2023年高考数学大题专练专题10利用导数证明不等式试题含解析

这是一份2023年高考数学大题专练专题10利用导数证明不等式试题含解析，共38页。试卷主要包含了已知，已知函数.，已知实数，设函数，已知函数，，设a，b为实数，且，函数，已知函数，已知函数在区间上单调等内容，欢迎下载使用。
 专题10 利用导数证明不等式
1．（2022·北京市第九中学模拟预测）已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.
（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.
(1)当时，，，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，
所以函数零点的个数是1.
(2)，令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，，，
所以当时，成立.
2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数的最大值为m，证明：.
【答案】(1)增区间为，减区间为；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数研究的单调区间.
（2）应用导数求得的最大值，再构造并利用导数证明不等式.
(1)当时，.
∴，令，得.
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数的减区间为，增区间为；
(2)由，令，得.
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
∴.
令，则.
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴，即.
3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知函数，其中m＞0，f '(x)为f(x)的导函数，设，且恒成立．
(1)求m的取值范围；
(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f '(x)的极小值点为x1，求证：x0＞x1．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导可得解析式，即可得解析式，利用导数求得的单调区间和最小值，结合题意，即可得m的范围.
（2）求得解析式，令，利用导数可得的单调性，根据零点存在性定理，可得存在，使得t(x2)＝0，进而可得f '(x)在x＝x2处取得极小值，即x1＝x2，所以，令，分析可得s(x1)＜0，即可得证
(1)由题设知，
则，
所以
当x＞1时，h'(x)＞0，则h(x)在区间(1，＋∞)是增函数，
当0＜x＜1时，h'(x)＜0，则h(x)在区间(0，1)是减函数，
所以h(x)min＝h（1）＝，解得，
所以m的取值范围为
(2)
令
则＝恒成立，
所以t(x)在(0，＋∞)单调递增．
又，
所以存在，使得t(x2)＝0，
当x∈(0，x2)时，t'(x)＜0，即f ''(x)＜0，则f '(x)在(0，x2)单调递减；
当x∈(x2，＋∞) 时，t'(x)＞0，即f ''(x)＞0，则f '(x)在(x2，＋∞)单调递增；
所以f '(x)在x＝x2处取得极小值．即x1＝x2，
所以t(x1)＝0，即，
所以，
令，则 s(x)在(0，＋∞)单调递增；
所以s(x1)＜0
因为f(x)的零点为x0，则，即s(x0)＝0
所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x1
4．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
【解析】 (1)依题意知，，
令得，
当时，在上，单调递减，在单调递增；
当时，在上，单调递增，在单调递减.
(2)依题意，要证，
①当时，，，故原不等式成立，
②当时，要证：，即证：，
令，则，，
∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，故原不等式成立.
5．（2022·浙江·三模）已知实数，设函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数单调递增，求a的最大值；
(3)设是的两个不同极值点，是的最大零点．证明：．
注：是自然对数的底数．
【答案】(1)在上单调递增；(2)1；(3)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数正负可直接求解函数的单调区间.
（2）由题意得对任意的的恒成立，即可求出a的最大值.
（3）由（2）知，当有两个不同极值点时，，则存在两个零点，故，由此可得出，再证明：．
即可证明。
(1)当时，，故在上单调递增．
(2)若函数单调递增，则对任意的恒成立．
令，
在上，单增，在上，单减，
所以，即.
所以在恒成立，
则在恒成立，
令，则，
所以时，即递减，时，即递增，
故，即.
综上，a的最大值是1．
(3)由于时，单调递增，故当有两个不同极值点时，．
此时，
于是在上单调递减，在上单调递增．
当趋向于0时，趋向于正无穷，，趋向于正无穷时，趋向于正无穷，则存在两个零点，
不妨设，也即的两个不同极值点，故
先估计，令，，
则，所以在上单调递增，
所以当时，，则，
当时，，所以，
所以
则
于是，
由知，，故．
只需再证明：．
由，
趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
故存在．
又是的最大零点，则，得证！
6．（2022·天津·静海一中模拟预测）已知函数，
(1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值；
(2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围；
(3)若，且，证明：>
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先求出切线的方程，然后设与相切时的切点为，然后可建立方程组求解；
（2）由题可得对于恒成立，然后利用导数求出函数的最大值即可；
（3）首先可得在上单调递减，然后由可得，同理可得，两式相加即可证明.
(1)
，在处切线斜率，，所以切线，
又，设与相切时的切点为，则斜率，
则切线的方程又可表示为，
由，解之得．
(2)
由题可得对于恒成立，即对于恒成立，
令，则，由得，





