第08讲 有理数的乘方-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第8讲 有理数的乘方

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1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

知识精讲


知识点01 有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数．
【微点拨】：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
【即学即练1】．
计算：
（1） （2） （3） 　 （4）
（5）　 （6） （7） （8）
【答案】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
【总结】与不同，，而表示的n次幂的相反数．
2.比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　）
　 A． 它们底数相同，指数也相同
　 B． 它们底数相同，但指数不相同
　 C． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
　 D． 虽然它们底数不同，但运算结果相同
【答案】D．
解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，
底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.

知识点02 乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 ≥0．
【微点拨】：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
【即学即练2】
不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【思路】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
能力拓展


考法01 乘方
1.下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【思路】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【答案】A．
【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意．
故选A．
【总结】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．
2.已知，且，则的倒数的相反数是 ．
【答案】
考法02 乘方的计算
1.不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【思路】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案】解：根据乘方的符号法则判断可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
2.计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（　　）
　 A．﹣2 B． 2 C． ﹣22014 D． 22015
【答案】C．
解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014.

分层提分


题组A 基础过关练
一、基础巩固
1．求n个相同因数的积的运算，叫做________，乘方的结果叫做________．在an中，a叫做________，n叫做________，读作：______________或_________________．
【答案】乘方，幂，底数，指数，a的n次方，a的n次幂
2．当底数是负数或分数时，底数要用括号括起来，如：底数是－11，指数是3时，要写成__________；底数是，指数是2时，要写成__________．
【答案】，
3．表示(　　)
A．3＋3＋3 B．x＋x＋x
C．x·x·x D．x＋3
【答案】C
4．的意义是(　　)
A．－5乘2 B．－2乘5
C．2个－5相乘 D．5个－2相乘
【答案】D
5．的底数、指数分别是(　　)
A．3，－2 B．－2，3
C．－2，－2 D．3，3
【答案】B
6．下列关于－74的说法正确的是(　　)
A．底数是－7
B．表示4个－7相乘
C．表示4个7相乘的积的相反数
D．表示4个－7相乘的积的相反数
【答案】C
7．对于与，下列说法正确的是(　　)
A．底数不同，结果不同
B．底数不同，结果相同
C．底数相同，结果不同
D．底数相同，结果相同
【答案】A
8．负数的奇次幂是________，负数的偶次幂是________；正数的任何次幂都是________；
0的任何正整数次幂都是________．
【答案】负数，正数，正数，0
9．(天津)计算(－3)2的结果等于(　　)
A．5 B．－5 C．9 D．－9
【答案】C
10．(大庆)下列说法中，正确的是(　　)
A．若a≠b，则a2≠b2
B．若a>|b|，则a>b
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若|a|>|b|，则a>b
【答案】B
二、 拓展提升
11．(1)根据已知条件填空：
①已知(－1.2)2＝1.44，那么(－12)2＝________，(－0.12)2＝____________；
②已知(－3)3＝－27，那么(－30)3＝________，(－0.3)3＝__________．
【答案】144，0.0144，-27000，-0.027
(2)观察上述计算结果我们可以看出：
①底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数点向左(右)移动________位；
②底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数点向左(右)移动________位．
【答案】两，三
12、计算：
(1)－；
＝－(－)×(－)×＝；
(2)；
＝＝××＝－；
(3)－42×；
＝－16×16
＝－256；
(4)×.
＝×
＝－××××＝－.
13、求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？
(1)×23＝______，＝______；
(2)×43＝______，＝______；
(3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______；
(4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______．
【答案】1，1；，；16，16；400，400
试用你发现的规律计算×
【答案】解：规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即am·bm＝(ab)m(m为正整数)．
×＝××4＝×4＝×4＝－1×4＝－4.

题组B 能力提升练
1．式子的意义是（ ）．
A． 4与5商的立方的相反数 B．4的立方与5的商的相反数
C．4的立方的相反数除5 D．的立方
【答案】B
【解析】表示4的立方与5的商的相反数
2．（宝应县一模）（﹣1）2016的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．﹣2016
【答案】A
【解析】解：∵（﹣1）2016=1，
∴（﹣1）2016的值是1，
故选A．
3．计算(-1)2+(-1)3＝( )
　 A．-2 B．- 1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】 (-1)2＝1，(-1)3＝-1
4．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( ) ．
A．7 B．9 C．3 D．1
【答案】D
【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以的个位数字应为1．
5．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为( ) ．
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C

6．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．
【答案】4 ， -2 ， 3 ， 2， 2， 2
【解析】依据乘方的定义解答
7.（郸城县校级模拟）计算：﹣（﹣3）2=　 　．
【答案】﹣9
8． ； ；= ； ．
【答案】3， -32，
9． ,
【答案】-27，72
题组C 培优拔尖练
11． ， ， ，……，从而猜想：……．
【答案】
【解析】 ， ，， ……
从而猜想：每组数中，右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是：．
所以……．