1.2 一元二次方程的解法（四）-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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1.2一元二次方程的解法（四）
【推本溯源】
1.用配方法解一元二次方程
配方法 公式法：








2.那还有其他方法解吗？
我们可以对进行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.
因此，当一个一元二次方程的一边为 ，另一边能分解成为两个 的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个 ，这种解一元二次方程的方法叫做 。

3.常见的因式分解法的类型
方法
常见类型
因式分解的形式
方程的解
提公因式法
x²±bx=0
x（x±b）=0

平方差法
x²-a²=0
（x+a）（x-a）=0

完全平方法
x²±2ax+a²=0
（x±a）²=0

十字相乘法
x²±（a+b）x+ab=0
（x±a）（x±b）=0


4.因式分解法的步骤
（1）移项： ；
（2）化积： ；
（3）转化： ；
（4）求解： 。





5.用对应的因式分解法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【解惑】
例1：方程的根是（ ）
A． B． C． D．
例2：方程的根是______．
例3：如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？__________．（填“可能”或“不可能”）
例4：若规定符号的意义：．
（1）计算：__________．
（2）若，则，的值为__________．
例5：用适当的方法解下列各一元二次方程：
(1)；
(2)（用配方法）；
(3)；
(4)；
(5)．
【摩拳擦掌】
1．（2023·全国·九年级假期作业）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是(　　)
A． B． C．或 D．或或
2．（2023·江苏·九年级假期作业）方程：的较小的根是（   ）
A． B． C． D．
3．（2023春·上海徐汇·八年级上海市园南中学校考阶段练习）方程的根是（    ）
A．0， B．， C．0， D．，0，
4．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2023·江苏苏州·统考三模）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是_________________．
6．（2023秋·广东茂名·九年级统考期末）已知一元二次方程，则它的两个根是，______．
7．（2023·全国·九年级假期作业）方程的解为________．
8．（2023·全国·九年级假期作业）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是__________．

9．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列方程：
(1)
(2)




11．（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．

【知不足】
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（    ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(    )
A．1 B． C． D．2
3．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）方程的解是（    ）
A． B． C．， D．，

4．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．
5．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）若代数式的值与的值相等，则x的值为 ___________．
7．（2023春·上海浦东新·八年级上海市进才中学校考阶段练习）在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，，那么直角梯形的面积是______．
  
8．（2023·山西阳泉·统考一模）阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务．
邻根方程
如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
任务：
(1)判断：方程 ______ “邻根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于的一元二次方程是常数是“邻根方程”，求的值．


9．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．

10．（2023·江苏·九年级假期作业）我们已探索过二元一次方程组、分式方程及一元二次方程方程的解法，在学习过程中感受到转化数学思想及检验反思的数学方法．
(1)你能否用这些数学思想方法来探索方程的解？
(2)在求解的过程中，你有何疑惑，请尝试解决这些疑惑？



【一览众山小】
1.（2023·云南楚雄·统考二模）已知，则代数式（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023·全国·九年级假期作业）在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（    ）
  
A． B．
C．或 D．或
4．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（    ）
  
A． B． C．或 D．或
5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江苏·八年级期末）当______时，函数是反比例函数．
7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，交于点D，垂足为C，连接，过点B作轴，垂足为E．若的面积为1，D为的中点． 
（1）四边形的面积为___________；
（2）k的值为___________；
（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程的两个不同实根，则点E到直线的距离为___________．
8．（2023·上海·八年级假期作业）已知正比例函数，那么它的图像经过____________象限．




9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．
  
10．（2023·安徽六安·统考二模）如图是用棋子摆成的图案：
  
根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有__________颗棋子；
(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）是__________，
(3)请求出第多少个图形中棋子的个数是274个．

11．（2023·河南驻马店·统考三模）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（），例如：当时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，______．
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与的和为6325，求a的值．

12．（2023·江苏·九年级假期作业）按要求解方程：
(1)直接开平方法：；
(2)配方法：；
(3)公式法：；
(4)因式分解法：；





13．（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】

【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．




14．（2023·全国·九年级假期作业）解方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．