中考数学二轮精品专题复习 图形的相似

这是一份中考数学二轮精品专题复习 图形的相似，共109页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的相似》
一．选择题（共18小题）
1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．1或32 D．1或2
2．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　）

A．2−1 B．5−1 C．2+1 D．5+1
3．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）

A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
4．（2023•东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为32；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM＝62．
其中正确的是（　　）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
5．（2023•绥化）如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H．则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB2＝BF•AE
②S△BGF：S△BAF＝2：3
③当AB＝a时，BD2﹣BD•HD＝a2

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2023•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是（　　）
①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF＝22；⑤EP•DH＝2AG•BH．

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
7．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E．若AD＝2，BD＝3，则AEAC的值是（　　）

A．25 B．12 C．35 D．23
8．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
9．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（　　）

A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
10．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（　　）

A．1 B．32 C．2 D．3
11．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（　　）

A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
12．（2023•金昌）若a2=3b，则ab＝（　　）
A．6 B．32 C．1 D．23
13．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
14．（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
15．（2023•重庆）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　）

A．4 B．9 C．12 D．13.5
16．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　）

A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
17．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
18．（2023•台湾）如图，正方形ABCD与△EBC中，AD 分别与EB、EC相交于F点、G点，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为何（　　）

A．3：5 B．3：6 C．3：7 D．3：8
二．填空题（共14小题）
19．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 　 　．

20．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为 　 　．

21．（2023•内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号）

22．（2023•鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，则OPOE的值是 　 　．

23．（2023•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 　 　.（结果用含a，b的式子表示）

24．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 　 　．

25．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A（9，3），则A1点的坐标是 　 　．

26．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　 　．

27．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则BC的长是 　 　（结果保留π）；
（2）若CFAF=13，则CEAE=　 　．

28．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若AEEB=23，则S△ADFS△AEF=　 　．

29．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　 　m．

30．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k，若AD＝DF，则CFFA=　 　（结果用含k的代数式表示）．

31．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　 　，点A2023的坐标为 　 　．

32．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 　 　cm．（结果保留根号）
​
三．解答题（共17小题）
33．（2023•赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求EFNM的值．

34．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．

35．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

36．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若DGCG=12，求BECE的值．

37．（2023•黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH=3FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

38．（2023•福建）阅读下列材料，回答问题．
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm；
（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM=a3m，CN=b3m；测得MN＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM=a3，CN=b3，
∴CMCA=CNCB=13，又∵①　 　，
∴△CMN∽△CAB，∴MNAB=13．
又∵MN＝c，∴AB＝②　 　（m）．
故小水池的最大宽度为***m．

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 　 　；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
39．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
​
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
40．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．

41．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．

42．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=32，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．
（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；
（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；
（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ=154x﹣3时，求MN的长．

43．（2023•江西）课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．

知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．
44．（2023•宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．

（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．
①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；
②如图2，当tan∠FCE=23时，求AF的长；
（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE=13时，求证：AE＝AF．
45．（2023•苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=5，BC＝25，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．

46．（2023•云南）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．

47．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．

48．（2023•达州）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求AEEB的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+53EF的值．
​
49．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若AC＝9，BD=3，求线段AD的长；
（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；
（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时NQCP的值．


2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的相似》
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．1或32 D．1或2
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】由直角三角形的性质可求AC＝2BC＝4，AB＝23，∠C＝60°，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝23，∠C＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD=3，
∵ADAB=DEBC，
∴DE＝1，
如图，当∠ADE＝90°时，

∵∠ADE＝∠ABC，ADAB=DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADBC=12，
∴AE＝2，
如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，

∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH∥BC，DH=12BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，
∴∠DEH＝60°，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
2．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　）

A．2−1 B．5−1 C．2+1 D．5+1
【考点】相似多边形的性质；解一元二次方程﹣公式法；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】设HG＝x，根据矩形的性质可得∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，再根据折叠的性质可得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得AD＝HE＝1，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：设HG＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，
由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，
∴四边形ADHE是矩形，
∵AD＝DH，
∴四边形ADHE是正方形，
∴AD＝HE＝1，
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
∴GHAD=HEDC，
∴x1=11+x+1，
解得：x=2−1或x=−2−1，
经检验：x=2−1或x=−2−1都是原方程的根，
∵GH＞0，
∴GH=2−1，
∴DC＝2+x=2+1，
故选：C．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程﹣公式法，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），正方形的判定与性质熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
3．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）

A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ADDE=ACDB，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴AD2.4=5x4x，
∴AD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
4．（2023•东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为32；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM＝62．
其中正确的是（　　）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．
【分析】①先根据正方形的性质证得△ADE和△DCF全等，再利用ASA证得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；
②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出DO=22，即PM+PN的最小值22；
③先证△DGE∽△ADE，再根据相似三角形的性质及CF＝DE，即可判断；
④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC﹣BF＝DC﹣CE，
即CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝BD=42，
∴DO=12BD=22，
即PM+PN的最小值为22，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DGE＝∠ADC，
又∵∠DEG＝∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴DEAE=GEDE，
即DE2＝GE•AE，
由①知CF＝DE，
∴CF2＝GE•AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝4，
又DO=22，
∴S△ADM=12AM⋅DO=12×4×22=42，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
5．（2023•绥化）如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H．则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB2＝BF•AE
②S△BGF：S△BAF＝2：3
③当AB＝a时，BD2﹣BD•HD＝a2

