北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理 教案

这是一份北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理 教案，共9页。
第一章　勾股定理
1　探索勾股定理
第1课时　勾股定理

1．用数格子(或割、补、拼等)的方法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐．通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．

重点
探索勾股定理．
难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．

一、情境导入
课件出示：
师：2002年世界数学家大会在我国北京召开，课件显示的是本届世界数学家大会的会标．会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图案来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．(板书课题)
二、探究新知
1．探究直角三角形三边长度的平方的关系．
课件出示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形．
师：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？


学生通过观察，归纳发现：
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
2．探索勾股定理．
师：由刚才归纳发现的结论，我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
课件出示题目：
同学们可自由讨论．
(1)观察下面两幅图：

(2)填表：

A的面积
(单位面积)
B的面积
(单位面积)
C的面积
(单位面积)
左图



右图



(3)你是怎样得到左图中正方形C的面积的？与同伴交流．(学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．)
针对学生的解法，教师总结．
学生的方法可能有：

方法一：
如图1，将正方形C分割为四个完全相等的直角三角形和一个小正方形， SC＝4××2×3＋1＝13.
方法二：
如图2，在正方形C外补四个完全相等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，SC＝52－4××2×3＝13.
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中的阴影部分可拼成两个小正方形，SC＝2×4＋5＝13.
(4)分析填入表中的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳发现：
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
3．表述勾股定理．
师：(1)你能用直角三角形的三边长a，b，c来表示上图中正方形的面积吗？
(2)分别以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．探索发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

数学小史：我国是最早了解勾股定理的国家之一，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．(在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理)
三、举例分析
课件出示教材第3页“随堂练习”第1题．
师：这是勾股定理基本图式，利用它可以求面积．
指名学生上台板书解题过程．
四、练习巩固
1．课件出示教材第3页“随堂练习”第2题．(口答)
2．课件出示教材第6页习题1.2第1题．
师：想一想，你需要求哪些线段的长度，这些长度确定吗？
独立完成，指名板演，集中讲评．
师：通过这个题目可以看出勾股定理可以解决什么题型？
生：在直角三角形中，已知一边和另一边，可以求出第三边．
练习第1题和第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容．
五、小结
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
2．方法：(1) 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
(2)“割、补、拼、接”法．
3．思想：(1) 特殊—一般—特殊；
(2) 数形结合思想．
六、课外作业
教材第4页习题1.1第2～4题．

依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点．
本节课首先创设情境激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得出勾股定理．
第2课时　勾股定理的验证和简单应用

1．掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2．通过拼图验证勾股定理，使学生经历观察、猜想、验证的过程，进一步体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想．
3．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神，通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识．

重点
能熟练用拼图的方法验证勾股定理．
难点
用勾股定理解决实际问题．

一、复习导入
教师提出问题：
1．勾股定理的内容是什么？(指名学生回答)
2．上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索，发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？
师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理．
二、探究新知
活动1：教师导入，小组拼图．
师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个完全相同的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形．(请每位学生用2分钟时间独立拼图，再4人小组讨论．)
活动2：层层设问，完成验证．
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

在此基础上教师提问：
(1)你能用两种方法表示图1中大正方形的面积吗？(学生先独立思考，再4人小组交流．)
(2)你能由此得出勾股定理吗？为什么？(在学生回答的基础上板书(a＋b)2＝4×ab＋c2，并得到a2＋b2＝c2.)
从而利用图1验证了勾股定理．
活动3：自主探究，完成验证．
师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
(学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解利用图2验证勾股定理．)
三、举例分析
1．课件出示教材第6页“议一议”．
师：怎样判断图中三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2?
生：分别求出网格中正方形的面积进行判断．
教师巡视指导，对于学生出现的问题及时指导，特别是每个小正方形面积的得出．
学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2＋b2＝c2.
2．一个直角三角形的斜边为20 cm ，且两直角边长度比为3∶4，求两直角边的长．
四、练习巩固
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4 000 m处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5 000 m，飞机每小时飞行多少千米？
五、小结
通过这节课的学习，你有什么收获？师生共同畅谈收获．
六、课外作业
1．教材第7页习题1.2第2～5题．
2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其他证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评．

勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其所具有的历史价值和应用价值，因此，应注意充分挖掘其内涵．特别是让学生进行调查，再进行展示，这极大地调动了学生的积极性．既加深了学生对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点．为了突破这一难点，本节课设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手．这样学生较容易地突破了本节课的难点．
2　一定是直角三角形吗

1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念．
2．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力和归纳能力．
3．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学和用数学的兴趣．

