6.4 探索三角形相似条件（二~四）-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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6.4探索三角形相似条件（二~四）
【推本溯源】
1.如图，已知▲ABC，作▲A′B′C′，使得∠A=∠A′，
,这两个三角形相似吗？
如果呢？



2.在▲ABC和▲A′B′C′中，∠A=∠A′











因此， 相等得两个三角形相似。
几何语言：




3.已知▲ABC，作▲A′B′C，使得,这两个三角形相似吗?
如果呢？






4.在▲ABC和▲A′B′C′中，，我们可以证明▲ABC~▲A′B′C′吗？





因此， 得两个三角形相似。
几何语言：′


5.在三角形中，三角形中的角平分线、垂直平分线、高线都交于一点，那三角形的三条中线交于一点吗？如图，点D是AB中点，点E是AC中点，
BC上的中线经过点F吗？














因此，三角形的三条中线相较于一i但，这点叫做三角形的重心。
几何语言：







【解惑】
例1：已知的三边长分别是，，，的三边长如以下四个选项所列，若要使，则的三边长分别是（    ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
例2：如图，经平移得到，，交于点，则图中共有相似三角形（   ）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
例3：如图，在中，平分，交于点，若，，则为__________．
例4：如图，在正方形中，是上的点，且，为的中点．
求证：．




例5：设，，是的三条中线，求证：，，三线共点．
  
【摩拳擦掌】
1.在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
2．如图，已知，，若，则的长为（　　）
  
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
4．中，D是上的一点，再在上取一点E，使得与相似，则满足这样条件的E点共有（  ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个



5．如图，直线．分别交直线m、n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为 ___________．

6．如图，、相交于点，，若，，则________．
7．如图，要使和相似，已具备条件________，还需补充的条件是______，或______，或______．
8．在中，点、分别在、的反向延长线上，，若，，则___________．
9．如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
  
(1)在图1中，作的垂直平分线；
(2)在图2中，作直线，使两平行线间的距离为．
10．如图，在与中，，，求证：．
  




11．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形．
  
12．如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知，，，求、的长．

【知不足】
1．如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（    ）

A．同位角相等，两直线平行 B．三角形中位线定理
C．平行线分线段成比例 D．相似三角形的对应边成比例
2．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）
  A． B． C． D．
4．如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且：：，那么：的值为(　　)
  
A．： B．： C．： D．：
5．如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为___________cm.
6．如图，在中，E是的中点，F是上的一点，，延长交的延长线于点G，若，则______．




7．如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为________．
  
8．已知菱形中，，E，F分别在边，上，是等边三角形．

(1)如图1，对角线交于点M，求证：；
(2)如图2，点N在上，且，若，，求的值．







9．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）
  
【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点．
求证：．
  
【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N．
（1）若＝，则线段的长为________；
（2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________．
10．如图在中，，，点P是边上由B向C运动（不与点B， C重合）的一动点，P点的速度是，设点P的运动时间为t，过P点作的平行线交于点N，连接．
  
(1)请用含有t的代数式表示线段的长；
(2)当t为何值时，的面积等于面积的四分之一；
(3)在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得的面积有最大值，若存在请求出t的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由．


【一览众山小】
1．如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（    ）
    
A． B． C．5 D．6
2．如图，直线是矩形的一条对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在与的交点处，若，则的长为（    ）
A．4 B．2 C． D．
3．如图，在菱形中，点O是对角线，的交点，点E是上一点，．若，，，则的长为（    ）  
A．2 B． C． D．3
4．剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为，宽为的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边=______．
  



5．如图.在中，，，，点是边上的动点，过点作，交边于点，是边上一点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，且，则的值是______.

6．在四边形中，，若，，则的长为___________．  
7．如图，已知菱形中，，E，F分别在边，上，是等边三角形，对角线交于点M，点N在上，且．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
8．在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．
  
(1)在图1中上找点，使平分；再在上找点，使；
(2)在图2中上找点、，使；再在下方找点，使且．
9．如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：
  
(1)；
(2)．


10．如图，在中，点D在线段上，，，，，求的长．
  


11．如图，、、都垂直于直线，，，，求的长
  




12．如图，在中，为上一点，且满足．
  
(1)求证：；
(2)当时，，，求的长．







13．请阅读下列材料，非完成相应的任务．
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
举例：如图1，是的中线，，的延长线交于点F．
求的值．
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作交于点H．
∵是的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
…
    

任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想    B．转化思想    C．分类思想    D．整体思想
(3)请你换一种思路求的值，直接写出辅助线的作法即可．