天津市河西区2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题（含解析）

这是一份天津市河西区2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

天津市河西区2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．复数的共轭复数是（    ）
A． B． C． D．
3．如图四个几何体中是棱锥的选项是（    ）
A． B．
C． D．
4．下列说法错误的是（    ）
A．向量与的长度相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点相同
C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0
5．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（　　）
A．π B．3π C．2π D．4π
6．在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
7．在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＝
A． B． C． D．
8．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）
A．，，，有两解
B．，，，有一解
C．，，，有一解
D．，，，无解
9．已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若，则（    ）
A．2 B． C．3 D．

二、填空题
10．已知i是虚数单位，化简的结果为______．
11．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______．
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝______．
13．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
14．将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______．

三、双空题
15．如图所示，在梯形中，，，，，点为的中点，若向量在向量上的投影向量的模为，______；设为线段上的动点，则的最小值为______.


四、解答题
16．已知是复数，与均为实数．
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
17．已知向量与，，.
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相平行，求k的值.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)若，，求边c的长；
(2)若，求角B的大小．

参考答案：
1．A
【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可.
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.
故选：A
2．B
【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】,
故的共轭复数为 ，
故选：B
3．D
【分析】利用棱锥的定义判断选项即可．
【详解】因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．所以中几何体为棱锥，
故选：．
4．C
【分析】根据相反向量、相等向量、单位向量和零向量的定义判断各个选项．
【详解】对于A，向量与互为相反向量，其长度相等，故A正确；
对于B，因为相等向量的方向相同，长度相等，则两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故B正确；
对于C，共线的单位向量可以是相反向量，故C错误；
对于D，因为模长为0的向量为零向量，所以只有零向量的模长等于0，故D正确．
故选：C．
5．D
【分析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.
【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,
所以圆柱的表面积.
故选:D.
【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
6．B
【分析】根据平行向量的坐标表示逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以共线，不能作为基底，A错误；
B：因为，所以不共线，可以作为基底，B正确；
C：因为，所以共线，不能作为基底，C错误；
D：因为，所以共线，不能作为基底，D错误.
故选：B
7．A
【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可求出 所以．
【详解】如图，

∴；
故选A．
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．
8．C
【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可.
【详解】A中，因为，所以，
又，所以，即只有一解，故A错误；
B中，因为，所以，
且，所以，故有两解，故B错误；
C中，因，所以，
又，所以角B只有一解，故C正确；
D中，因为,,，所以，有解，故D正确.
故选：C.
9．A
【分析】根据已知等式，结合向量减法法则化简，而三点共线，可得，解得的值，设，可得，所以，从而求出的值．
【详解】，，
整理得，，
当时，显然不成立，故，
所以，
，，是直线上不同的三点，
，解得，，
设，，
，
，解得，即．
故选：A．
10．
【分析】根据复数除法运算直接化简可得.
【详解】

故答案为：

11．
【分析】根据球体表面积与体积公式，确定比例关系，
【详解】设两球的半径分别为，，
∵球体表面积公式，，
∴，
∵球体体积公式，
∴.
故答案为：
12．
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】在中，，，，
由余弦定理可得，则.
故答案为：
13．/
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
14．
【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的体积公式求解．
【详解】正方体的棱长为6，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，
则球的直径为6，半径为3．
∴可能制作的最大零件的体积为.
故答案为：．
15．
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，由与可构造方程求得点坐标，由向量数量积坐标运算可得；设，可得，则可将表示为关于的函数，利用二次函数最值求法可得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，

则，，，，设，
，，
向量在向量上的投影向量的模为，，
，
又，，解得：，；
，；
设，，
又，，，解得：，
，，，
，
，当时，取得最小值.
【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
16．（Ⅰ） z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6
【详解】（1）设
所以，；

由条件得，且，
所以
(2)
由条件得：，
解得所以，所求实数的取值范围是-
17．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）结合向量减法的坐标表示即可求解；
（2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；
（3）结合向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以；
（2），
（3），，
由题意可得，，
整理可得，，
解可得，.
【点睛】本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型.
18．(1)5
(2)．

【分析】（1）利用余弦定理角化边，然后带入已知可得；
（2）利用正弦定理边化角，然后结合已知和诱导公式求解可得.
【详解】（1）由及余弦定理，
得，∴．
代入，，得，解得．
（2）由及正弦定理，得，
∵，∴，
即，解得或，
又，所以，所以．