重点
会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形．
难点
理解并掌握勾股定理的逆定理．

一、复习导入
师：直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
师：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
二、探究新知
1．探究．
课件出示题目：下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a，b，c：①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.回答这样两个问题：
(1)这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？
(2)分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？(学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数．)
从上面的分组实验很容易得出如下结论：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．说理．
师：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现．你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？
让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
3．提问．
(1)同学们还能找出哪些勾股数呢？
(2)今天的结论与前面学习的勾股定理有哪些异同呢？
(3)到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
(4)通过今天同学们的合作探究，你能说出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
三、举例分析
课件出示教材第9页例题．
师：什么叫这个零件符合要求？什么叫不符合要求？
生：符合要求是指∠A和∠DBC都应为直角．否则就不符合要求．
师：∠A和∠DBC分别在△ABD和△BDC中，如何判别它们是否是直角呢？
生：题目告诉了三边的长度，利用刚学的结论进行判断即可．
板书解题过程：
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BDC中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2，
所以△BDC是直角三角形，∠DBC是直角．
因此，这个零件符合要求.
(师生共同完成，教师强调解题步骤．)
四、练习巩固
一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90°，继续航行70海里，此时距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行吗？

解：由题意画出相应的图形．
AB＝240海里，BC＝70海里，AC＝250海里．
在△ABC中，AC2－AB2＝2502－2402＝(250＋240)
×(250－240)＝4 900＝702＝BC2，即AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形．
答：船转弯后，是沿正西方向航行的．
五、小结
师生相互交流总结出：
1．今天所学内容：①会利用三角形三边数量关系a2＋b2＝c2，判断一个三角形是直角三角形；②满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
2．从今天所学内容及所做练习中总结出的经验与方法：①数学是源于生活又服务于生活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系a2＋b2＝c2判断一个三角形是直角三角形时，当数据较大时，要懂得将a2＋b2＝c2作适当变形，c2－b2＝a2便于计算．
六、课外作业
教材第10～11页习题1.3第1，2，4题．

本节课充分尊重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题；充分引用教材中出现的例题和练习．注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律．在利用今天所学知识解决实际问题时，引导学生善于对公式变形，便于简化计算．
3　勾股定理的应用

1．能正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题．
2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
3．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，渗透数学建模的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

重点
探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决实际问题．
难点
解决问题时，利用数学中的建模思想构造直角三角形．

一、情境导入
师：我们知道许多科学家为了探寻其他星球上的生命，向宇宙发射了很多信号．我国数学家华罗庚曾提议向宇宙发射勾股定理的图形，并说如果宇宙中有文明人，他们一定会认识这种图形“语言”，由此可见勾股定理非常重要．那么，它在我们的实际生活中到底有什么广泛的应用呢？下面，就让我们走进勾股定理的世界，一起用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！(板书课题)
二、探究新知
勾股定理的应用．
师：下面，我们通过几个例题来探究勾股定理的应用．
课件出示教材第13页“做一做”上面的题目．
学生活动：学生分为2人一组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．
让学生发现：圆柱沿高剪开后，侧面展开图是矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”，就是研究两点连线最短问题．引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．
师：怎样计算AB的长度？
生：需构造直角三角形，利用勾股定理解题．
解：将圆柱的侧面沿高展开，知AB即为最短路径，设直角顶点为点C，其中AC＝12 cm，　BC＝×18＝9 cm.
在Rt△ABC中，有
AC2＋BC2＝122＋92＝225＝AB2，
所以AB＝15 cm.
故最短路程是15 cm.
总结：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．
三、举例分析
课件出示教材第13页“做一做”．
先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或以A为端点在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
通过这两种类型的题目，总结应用勾股定理及其逆定理解决实际问题的区别：勾股定理应用于直角三角形中求线段的长度，甚至是图形周长或面积；勾股定理的逆定理应用于由三角形三边的数量关系判断三角形的形状．
四、练习巩固
课件出示教材第15页习题1.4第5题．
分析：这题学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．
总结：方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．
五、小结
1．用勾股定理解决实际问题的具体步骤：
(1)审题，分析实际问题；(2)建立相应的数学模型；
(3)运用勾股定理计算；(4)检验是否符合实际问题的真实性．
2．数学思想：转化思想，方程思想，数形结合思想．
六、课外作业
教材第14页习题1.4第1，2，3题．

本节课通过3个例题来探讨如何利用勾股定理解决实际问题．首先安排了一个最短路径问题，用蚂蚁要走过最短距离吃美食的有趣实例，引导学生把看似复杂的问题转化为用勾股定理解决，从而提高学生应用数学的能力；接着安排了判断雕塑的边是否垂直的问题，用勾股定理逆定理由三边的数量关系判断角的大小，并加以延伸，把问题拓展，充分拓展学生的思维，体会同一个问题的不同解决方法；最后一个是古代著名数学问题，让学生体会代数中的方程也可以解决几何问题，体现了方程思想和数形结合思想．