2.5 直线与圆的位置关系-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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2.5直线与圆的位置关系
【推本溯源】
1.回顾一下点与圆的位置关系，那么直线与圆有几种关系呢？
点在圆内，点在圆上，点在圆外；
直线与圆的位置关系：
（1） 相交：直线与圆有 公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的 （如右图l1）；
（2）相切：直线和圆有 公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的 ，唯一的公共点叫做 ；（如右图l2）．
（3）相离：直线和圆 公共点时，叫做直线和圆相离。（如右图l3）


2.







2. 点与圆的位置关系我们是用点到圆心距离与半径比较，那直线与圆的位置关系怎么表示出来？
设圆心到直线的距离为r
当 时，相交；
当 时， 相切；
当 时，相离。


同样地，当相交时， ；当相切时， ；当相离时， 。

3.如右图，经过圆O的半径OD外端点D，作直线l⊥OD，直线l与圆O是怎样
的关系？






因此，经过半径 直线是圆的切线。
注：① ；② 。
几何语言：



4.如图，直线l是圆O的切线，切点为D，直线l与半径OD有怎样
的关系？







因此，圆的切线垂直于 的半径。

5.（1）做一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？
根据在角得内部到角两边距离相等得点在角得平分线上
可得圆心O是三个内角平分线得交点。







（2）画出右图▲ABC里面最大的圆







因此， 圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是 ，叫做三角形的 . 三角形的内心到三边的距离都 .这个三角形是圆的 三角形。
如图：▲ABC的面积、周长与内切圆半径之间的关系是？









因此，三角形的面积等于 。

6.如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B.PA与PB相等吗？









，叫做这点到圆的切线长.
因此，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 ，这一点和圆心的连线平分 .
几何语言：
【解惑】
例1：已知平面内有与直线，的半径为，点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（    ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
例2：如图，是的切线，切点为，连接与交于点，点为上一点，连接，．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
例3：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒．
  例4：已知圆P的半径是，圆心P在函数的图像上运动，当圆P与坐标轴相切时，圆心P的坐标为__________．
例5：如图，以的一边为直径的，交于点D，连接，，已知．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【摩拳擦掌】
1．（2023·陕西商洛·校考三模）如图，为的切线，为切点，的延长线交于点，若的度数是，则的度数是（    ）
  
A．18° B．24° C．25° D．27°
2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，AB是的直径，BC是的切线，点B是切点，AC交于点D，，则的度数为（    ）
A．40° B．60° C．80° D．100°


3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为（　　）
  
A． B． C． D．
5．（2023·广东广州·广州四十七中校考三模）如图，是的直径，是的切线，若，则_______．
6．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，、是的切线，A、为切点，点、在上．若，则的度数是________．
7．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________．
  
8．（2023·湖南·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________．
9．（2023·全国·九年级假期作业）如图，的直径，弦于点H，．
(1)求的长；
(2)延长到P，过P作的切线，切点为C，若，求的长．
10．（2022秋·九年级单元测试）如图，，，当的半径r为何值时，与直线相离？相切？相交？
  
11．（2023·山东聊城·统考二模）如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点E，且平分∠DAB．

(1)求证：直线是的切线；
(2)连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．
【知不足】
1．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图所示，是的直径，点C在的延长线上，与相切，切点为D，如果，那么等于（    ）．
  A．15° B．20° C．35° D．55°

3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与 的延长线交于点E，则与的数量关系是（　　）
  
A． B．
C． D．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 ___________．
5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________．
6．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为________．
  
7．（2023·福建·统考中考真题）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：平分．




8．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接交于点M，F是上的一点，且，连接．
  
(1)求证：；
(2)求证：是的切线．
9．（2023·全国·一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．作于点F，于点G．
  
(1)求证：是的切线．
(2)已知，，求的半径．
10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：点是外一点．
  
(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．

【一览众山小】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·江苏·九年级假期作业）点P的坐标为，点是垂直于y轴的直线l上的一点，经过点P，且与直线l相切于点A，则点M的纵坐标为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2023·重庆·西南大学附中校考三模）如图，是的切线，A，B为切点，若，，则的长度为（    ）
A．6 B． C． D．
4．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内能容纳的最大圆的直径是多少？”你的答案是（    ）
A．3步 B．4步 C．6步 D．17步
5．（2023·江苏·九年级假期作业）已知的直径与弦的夹角为，过点作的切线交的延长线于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·广西河池·校联考一模）如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则______．


 
7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是___________．

8．（2023·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是_____________．
9．（2023·黑龙江·统考中考真题）矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是__________．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．
(1)求证：；
(2)连接，若，的半径为，，求的长．





11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，是的切线，是的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
(1)求证：；
(2)若的半径5，，求线段的长．




12．（2023·福建福州·福建省福州铜盘中学校考模拟预测）如图，为的直径，C、D为上的两个点，，连接，过点D作交的延长线于点E．
  
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，，过B、C两点，且是的切线，连接交劣弧于点P．

(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径．
14．（2023·安徽合肥·校考三模）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．连接，．
  
(1)若，求的度数；
(2)若点是的中点，，求的长．