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】①根据题意可得∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，则cos∠ABF＝cos∠EAD，即 BFAB=ADAE，又AB＝AD，即可判断①；②设正方形的边长为a，根据勾股定理求得AF，证明△GAB∽△GED，根据相似三角形的性质求得GE，进而求得FG，即可判断②；过点H分别作BF，AE的垂线，垂足分别为M，N 根据②的结论求得BH，勾股定理求得BD，即可判断③．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝AD，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，
∴cos∠ABF＝cos∠EAD，
即 BFAB=ADAE，
又AB＝AD，
∴AB2＝BF•AE．
故①正确；
设正方形的边长为a，
∵点E为边CD的中点，
∴DE=a2，
∴tan∠ABF=tan∠EAD=12．
在Rt△ABE中，
AB=AF2+BF2=5AF=a，
∴AF=55a．
在Rt△ADE中，
AE=AD2+DE2=5a2，
∴EF=AE−AF=52a−55a=3510a．
∵AB∥DE，
∴△GAB∽△GED，
∴AGGE=ABDE=2，
∴GE=13AE=56a，
∴FG=AE−AF−GE=52a−55a−56a=2515a，
∴AFFG=5515a=32，
∴S△BGF：S△ABF＝2：3．
故②正确；
∵AB＝a，
∴AD＝AB＝a，
∴BD2＝AB2+AD2＝2a2，
如图所示，过点H分别作BF，AE的垂线，垂足分别为M，N，如图，

又∵BF⊥AE，HM⊥BF，HN⊥AE，
∴四边形FMHN是矩形，
∵FH是∠BFG的角平分线，
∴HM＝HN，
∴四边形FMHN是正方形，
∴FN＝HM＝HN，
∴BF=2AF=255a，FG=2515a，
∴MHBM=FGBF=13．
设MH＝b，则BF＝BM+FM＝BM+MH＝3b+b＝4b，
在Rt△BMH中，
BH=BM2+MH2=10b．
∵BF=255a，
∴255a=4b，
解得：b=510a．
∴BH=10×510a=22a，
∴BD2﹣BD•HD＝2a2−2a×22a＝a2．
故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性 质与判定是解题的关键．
6．（2023•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是（　　）
①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF＝22；⑤EP•DH＝2AG•BH．

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，对每个选项的结论逐一判断，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，DA＝AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠AED＝∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∠ABF=∠DAE=90°∠BFA=∠AEDAB=DA，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE．
故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE．
故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF＝90°，
∵∠AMF＝∠ABF＝90°，
∴∠AMF+∠CMF＝180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF＝45°，
∴∠MFC＝90°﹣∠MCF＝45°，
由翻折的性质可得：∠HBF＝∠HMF＝45°，BF＝MF，
∴∠HMF＝∠MFC，∠HBC＝∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∵BF＝MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，如图，

设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BF＝a，
在Rt△AED中，
DE=AD2+AE2=5a=AF，
∵∠AHD＝∠FHB，∠ADH＝∠FBH＝45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴FHAH=BFAD=a2a=12，
∴AH=23AF=253a．
∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，
∴△AGE∽△ABF，
∴AEAF=EGBF=AGAB=a5a=55，
∴EG=55BF=55a，AG=55AB=255a，
∴DG=ED−EG=455a，GH=AH−AG=4515a．
∵∠BHF＝∠DHA，
∴在Rt△DGH中，
tan∠BHF=tan∠DHA=DGGH=3，
故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴BHDH=12，
∴BH=13BD=13×22a=223a，DH=23BD=23×22a=423a．
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得：EP=2EG=255a，
∴EP•DH=255a•423a=81015a2，2AG•BH＝2×255a•223a=81015a2，
∴EP•DH＝2AG•BH，
故⑤正确．
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求 做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．
7．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E．若AD＝2，BD＝3，则AEAC的值是（　　）

A．25 B．12 C．35 D．23
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出AEAC=ADAB，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AEAC=ADAB=ADAD+BD=22+3=25．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
8．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【考点】黄金分割；算术平均数；中位数；众数；统计量的选择．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，算术平均数，中位线，众数，统计量的选择，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
9．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（　　）

A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出 FBED=FDECD，由已知得出 NFME=BFDE，则 FDEC=NFME，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出S△MMC=12S△DMC=12SMNC，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接ND，

∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．
∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．
∴FBED=FDEC，
∵DM＝2ME，BN＝2NF，
∴NF=13BF，ME=12DE．
∴NFME=BEDE
∴FDEC=NFME，
又∵∠NFD＝∠MEC，
∴△NFD∽△MEC．
∴∠ECM＝∠FDN．
∵∠FDB＝∠ECD，
∴∠MCD＝∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S△MNC＝S△MDC．
∵DM＝2ME，
∴S△MCC=12S△DMC=12S△MCC．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（　　）

A．1 B．32 C．2 D．3
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴EF＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
11．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（　　）

