贵州省黔东南州黄平县且兰高级中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

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黄平县且兰高级中学2022-2023学年度第二学期期末考试
高一数学
考生注意：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据并集的概念求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.
2. 在复平面内，复数对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】求出复数对应的点即可得出.
【详解】复数对应的点为，在第二象限.
故选：B.
3. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算法则，求解即可．
【详解】解：因为，
所以．
故选：．
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.
【详解】由推不出，反之，由可以推出
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.
5. 已知幂函数的图像经过点（4，2），则其解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设幂函数为，根据幂函数的图像经过点（4，2），代入求解.
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图像经过点（4，2），
所以 ，
解得，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.
6. 在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA：sinB＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件利用正弦定理可得 ＝，运算求得结果.
【详解】在△ABC中，a＝5，b＝3，则由正弦定理可得 ＝＝，
故选：A.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于简单题.
7. 化简等于（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法直接得到答案.
【详解】.
故选：D.
【点睛】用符号表示的向量的加减法：
①加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）；
②减法：起点相同，方向指向被减向量（符合三角形法则）.
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设向量，，则下列叙述错误的是( )
A. 若时，则与的夹角为钝角 B. 的最小值为
C. 与共线的单位向量只有一个为 D. 若，则或
【答案】CD
【解析】
【分析】利用向量的运算的坐标表示，判断选项正误.
【详解】对于A，时，且不等于-1，所以与夹角为钝角，故A正确；
对于B，，当时不等式取等号，所以的最小值为 2，所以B正确；
对于C，与共线的单位向量为，即或，所以C不正确；
对于D，若，可得，解得或，所以D不正确；
故选：CD．
10. 在中，，，，则角B的值可以是（ ）
A. 105º B. 15º C. 45º D. 135º
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知结合正弦定理可求，再结合三角形的内角和定理，即可得答案．
【详解】，，，
由正弦定理可得，即，∴，
，，则或，
则角或．
故选：AB．
【点睛】本题考查正弦定理在求解三角形中的应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力．
11. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是
A. 的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.
【详解】因为，
对于A：的虚部为，正确；
对于B：模长，正确；
对于C：因为，故为纯虚数，正确；
对于D：的共轭复数为，错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
12. 函数的部分图象如图所示，则以下关于性质的叙述正确的是

A. 最小正周期为 B. 是偶函数
C. 是其一条对称轴 D. 是其一个对称中心
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，从而可对各选项中函数的性质的正误进行判断.
【详解】由图象可知，，设函数的最小正周期为，则，则，
，此时，，，
得，，，则，得，
，A选项正确；该函数为非奇非偶函数，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，同时也涉及了利用图象求函数的解析式，解题的关键就是求出函数的解析式，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.
第ⅠⅠ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量、满足，，且，则与夹角为________.
【答案】
【解析】
【分析】直接应用数量积的运算，求出与的夹角．
【详解】设向量、的夹角为；
∵，∴，
∵，∴.
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
14. 在中，，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．
【详解】∵，
∴由正弦定理，可得b＝．
故答案为：．
15. 已知指数函数的图像经过点，则______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】设出指数函数解析式，根据条件求出解析式，然后再计算的值.
【详解】设（，且），由于其图像经过点 ，
所以，解得或（舍去），
因此，故 .
故答案为：.
16. 设平面向量，，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线的性质构造方程求得结果.
【详解】 ，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属于基础题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集．
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据交、并、补集的运算法则运算即可．
【小问1详解】
∵全集，
∴.
【小问2详解】
∵，∴．
18. 已知复数，．
（1）若，求；
（2）若是纯虚数，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的运算化简，进而利用共轭复数的概念及复数的运算得出结果；
（2）利用复数的运算化简，利用纯虚数的概念求解.
小问1详解】
由于＝＝＝＝＝．
当时，，
∴．
【小问2详解】
若＝＝＝为纯虚数，
则应满足且，
解得，即的值为．
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）；
（2）最大值为3，最小值为.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件利用正弦型函数周期公式计算作答.
(2)求出函数相位的范围，再利用正弦函数的性质计算作答.
【小问1详解】
因函数，则周期，
所以的最小正周期为.
【小问2详解】
当时，，而正弦函数在上递增，在上递减，且，
因此，当，即时，取最大值1，则，
当，即时，取最小值 ，则，
所以的最大值为3，最小值为.
20. 在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求的值；
（2）求b的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即可求出的值；
（2）根据余弦定理，可列关于b的方程，解方程即可确定b的大小；
【小问1详解】
解：由正弦定理可得，则.
【小问2详解】
解：由余弦定理可得，
整理得：，解得：（舍）
.
21. 求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得；
（2）根据对数恒等式计算可得.
【详解】解：（1）
，

；
（2），
【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.
22. 已知向量．
（1）若，求λ的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，利用向量垂直的坐标表示列出方程求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，
因为，所以，解得．
【小问2详解】
解：由题意得，向量，，
由，可得，则，
即，解得或，
因为，所以，可得，
所以．