】解：点平移后对应点是点．
线段就是平移距离，
已知，，
．
故选：．
【点评】考查图形平移的性质，关键找到平移前后的对应点．
6．（4分）（2023春•成都期末）化简的结果为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式

．
故选：．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（4分）（2023春•成都期末）如图，正比例函数是常数，的图象与一次函数的图象相交于点，点的纵坐标为4，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求得点的横坐标，再写出直线在直线下方时所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：一次函数的图象经过点，点的纵坐标是4，
，
，即，
由图可得，不等式的解集是．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点的坐标是解决问题的关键．
8．（4分）（2023春•成都期末）如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接、，若，，则 的周长为　　

A．10 B．14 C．16 D．20
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，，
、分别是、的中点，
，，
的周长．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）（2023春•成都期末）已知分式的值为0，则的值为 　2　．
【答案】2．
【分析】直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关性质是解题关键．
10．（4分）（2023春•成都期末）如果正边形的一个内角与一个外角的比是，则的值为 　6　．
【答案】6．
【分析】正多边形的内角都相等，因而每个外角也分别相等，每个相邻的外角，与内角一定互补，又有内角等于一个外角的2倍，就可以求出一个外角的度数．根据多边形的外角和是，就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设外角是度，则内角是度，根据题意得，
，
解得，
所以．
故答案为：6．
【点评】考查了邻补角的定义，多边形的外角和的特征，掌握多边形的外角和的特征是解题的关键．
11．（4分）（2023春•成都期末）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】求得方程的解为，再根据方程的解为负数得出，解之即可得出答案．
【解答】解：解方程得：，
由题意知，，
解得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式．
12．（4分）（2023春•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，小颖不小心将墨汁滴到点的坐标上，已知，，三点的坐标分别为，，，则点的坐标为 　　．

【答案】．
【分析】根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：点的对应点的坐标为，
平移规律为向右平移2个单位，向上平移1个单位，
由到的平移规律为向左平移2个单位，向下平移1个单位，
点的坐标为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．（4分）（2023春•成都期末）如图，在中，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则线段的长为 　　．

【答案】．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到，连接，由作图知垂直平分，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在中，，，，
，
，
连接，
由作图知垂直平分，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．

【点评】本题主要考查了作图基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（2023春•成都期末）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；
（2）无解．
【分析】（1）分别求出不等式①、②的解集，然后找出其公共解集即可；
（2）先确定最简公分母，然后去分母，求出的值，进行检验，最后确定原分式方程解．
【解答】解：（1）解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集是；
（2）原分式方程可化为
，
方程两边乘得，
，
解得，
检验：当时，，因此不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和分式方程，熟练掌握它们的解法是解题的关键，解分式方程注意需验根．
15．（8分）（2023春•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的△；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的△；
（3）根据（1）（2）画出的图形，求出△的面积．

【答案】（1）（2）作图见解析部分；
（3）2．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，△；即为所求；
（2）如图，△即为所求；
（3）△的面积．

【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
16．（8分）（2023春•成都期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形．

（1）用1张型卡片，2张型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式因式分解的结果为 　　；

（2）请用1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

【答案】（1）；
（2）图形见答案；．
【分析】（1）根据大长方形等于小长方形的面积和列式可求解；
（2）根据完全平方公式的几何背景，先拼接出图形，再根据面积法列式可求解．
【解答】解：（1）；
（2）如图所示，．

【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，掌握面积法是解题的关键．
17．（10分）（2023春•成都期末）如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的度数．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：在中，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论．
18．（10分）（2023春•成都期末）如图1，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求线段的长；
（3）如图2，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求线段的长．

【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出的度数，证，即可得出的度数；
（2）过点作于点，过点作于点，分别求出，，然后利用勾股定理求出即可；
（3）连接，得出，，过点做于，设，根据等腰直角三角形的性质和含角直角三角形的性质列方程求解即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
又，，
，
；
（2）过点作于点，过点作于点，

由（1）知，，，
，，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
同理可得，，
，
，
，
即的长为；
（3）连接，过点做于，

，点为中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
即的长为．
【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）（2023春•成都期末）已知：，则　3　．
【答案】3．
【分析】将已知变形为，代入所求式子，计算可得结论．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查了完全平方公式和整式的加减，熟练掌握完全平方公式是关键．
20．（4分）（2023春•成都期末）已知不等式组的解集为，则的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】分别把两个不等式解出来，根据解集为，即可求出的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键．
21．（4分）（2023春•成都期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么这个正整数称为“和谐数”．例如：因为，所以8是“和谐数”．在不超过200的正整数中，“和谐数”的个数为 　25　．
【答案】25．
【分析】根据，可列举出不超过200的正整数中的“和谐数”，再根据规律性计算可得出答案．
【解答】解：，
在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”为：、、、、，
共有（个，
故答案为：25．
【点评】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出规律性是解决问题的关键．
22．（4分）（2023春•成都期末）如图，中，，，为的角平分线，过点作的垂线，垂足为点，则的长为 　　．