A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
【考点】位似变换；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】规律型；图形的相似；推理能力．
【分析】根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、点的坐标的变化规律，根据点的坐标的变化情况正确找出规律是解题的关键．
12．（2023•金昌）若a2=3b，则ab＝（　　）
A．6 B．32 C．1 D．23
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵a2=3b，
∴ab＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
13．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点F的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
14．（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；几何直观．
【分析】根据位似中心的定义作答．
【解答】解：如图：

△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），则位似中心的坐标为（﹣1，0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握“位似中心”的确定方法．
15．（2023•重庆）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　）

A．4 B．9 C．12 D．13.5
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】常规题型；应用意识．
【分析】根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．
∴ABED=ACEC=BCDC=23，
∴当AB＝6时，DE＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
16．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　）

A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABDE=BCCD，
即1.6DE=210，
∴DE＝8（m），
故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
17．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
18．（2023•台湾）如图，正方形ABCD与△EBC中，AD 分别与EB、EC相交于F点、G点，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为何（　　）

A．3：5 B．3：6 C．3：7 D．3：8
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】由正方形的性质可求S△BGC＝8，BC＝4，由面积的和差关系可求S△BCE＝14，即可求EM＝7，EN＝3，由相似三角形的判定和性质可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，交AD于N，

∵AD∥BC，
∴EM⊥AD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB＝MN，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴S△BGC＝8，BC＝4，
∵△EBG的面积为6，
∴S△BCE＝14=12×BC•EM，
∴EM＝7，
∴EM＝3，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴FGBC=ENEM=37，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二．填空题（共14小题）
19．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 　（4，6）　．

【考点】位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【分析】根据四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，可得四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点B′的坐标．
【解答】解：∵四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，
∴四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，
∵点B（2，3），
∴第一象限内点B′的坐标为（4，6）．
故答案为：（4，6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为 　45　．

【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到ADAB=AEAC，由旋转的性质得到
∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到BDEC=ABAC=810=45．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=82+62=10．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC．
∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴BDEC=ABAC=810=45．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
21．（2023•内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是 　①③④　．（填写所有正确结论的序号）

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；图形的相似；推理能力．
【分析】根据正五边形的性质得出各角、各边之间的关系，然后由各角之间的关系以及相似三角形的判定与性质，菱形的判定分别证明即可．
【解答】解：①∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝EAB=(5−2)×180°5=108°，
在△ABC中，∠ABC＝108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA=180°−108°2=36°，
同理可得，∠DCE＝∠DEC＝∠EAD＝∠EDA＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD﹣∠BCA﹣∠DCE＝108°﹣36°﹣36°＝36°，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CF平分∠ACD，
故①正确；
②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠AFC＝∠DFE，
∴AFDF=ACDE，
∵ACDE=ACAB≠2，
∴AFDF≠2，
即AF≠2DF，
故②错误；
③∵∠BAC＝∠ACE＝36°，
∴AB∥FC，
∵∠EAB＝108°，∠EAD＝36°，
∴∠DAB＝∠EAB﹣∠EAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠ABC＝108°，
∴∠ABC+∠DAB＝108°+72°＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCF是菱形，
故③正确；
④∵∠DEF＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE，
∴△DEF∽△DAE，
∴DEAD=EFAE，
∵DE＝AE＝AB，
∴ABAD=EFAB，
即AB2＝AD•EF，
故④正确；
综上，正确的结论是：①③④；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
22．（2023•鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，则OPOE的值是 　53　．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理的证明．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】设直角三角形是长直角边是a，短直角边是b，由△AHQ∽△CEQ，得到AH：CE＝HQ：EQ，因此b：a＝（a−53b）：23b，推出a＝2b，由勾股定理求出BC=5b，由△QEO∽△QCB，
得到QOOE=QBBC=53，而OP＝OQ，于是得到OPOE的值．
【解答】解：设直角三角形是长直角边是a，短直角边是b，
∴BE＝b，EH＝a﹣b，
∵BE：EQ＝3：2，
∴EQ=23b，
∴QH＝EH﹣EQ＝a﹣b−23b＝a−53b，
∵AH∥EC，
∴△AHQ∽△CEQ，
∴AH：CE＝HQ：EQ，
∴b：a＝（a−53b）：23b，
∴3a2﹣5ab﹣2b2＝0，
∴a＝2b，
∴BQ＝BE+EQ＝b+23b=53b，
∵∠BEC＝90°，BE＝b，CE＝a＝2b，
∴BC=BE2+CE2=5b，
∵∠QEO＝∠QCB＝45°，∠EQO＝CQB，
∴△QEO∽△QCB，
∴QOOE=QBBC=53b5b=53，
∵赵爽弦图是中心对称图形，
∴OP＝OQ，
∴OPOE=53．
故答案为：53．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由△AHQ∽△CEQ，得到直角三角形长直角边的长是短直角边长的2倍，由△QEO∽△QCB，即可解决问题．
23．（2023•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 　（6﹣2a，﹣2b）　.（结果用含a，b的式子表示）

【考点】位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，则∠ANC′＝∠AMC＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，
则∠ANC′＝∠AMC＝90°，
∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，
∴ACAC′=12，
∵∠NAC′＝∠CAM，
∴△ACM∽△AC′N，
∴AMAN=CMC′N=ACAC′，
∵点A（2，0），点C（a，b），
∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，
∴AM＝a﹣2，
∴a−2AN=bC′N=12，
∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，
∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，
∴点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b），
故答案为：（6﹣2a，﹣2b）．

