四川省泸县第一中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸县第一中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泸县一中2022-2023学年高一下期第一学月考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据常见数集，整理集合表示，根据交集运算，可得答案.
【详解】由集合，则，.
故选：A.
2. 是的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式性质及充分必要条件判断即可．
【详解】由不等式性质可知：，而，
反之，不能推出成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：B
3. 已知角的终边与单位圆交点坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可得答案.
【详解】三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即，
故选：D.
4. 函数是（ ）
A. 最小正周期为的偶函数
B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数
D. 最小正周期为的奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】利用倍角公式将函数转化为的形式，然后利用奇偶性的定义及周期公式可得答案.
【详解】，
，
即函数为偶函数，
又，
故函数为最小正周期为的偶函数.
故选：C.
5. 若的最小正周期为1，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正切函数的周期求出，从而可得出答案.
【详解】的周期为，
，即，
则，
故选：D．
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式和平方关系求解．
详解】∵，
∵，∴，且，
∴，
故选：C．
7. 若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，得，结合正弦函数性质，确定的位置范围即可求出ω的范围﹒
【详解】∵，，∴，
函数在区间上有且只有两个零点，
则﹒解得
故选：A
8. 已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. D. 的一个周期为8
【答案】C
【解析】
【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C.
【详解】由题意知是奇函数，即，
即，即，
故的图象关于点对称，B结论正确；
又是偶函数，故，
即，故的图象关于直线对称，A结论正确；
由以上可知，即，
所以，则，
故的一个周期为8，D结论正确；
由于，令，可得，
而的图象关于直线对称，故，C结论错误，
故选：C
【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 满足不等式的x的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由辅助角公式可将条件等价成，由整体法求解或者逐个代入检验即可.
【详解】由得，，
可解得，即，选项AD均符合.
故选：AD
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.
【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D正确.
故选：AD.
11. 关于函数，下列命题正确的是（ ）
A. 是以为最小正周期的周期函数
B. 的表达式可改写为
C. 的图象关于点对称
D. 图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用余弦函数的图象和性质判断ACD，利用诱导公式判断B即可.
【详解】的最小正周期，A错误；
，B正确；
因为，所以的图象关于点对称，C正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，D错误；
故选：BC
12. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，因为，所以，
当且仅当时等号成立，故A正确.
对选项B，因为，，且，
所以.
当且仅当，即时等号成立，故B正确.
对选项C，，
当且仅当时等号成立，故C错误.
对选项D，，且，所以，
即，当且时等号成立.
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式不等式运算求解.
【详解】∵，则，
等价于，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
14. 已知角的终边过点，则的值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】先利用三角函数的定义求出正切值，然后弦化切求值即可.
【详解】因为角的终边过点，
设，
则由三角函数的定义得：，
所以.
故答案为：3.
15. 给定3个条件：①定义域为R，值域为；②最小正周期为2；③是奇函数．
写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．
【答案】（答案不唯一，满足题意即可）
【解析】
【分析】根据题意写出函数解析式即可，并根据函数性质分析判断.
【详解】对于函数的定义域为R，，即的值域为，符合①；
函数的最小正周期，符合②；
，即是奇函数，符合③；
综上所述：符合题意.
故答案为：.（答案不唯一，满足题意即可）
16. 若函数恰有四个零点，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，函数在、上各有两个零点，利用数形结合思想以及方程思想可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数在上最多有个零点，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在上至多有两个零点，
因为函数恰有四个零点，
所以，函数在上有两个零点，则，解得；
函数在上有两个零点，由可得，
作出函数、在上的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
综上所述，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）求集合A；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法解不等式，即可得出集合；
（2）由，得，再根据集合的包含关系列出不等式即可得解.
【小问1详解】
由有，即，
所以，解得，
所以集合；
【小问2详解】
因为，所以，
由（1）知，而，显然，
则有，解得，
即实数a的取值范围是.
18. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式将原式化简，再结合同角三角函数的基本关系即可求解；
（2）利用平方关系，再结合同角三角函数的基本关系即可求解．
【小问1详解】
由，则．
【小问2详解】
由，则．
19. 已知，且是第四象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值；
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可
（2）求出角正切值，再展开，代入计算即可.
【详解】解：（1），由得，
，
又是第四象限角，
，
，
，

.
（2）由（1）可知，
，
.
20. 已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式、两角和与差的正弦公式变形函数解析式为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求最小正周期；
（2）求出范围，然后由正弦函数性质得出函数能取得最大值2时的的范围．
【小问1详解】
由已知
，
所以最小正周期是；
【小问2详解】
时，，
而在区间上的最大值为，则，，
所以的最小值是．
21. 已知函数的图象如图所示.

（1）求函数的对称中心；
（2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由图可知：，所以，所以，，
又，
所以，.
所以.
令，，
则，.
所以的对称中心为，.
【小问2详解】
由题.
当时，.
因为对任意的恒成立，
则.
所以.
22. 已知函数.
（1）若为偶函数，求；
（2），使得成立，求的取值范围；
（3）当时，记函数，对任意，都存在，使得，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据偶函数的性质即可解决；(2)判断函数在的单调性，根据函数的单调性将转化为自变量的大小关系，最终转化为解一元二次不等式，对与方程的根的大小进行讨论即可.(3)代入的值，对任意的，都存在，使得成立，求出函数的值域，设函数的值域为，由题知：，则根据集合的包含关系，解不等式组即可.
【小问1详解】
因为是上的偶函数，所以即 ；
此时，满足条件；
【小问2详解】
，

所以，使得成立.
即，使得成立.
即，使得成立，
即，使得成立.
分类：①当时，则解得；
②当时，不成立.
综上所述：的取值范围是.
【小问3详解】
当时，
对任意的，都存在，使得成立，
设函数的值域为，则；
设函数的值域为，由题知： .
因为 ，
令， ，
分类：①当时，则在单调递增.
于是： 即：可得无解.
②当时，则在单调递减.
于是： 即：可得
所以.
③当时，则在单调递减，在单调递增.
于是： 即：可得无解.