【答案】．
【分析】作于，交延长线于，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出．
【解答】解：作于，交延长线于，
平分，
，
，
，
，
，
的面积，
的面积的面积的面积，
，
，
．
故答案为：．

【点评】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由的面积的面积的面积，得到．
23．（4分）（2023春•成都期末）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作射线的垂线，垂足为点，连接，，则的值为 　或　．

【答案】或．
【分析】分两种情况进行讨论，先证、、、四点共圆，得到，再证，得到，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到和的关系，进而解决问题．
【解答】解：，，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
如图1，过点作于点，
是等腰直角三角形，
设，则，则，
，
，
，
；
如图2，过点作于点，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，则，
，，
，
，
，
．
故答案为：或．


【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）（2023春•成都期末）毛笔书法是一种独特的艺术形式，是中华民族传统文化的重要组成部分．随着素质教育的深入，某校积极开展毛笔书法教育活动，现计划购进一批毛笔，已知每支甲种毛笔的价格比每支乙种毛笔的价格多5元，且用1000元购买甲种毛笔的数量与用800元购买乙种毛笔的数量相同．
（1）求甲、乙两种毛笔每支的价格分别是多少元？
（2）若需要购进甲、乙两种毛笔共60支，且购买毛笔的总费用不超过1300元，则最多能购进甲种毛笔多少支？
【答案】（1）甲种毛笔每支25元，乙两种毛笔每支20元；
（2）最多能购进甲种毛笔20支．
【分析】（1）先设购进乙，甲两种毛笔每支各需元和元，根据用1000元购买甲种毛笔的数量与用800元购买乙种毛笔的数量相等列出方程，求出的值即可；
（2）先设购进甲毛笔支，根据题意列出不等式，解答即可．
【解答】解：（1）设购进乙，甲两种毛笔每支各需元和元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，（元，
答：甲种毛笔每支25元，乙两种毛笔每支20元；
（2）先设购进甲毛笔支，乙种毛笔支，根据题意可得：
，
解得：，
答：最多能购进甲种毛笔20支．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一次一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量关系，列出相应的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，有一定的难度．
25．（10分）（2023春•成都期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．

（1）求点的坐标；
（2）点是线段上一动点，直线与轴交于点．
ⅰ若的面积为8，求点的坐标；
ⅱ如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）ⅰ，或；
ⅱ．
【分析】（1）根据题意，易求的函数解析法，点在直线上，可求出点坐标；
（2）ⅰ解：在线段上，且，，设点，分两种情况：①在点右侧时，根据题图表示三角形和三角形、三角形的关系列出方程，即：，解之，得解；②点在点左侧时根据三角形、三角形、三角形三者之间的关系列出方程：，解得：，得解．综上所述：或；
ⅱ出现想到构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再利用勾股定理和方程思想求．
【解答】（1）解：分别与轴，轴交于点，，
，
解得：，
，
时，，
；
（2）Ⅰ解：在线段上，且，，
设点，
分两种情况：
①当在轴正半轴上时，如图：

，，，轴，
，
，
，
，
即：，
，
；
②当在轴负半轴上时，如图：

点，，，，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述：或．
ⅱ过作垂直于轴，垂足为，过作的垂线交轴于点，
，，
，
在与中，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
又，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．

【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等、面积的运算、一线三直角、三角形全等，综合性强，有一定的难度．
26．（12分）（2023春•成都期末）在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点．（1）如图1，，求的度数；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）如图2，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点到的距离最小值时，求出此时的面积．

【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，再根据得出结论即可；
（2）分和两种情况分别求出的长度即可；
（3）先得出当时，点到的距离最小，求出此时的面积即可．
【解答】解：（1）在平行四边形中，，
，
，
，
即的度数为；
（2）①若，如图，

延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
即和都是等腰直角三角形，
，
，，
，
即；
当时，如图：

此时，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
综上所述，线段的长为或；
（3）过点作于点，

，
是等腰直角三角形，
，
若要最小，则最小即可，
即当时，最小，过点作于点，过点作于点，
，
，，
，
时等腰三角形，是的角平分线，
的面积是面积的一半，
即．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识是解题的关键．