【点评】本题考查的是位似变换和坐标与图形性质，掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
24．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 　1：3　．

【考点】位似变换．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
25．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A（9，3），则A1点的坐标是 　（3，1）　．

【考点】位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；几何直观．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且ABA1B1=3，点A（9，3），
∴13×9＝3，13×3＝1，
即A1点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
26．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　15　．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴ABAD=BFDE，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴420=BF10，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴ACAD=CKDE，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴1020=CK10，
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积=12（HK+GF）•GH
=12×（1+4）×6
＝15．
故答案为：15．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
27．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则BC的长是 　π　（结果保留π）；
（2）若CFAF=13，则CEAE=　24　．

【考点】平行线分线段成比例；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出BC的长；
（2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出EBAB=13，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴∠BOC＝60°，OB＝3，
∴BC的长=60π×3180=π；
故答案为：π；
（2）如图，连接OC，
∵点C为BD的中点，
∴BC=DC，
∴OC⊥BD，
又∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴EC∥BD，
∵CFAF=13，
∴EBAB=13，
设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC=32x，EO=52x，AE＝4x，
∴EC=EO2−OC2=(52x)2−(32x)2=2x，
∴CEAE=2x4x=12．
故答案为：12．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键．
28．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若AEEB=23，则S△ADFS△AEF=　52　．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得AECD=EFDF=25，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AEBE=23，
∴设AE＝2a，则BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AECD=EFDF=25，
∴S△ADFS△AEF=52，
故答案为：52．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
29．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　6　m．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到ABBD=AQQP，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABC∽△AQP，
∴ABBD=AQQP，
即4020=12QP，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：6
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
30．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k，若AD＝DF，则CFFA=　k22−k2　（结果用含k的代数式表示）．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC=12k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF=12k2•AB，即可求出CFFA的值．
【解答】解：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴ABEC=BCCF，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴BEBC=BDBA=12，
∴EC=12BC，
∵BCAB=k，
∴BC＝k•AB，
∴EC=12k•AB，
∴AB12k⋅AB=k⋅ABCF，
∴CF=12k2•AB，
∴CFFA=CFAC−CF=CFAB−CF=12k2⋅ABAB−12k2⋅AB=k22−k2．
故答案为：k22−k2．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．
31．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　22023　，点A2023的坐标为 　（22022，﹣22022⋅3）　．

【考点】相似三角形的性质；规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；图形的相似．
【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．
【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，
∴△A2023OB2023的边长为22023，
∵2023÷6＝337…1，
∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022•3）．
故答案为：22023，（22022，﹣22022⋅3）．
【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型—点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
32．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 　（805−160）　cm．（结果保留根号）
​
【考点】黄金分割．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，
∴AC=5−12AB=5−12×80＝（405−40）cm，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，
∴DB=5−12AB=5−12×80＝（405−40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（405−40）﹣80＝（805−160）cm，
∴支撑点C，D之间的距离为（805−160）cm，
故答案为：（805−160）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
三．解答题（共17小题）
33．（2023•赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求EFNM的值．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究一】证明△CNM≌△CNH，即可得证；
【探究二】根据正方形的性质证明∠CEF＝∠FNB，根据三角形内角和定理得出∠CEF＝∠FNB，加上公共角∠ECF＝∠NCM，进而可证明；
【探究三】，先证明△ECD∽△NCA，得到∠CED＝∠CNA，ECCC=CDAC=12，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上，得出△NCG≌△NCM，根据全等三角形的性质得出∠MNC＝∠GNC，进而得到∠CNM＝∠CEF，可证明△ECF∽△NCM，根据相似三角形的性质得出EFNM=ECNC=CDAC=12，即可得出结论．
【解答】【探究一】证明：∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上，
∴CM＝CH，∠MCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MCH﹣∠MCN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MCN＝∠HCN，
在△CNM和△CNH中，
CM=CH∠MCN=∠HCNCN=CN，
∴△CNM≌△CNH（SAS），
∴∠CNM＝∠CNH；
【探究二】证明：如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA＝45°，
∵∠MCN＝45°，
∴∠FBN＝∠FCE＝45°°，
∵∠EFC＝∠BFN，
∴∠CEF＝∠FNB，
∵∠CNM＝∠CNH，
∴∠CEF＝∠CNM，
∵公共角∠ECF＝∠NCM，
∴△CEF∽△CNM；
【探究三】解：∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠CDA+∠EDM＝135°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝135°，
∴∠CDE＝∠CAN，
∵∠MCN＝∠DCA＝45°，
∴∠MCN﹣∠DCN＝∠DCM﹣∠DCN，
即∠ECD＝∠NCA，
∴△ECD∽△NCA，
∴∠CED＝∠CNA，ECCC=CDAC=12，
如图所示，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上，

∴MC＝GC，∠MCG＝90°，
∴∠∠NCG＝∠NCM＝45°，
∵CN＝CN，
∴△NCG≌△NCM（SAS），
∴∠MNC＝∠GNC，
∵∠CNA＝∠CEF，
∴∠CNM＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠NCM，
∴△ECF∽△NCM，
∴EFNM=ECNC=CDAC=12，
即EFNM=22．
【点评】本题是相似形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．
34．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；
（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴BDBA=BABC，
∴BD6=610，
∴BD＝3.6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
35．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；
（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；
（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
36．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若DGCG=12，求BECE的值．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．证明△EAJ≌△FEC（SAS），推出∠AJE＝∠ECF，可得结论；
（2）结论：∠GCF=32α﹣90°；在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．证明方法类似；
问题拓展解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．用m表示出BE，CE，可得结论．
【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；

（2）结论：∠GCF=32α﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．

∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴∠BNE=90°−12a，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD=(90°+12a)−(180°−a)=32a−90°；

问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．

DGCG=12，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴PD=32m，AP=323m，
∴α＝120°，
由（2）知，∠GCF=32a−90°=90°，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴APCF=PGCG，
∴33mCF=52m，
∴CF=635m，
由（2）知，BE=33CF=65m，
∴CE=95m．
∴BECE=23．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
37．（2023•黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH=3FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】如图②；连接AH，CE，AF，根据等腰直角三角形的性质得到AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=12BC，AF=EF=12DE，求得∠CAH＝∠EAF＝45°，根据相似三角形的性质得到CE=2FH，根据三角形中位线定理得到CE＝2FG，于是得到FH=2FG；
如图③；连接AH，CE，AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=12×120°=60°，根据相似三角形的性质得到CE＝2FH，根据三角形中位线定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG．
【解答】解：如图②；FH=2FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=12BC，AF=EF=12DE，
∴∠CAH＝∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAC，AHAC=AFAE=22，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHCE=AHAC=22，
∴CE=2FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，
∴FH=2FG；
如图③；FH＝FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，
∵点F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=12×120°=60°，
∴∠HAF＝∠EAC，AHAC=AFAE=12，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHCE=AHAC=12，
∴CE＝2FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，
∴FH＝FG；

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
38．（2023•福建）阅读下列材料，回答问题．
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm；
（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM=a3m，CN=b3m；测得MN＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM=a3，CN=b3，
∴CMCA=CNCB=13，又∵①　∠C＝∠C　，
∴△CMN∽△CAB，∴MNAB=13．
又∵MN＝c，∴AB＝②　3c　（m）．
故小水池的最大宽度为***m．

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 　相似三角形的判定和性质　；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
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【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可；
（2）利用相似三角形的判定和性质；
（3）（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β；（ii）用皮尺测得 BC＝am．由此求解即可，
【解答】解：（1）①由测量知，AC＝a，BC＝b，CM=a3，CN=b3，
∴CMCA=CNCB=13，
又∵∠C＝∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴MNAB=13．
又∵MN＝c，
∴AB＝3c（m）．
故答案为：∠C＝∠C； ②3c；

（2）求得AB用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质．
故答案为：相似三角形的判定与性质；

（3）测量过程：（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β；
（ii）用皮尺测得 BC＝am．

求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a．
过点C作 CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CBD中，cos∠CBD=BDBC，
即 cosα=BDa，所以BD＝acosα．
同理，CD＝asinα．
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，
即 tanβ=asinαAD，所以 AD=asinαtanβ，
所以 AB=BD+AD=acosα+asinαtanβ(m)．
故小水池的最大宽度为 (acosα+asinαtanβ)m．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
​
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．
【分析】（1）由DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，得∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，又AB＝AC，AO⊥BC，可得∠BAO＝∠DFC，根据∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°有∠EDA＝∠M，故△ADE∽△FMC；
（2）设BC与DF的交点为I，由∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，有△BID∽△FIC，BlFI=DlCl，即BIDI=FICl，可得△BIF∽△DIC，即得∠IBF＝∠IDC＝90°，从而∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）延长ON交BF于点T，连接DT，DO，由∠FBI＝∠BOA＝90°，知BF∥AO，∠FTN＝∠AON，而N是AF的中点，有AN＝NF，可得△TNF≌△ONA（AAS），从而NT＝NO，FT＝AO，可证FT＝CO，△DFT≌△DCO（SAS），得DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，即可得∠ODT＝∠CDF＝90°，故ND=12TO=NO．
【解答】（1）证明：如图：

∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，
∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠BAO=12∠BAC．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：设BC与DF的交点为I，如图：

∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴BlFI=DlCl，即BIDI=FICl，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图：

∵∠FBI＝∠BOA＝90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN＝∠AON．
∵N是AF的中点，
∴AN＝NF，
∵∠TNF＝∠ONA，
∴△TNF≌△ONA（AAS），
∴NT＝NO，FT＝AO，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO＝CO，
∴FT＝CO，
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT＝∠DCO．
∵DF＝DC，
∴△DFT≌△DCO（SAS），
∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF，
∵∠CDF＝90°，
∴∠ODT＝∠CDF＝90°，
∴ND=12TO=NO．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，涉及三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
40．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．

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【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴ACBD=ABDE，
∴6BD=84，
∴BD＝3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键．
41．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．

【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．菁优网版权所有
【专题】证明题；图形的全等；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）证明△ACF≌△ADE（ASA），即可解决问题；
（2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△ADE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△ADE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴AFCE=BFDE，
∴AF•DE＝BF•CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF•CE．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．
42．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=32，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．
（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；
（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；
（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ=154x﹣3时，求MN的长．

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【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）先求出CD的长，由平行线分线段成比例可得CDCE=COCB，可求CE的长，通过证明△BCE∽△NME，可得MNBC=MECE，即可求解；
（2）分三种情况讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解；
（3）由锐角三角函数可求BG的长，由线段的数量关系列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，

∵CD切半圆O于点D，
∴OD⊥CE，
∵OA=32，AC＝1，
∴OC=52，BC＝4，
∴CD=OC2−OD2=2，
∵BE⊥CE，
∴OD∥BE，
∴CDCE=COCB，
∴2CE=524，
∴CE=165，
如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，
∴AF∥CE，
∴MN∥CB，
∴四边形APMC是平行四边形，
∴CM＝PA=PHsin∠PAB=PHsinC=x35=53x，
∵NM∥BC，
∴△BCE∽△NME，
∴MNBC=MECE，
∴y4=165−53x165，
∴y=−2512x+4；
（2）∵PN＝y﹣1=−2512x+4﹣1=−2512x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，
∴可分为三种情况，
当PH：PN＝3：5时，53x=−2512x+3，解得：x=45，
∴a=43x=1615，
当PH：PN＝4：5时，54x=−2512x+3，解得：x=910，
∴a=34x=2740，
当PH：PN＝3：4时，43x=−2512x+3，解得：x=3641，
∴a=53x=6041，
综上所述：a的值为1615或2740或6041；
（3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，

则∠AQB＝∠AGQ＝90°，PH＝QG＝x，
∴∠QAB＝∠BQG，
∵NQ=154x﹣3，PN＝y﹣1=−2512x+3，
∴HG＝PQ＝NQ+PN=53x，
∵AH=43x，
∴AG＝AH+HG＝3x，
∴tan∠BQG＝tan∠QAB=x3x=13=BGQG，
∴BG=13QG=13x，
∴AB＝AG+BG=103x＝3，
∴x=910，
∴y=−2512x+4=178，
∴MN的长为178．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
43．（2023•江西）课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．

知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定AC是BD的垂直平分线，推出AB＝AD后利用菱形的定义即可判定▱ABCD是菱形；
（2）①根据平行四边形的性质求出AO、DO的长，然后根据勾股定理逆定理判定∠AOD，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证；
②设CD的中点为G，连接OG，根据已知条件求出OG、CE的长，判定△OGF∽△ECF，然后根据相似三角形的性质即可求出OFEF的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
又∵BD⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形．
（2）①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝CO=12AC＝4，DO=12BD＝3，
又∵AD＝5，
∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，
∴∠AOD＝90°，
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，

∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=12AD=52，
由①知：四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB，
又∵∠E=12∠ACD，
∴∠E=12∠ACB，
又∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴CE＝CO＝4，
∵OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AD∥BE，
∴△OGF∽△ECF，
∴OFEF=OGCE，
又∵OG=52，CE＝4，
∴OFEF=524=58．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，深入理解题意是解决问题的关键．
44．（2023•宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．

（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．
①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；
②如图2，当tan∠FCE=23时，求AF的长；
（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE=13时，求证：AE＝AF．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）①根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
②如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．求出AG，DG，再利用平行线分线段成比例定理求解；
（2）如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．想办法证明AF＝a﹣t，可得结论．
【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠CED＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD，
∴△AEF∽△DCE；

②解：如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．

∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，
∴△GEH∽△CED，
∴GHCD=EHDE，
∵CD＝2，AE＝ED＝1，
∴GH＝2HE，
设EH＝m，GH＝2m．
∵CE=DE2+CD2=12+22=5，
∴CH＝m+5，
∵tan∠ECF=GHCH=23，
∴2mm+5=23，
∴m=52，
∴EH=52，GH=5，
∴EG=GH2+EH2=(5)2+(52)2=52，
∴AG＝EG﹣AE=52−1=32，DG＝EG+DE=52+1=72，
∵AF∥CD，
∴AFCD=AGGD，
∴AF2=3272，
∴AF=67；

（3）证明：如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．

设AD＝CD＝a，GE＝DE＝t，EH＝x，GH＝y，CE＝n，
∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，
∴△GEH∽△CED，
∴GHCD=EHDE=EGEC
∴ya=xt=tn，
∴x=t2n，y=atn，
在Rt△CGH中，sin∠ECF=13=GHCG，
∴CG＝3GH，CH＝22GH，
∴yx+n=122，
∴22y＝x+n，
∴22×atn=t2n+n，
∴22at＝t2+n2，
在Rt△CDE中，n2＝t2+a2，
∴22at＝2t2+a2，
∴a=2t，
∵AF∥CD，
∴AFCD=AGDG，
∴AFa=2t−a2t，
∴AF=a(2t−a)2t=a−a22t=a﹣t，
∵AE＝a﹣t，
∴AE＝AF．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
45．（2023•苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=5，BC＝25，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据圆周角定理得∠BDE＝∠BAC，进而可以证明结论；
（2）过点C作CG⊥AB，垂足为G，证明△DBE∽△ABC，得BDAB=DEAC，代入值即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵BC 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC=5，BC＝25，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcosA=5×55=1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴BDAB=DEAC，
∴35=DE5，
∴ED=355．

【点评】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，解决本题的关键是得到△DBE∽△ABC．
46．（2023•云南）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）通过证明△ABC∽△DAC，可得∠ACB＝∠ACD，可证OA⊥DE，即可求解；
（2）设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，由相似三角形的性质可求CD的长，即可求解．
【解答】解：（1）AE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵DA•AC＝DC•AB，
∴DADC=ABCA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴∠OAE＝∠CDE＝90°，
∴OA⊥DE，
又∵OA为半径，
∴AE与⊙O相切；
（2）如图，∵OA∥CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴AOCD=OEEC，
设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，
∵BC＝BE＝2a，
∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，
∴aCD=3a4a，
∴CD=43a，
∵△ABC∽△DAC，
∴BCAC=ACCD，
∴AC2＝BC•CD=83a2，
∵△ABC∽△DAC，
∴S△ACDS△ABC=（ACBC）2=23，
∴S2=23S1，
∴m=23．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
47．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．

【考点】比例线段．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】由ac=2，得到a＝2c，因此2cb=bc，得到b=2c，故ab=2c2c=2，bc=2cc=2，所以ab=bc=2．
【解答】解：当ac=2时，ab=bc=2，理由如下：
∵ac=2，
∴a＝2c，
∴2cb=bc，
∴b=2c，
∴ab=2c2c=2，bc=2cc=2，
∴ab=bc=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查比例线段，关键是由ac=2，ab=bc=2，得到b=2c．
48．（2023•达州）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求AEEB的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+53EF的值．
​
【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得A'B＝2，设AE＝A'E＝x 则BE＝AB﹣AE＝6﹣x，Rt△A'BE中利用勾股定理求得x=103，则AE=103，BE=6−103=83，进而求解即可；
（2）由矩形的性质和翻折性质得到∠EBC＝∠BDA，证明△EBC∽△BDA，利用相似三角形的性质求得BC＝4，则BD＝10，在Rt△ABD中，利用勾股定理求得AD＝8，进而求得BC＝8，CE＝3可求解；
（3）证明△AEF∽△ADC得到CD=5F3EF，则BD+53EF=BD+CD=BC；设EF＝3k，CD＝5k，过点D作DH⊥AC于H，证明△CHD≌△FHD（ASA）得到DF＝CD＝5k，在Rt△EFD中，由勾股定理解得k＝1，进而可求得AC＝55．过B作BG⊥AC于G，证明∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，则 sin∠CBG=sin∠DAC=55，cos∠CBG=cos∠DAC=255，再证明AG＝BG，在Rt△BCG中利用锐角三角函数和AG+CG＝BG+CG＝AC，求得BC，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由翻折性质得AD＝A'D＝10，AE＝A'E，
在Rt△A'CD 中，A'C=A′D2−CD2=102−62=8，
∴A'B＝BC﹣AC＝2，
设AE＝A'E＝x，则BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△A'BE 中，由勾股定理得 BE2+A'B2＝A'E2，
∴（6﹣x）2+22＝x2，
解得 x=103，
∴AE=103，BE=6−103=83，
∴AEEB=10383=54；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折性质得，A'B'＝AB＝6，A'D＝AD，∠DA'B'＝∠ABE＝∠BCD＝∠90°，
∴∠EB'C+∠AB'D＝90°＝∠A'B'D+∠B'DA'，
∴∠EB'C＝∠B'DA'，
∴△EB'C∽△B'DA'，
∴CEA′B′=B′CA′D，即CE6=B′CBC，
又BC•CE＝24，
∴B'C=BC⋅CE6=246=4，
∴B'D＝B'C+CD＝10，
在Rt△A'BD'中，
AD=B′D2−A′B′2=8，
∴BC＝AD＝A'D＝8，则CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5；
（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ADC，
∵AD＝10，AE＝6，
∴EFCD=AEAD=610=35，
∴CD=53EF，
则BD+53EF=BD+CD=BC，
设EF＝3k，CD＝5k，
过点D作DH⊥AC于H，则∠CHD＝∠ADC＝90°，
∴∠CDH＝∠DAC＝90°﹣∠C，

∵EF∥BC，
∴∠CDF＝∠DFE＝2∠DAC＝2∠CDH，
∴∠CDH＝∠FDH，
又∵DH＝DH，∠CHD＝∠FHD＝90°，
∴△CHD≌△FHD（ASA），
∴DF＝CD＝5k，
在Rt△EFD中，由勾股定理得 EF2+DE2＝DF2，
∴（3k）2+42＝（5k）2，解得k＝1，
∴EF＝3，DF＝CD＝5，
在Rt△ADC中，AC=AD2+CD2=102+52=55，
过B作BG⊥AC于G，

则∠BGA＝∠BGC＝∠CHD＝90°，
∴BG∥DH，
∴∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，
∴sin∠CBG=sin∠DAC=CDAC=555=55，cos∠CBG=cos∠DAC=ADAC=1055=255，
∵∠BAC＝45°，∠AGB＝90°，
∴∠ABG＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠BAC，
∴AG＝BG，
在Rt△BCG中，
BG＝BC•cos∠CBG=255BC，CG＝BC•sin∠CBG=55BC，
∵AG+CG＝BG+CG＝AC，
∴255BC+55BC=55，
∴BC=253，
∴BD+53EF＝BC=253．
【点评】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．
49．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若AC＝9，BD=3，求线段AD的长；
（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；
（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时NQCP的值．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠B＝60°，AC＝9，可得BC=AC3=33，AB＝2BC＝63，即得AD＝AB﹣BD＝53；
（2）取AB的中点O，连接OC，证明△BOC 为等边三角形，得CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，可得△OCD≌△BCE（SAS），有∠EBC＝∠DOC＝120°，故OC∥BE，在GF上截取 HF＝BF，连接DH，可证△BEF≌△HDF（SAS），得BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，有DH∥BE，DH∥OC，可得∠HDG＝∠OCD，知∠G＝∠HDG，HG＝HD，从而HG＝BE，GF＝HG+FH＝BE+BF；
（3）取AB的中点S，连接PS，在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝23a，用面积法得CD=AC⋅BCAB=3a，BD=12BC＝a，证明△BCD≌△BCE（SAS），知BD＝BE＝a，根据将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，有BE＝BN＝a，故N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，又PS=12BN=12a，故P的运动轨迹是以S为圆心，12a为半径的圆，当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，可得△BSC是等边三角形，∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，而CP＝CS+PS＝2a+12a=52a，可求得PT=12CP=54a，CT=3PT=534a，AT＝AC﹣CT=334a，连接PQ交NR于W，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，知PQ⊥BC，故即PW∥AR，PW是△ANR的中位线，同理可得PT是△ANR的中位线，即可得PT＝NW＝RW=54a，PW=12AR＝AT=334a，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，得CP＝CQ，∠QCP＝120°，有PQ=3CP=532a，即得WQ＝PQ﹣PW=734a，从而NQ=NW2+WQ2=432a，NQCP=435．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，AC＝9，
∴BC=AC3=33，AB＝2BC＝63
∵BD=3，
∴AD＝AB﹣BD＝53；
（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：

在Rt△ABC 中，点O为斜边AB的中点，
∴OC＝OB，
∵∠ABC＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∵△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，
∴∠OCD＝∠BCE，
在△OCD和△BCE 中，
CD=CE∠OCD=∠BCECO=CB，
∴△OCD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠DOC＝120°，
∴∠OCB+∠EBC＝180°，
∴OC∥BE，
在GF上截取HF＝BF，连接DH，
∵点F是DE的中点，
∴FE＝FD．
在△BEF和△HDF中，
BF=HF∠BFE=∠HFDFE=FD，
∴△BEF≌△HDF（SAS），
∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，
∴DH∥BE，
∴DH∥OC，
∴∠HDG＝∠OCD，
又∠G＝∠BCE，
∴∠G＝∠HDG，
∴HG＝HD，
∴HG＝BE，
∴GF＝HG+FH＝BE+BF；
（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：

在CD取得最小值时，CD⊥AB，
设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝23a，
∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3a，BD=12BC＝a，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，
∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCE（SAS），
∴BD＝BE＝a，
∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，
∴BE＝BN＝a，
∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，
∵点P为AN的中点，S为AB的中点，
∴PS=12BN=12a，
∴P的运动轨迹是以S为圆心，12a为半径的圆，
当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图：

∵S是AB中点，
∴BS＝AS＝CS=12AB＝2a，
∵∠ABC＝60°，
∴△BSC是等边三角形，
∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，
∴∠PCA＝30°，
∵CP＝CS+PS＝2a+12a=52a，
∴PT=12CP=54a，CT=3PT=534a，
∴AT＝AC﹣CT=334a，
连接PQ交NR于W，如图：

∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴PQ⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴PQ∥AC，即PW∥AR，
∵P为AN中点，
∴PW是△ANR的中位线，
∴NW＝RW=12NR，
同理可得PT是△ANR的中位线，
∴PT=12NR，
∴PT＝NW＝RW=54a，PW=12AR＝AT=334a，
∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ，
∴∠QCP＝120°，
∴PQ=3CP=532a，
∴WQ＝PQ﹣PW=532a−334a=734a，
∴NQ=NW2+WQ2=(54a)2+(734a)2=432a，
∴NQCP=432a52a=435．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，对称变换，最短路径等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．

考点卡片
1．解一元二次方程-公式法
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
2．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

8．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
9．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
10．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
14．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
15．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．

16．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
17．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
20．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
21．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

22．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
23．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
24．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
25．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
26．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
27．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
28．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
29．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
30．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
32．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
33．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
34．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若ab=cd，则ad＝bc．
②合比性质．若ab=cd，则a+bb=c+dd．
③分比性质．若ab=cd，则a−bb=c−dd．
④合分比性质．若ab=cd，则a+ba−b=c+dc−d．
⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b+d+…+n≠0），则a+c+⋯⋯+mb+d+⋯⋯+n=mn．
35．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
36．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5−12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：5−12．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为5−12．
37．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
38．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
39．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
40．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
41．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
42．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
43．相似形综合题
相似形综合题．
44．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
45．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
46．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
47．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
48．统计量的选择
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
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