+
0


↗
极大值
↘
则当时，，由，得：，即实数的取值范围是．
(3)由题知，由得，当时，，单调递减，
因为，所以，即，
所以，①同理，②
①+②得，
因为，
由得，即，
所以，即，所以．
7．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】
(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，
令，则，
记，
记，
又，所以时，时，，
则在单调递减，单调递增，，
.
即实数的取值范围是.
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，又由知，
，
要证，只需，
且关于的函数在上单调递增，
所以只需证，
只需证，
只需证，
，只需证在时为正，
由于，故函数单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点，不妨设，由得（其中）．
且．
要证，只需证，即证，只需证．
又，所以，即．
所以只需证．而，所以，
又，所以只需证．
所以，原命题得证．
[方法三]：
若且，则满足且，由（Ⅱ）知有两个零点且．
又，故进一步有．
由可得且，从而．．
因为，
所以，
故只需证．
又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立．
【整体点评】
本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，
方法一：直接分析零点，将要证明的不等式消元，代换为关于的函数，再利用零点反代法，换为关于的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为与0比较大小，代入函数放缩得到结论.
8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）已知函数．
(1)求的极值点．
(2)若有且仅有两个不相等的实数满足．
（i）求k的取值范围
（ⅱ）证明．
【答案】(1)
(2)（i）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数判断单调性，可求得极小值点；（2）（i）将问题转化为求函数的最小值问题,同时要注意边界; （ⅱ）通过换元,将问题转化为求函数的最值问题,从而获得证明.
(1)
函数的导函数为.
当时，，所以函数单调递减；当时，，所以函数单调递增.
所以为的极值点.
(2)
因为有且仅有两个不相等的实数满足，所以.
（i）问题转化为在(0,+∞)内有两个零点,则.
当时, ,单调递减；当时, ,单调递增.
若有两个零点,则必有,解得：.
若k≥0,当时, ,无法保证有两个零点；
若,又,，,
故存在使得,存在使得.
综上可知, .
（ⅱ）设则t∈(1,+∞).将代入,可得，（*）.
欲证: ，需证即证，将（*）代入，则有，则只需要证明：，即.
构造，则，.
令，则.所以，则，所以在内单减.
又，所以当时，有，单调递增；当时，有，单调递减；
所以，因此，即.
综上所述，命题得证.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)利用导数证明不等式．
9．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数在区间上单调．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的符号求出函数的单调区间，通过单调区间可求得结果．
（2）将问题转化为证明，再分别证明及成立即可．
(1)
由已知得，，
要使函数在区间上单调，可知在区间上单调递增，
令，得，即，
解得，（），
当时满足题意，此时，在区间上是单调递增的，故的最在值为.
(2)
当时，要证明，即证明，
而，故需要证明.
先证：，（）
记，
，
时，，所以在上递增，
，
故，即.
再证：，（）
令，
则则,
故对于，都有，因而在，上递减，
对于，都有，
因此对于，都有.
所以成立，即成立，
故原不等式成立.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键利用不等式放缩，从而使得问题得以顺利解决.
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数.
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)当时，若，，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对求导，讨论结合恒成立易得，利用导数研究的单调性并确定最值，令，构造研究最值，根据恒成立即可求参数.
（2）由题设得，令，构造并应用导数研究最值，结合已知即可证结论.
(1)
由题设，且，
当时，即递增，而，
所以上，不满足题设；
当时，在上，递减，
在上，递增，
所以，
故要使恒成立，只需，
令，，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，
综上，，可得.
(2)
由题设，，
则，
所以，
由，令，，
所以，
当时，递减；
当时，递增；
则，即，又，
所以，当时等号成立，即，而，
故.
【点睛】
关键点点睛：
（1）分类讨论m研究单调性，进而得到最小值关于m的表达式，构造函数研究最小值的范围，即可求参数；
（2）根据已知得到，构造中间函数研究最值即可.
11．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接求导，由解出，再检验此时是的极值点即可；
（2）将转化为证，求导确定单调性，借助隐零点得，，由即可证明.
(1)
由题意知，，则，解得；
当时，，当时，，，，
当时，，，，则是的极值点，则；
(2)
若，则，令，则，
令，则，又，则存在使，
则，，，，则函数在单减，在单增，则，则.
12．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)若函数，讨论的单调性.
(2)若函数，证明：.
【答案】(1)当时，f(x)在上单调递增; 当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增 ；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由题意可得，求导，分和讨论即可；
(2)令，利用导数确定的单调性并求出最小值，再令，利用导数确定的单调性并求出最小值即可得证.
(1)
解：因为，所以，
的定义域为，
.
当时，在上单调递增.
当时，若，则单调递减；
若，则单调递增.
综上所述：当时，f(x)在上单调递增; 当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增 ；
(2)
证明：.
设，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，
因此，当且仅当时，等号成立.
设，则.
当时，单调递减：当时，单调递增.
因此，
从而，则，
因为，所以中的等号不成立，
故.
13．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)判断与的大小，并证明．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）当时，由可得或，利用参变量分离法可得出或对任意的恒成立，利用导数求出相应函数的最值，即可求得实数的取值范围；
（3）由（1）可知当时，，则，然后利用不等式的可加性可得出与的大小关系.
(1)
解：函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数的减区间为；
当时，方程在时的解为，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为.
(2)
解：当时，由可得或.
若对任意的恒成立，则，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，即，此时函数单调递增，
当时，，即，此时函数单调递减，
且当时，，因为，故当时，，
，解得；
若对任意的恒成立，则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，当时，，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
(3)
解：，理由如下：
由（1）知，当时，在上为增函数，
当时，，即，则，
因此，.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
14．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若的两个零点分别为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义切线的斜率为，利用点斜式求切线方程；（2）分析可得对的零点即的零点，对分析可得，利用零点整理可得，构建函数利用导数证明．
(1)
当时，，，
又，所以切点坐标为，切线的斜率为．
所以切线方程为，即
(2)
由已知得有两个不等的正实跟．
所以方程有两个不等的正实根，即有两个不等的正实根，①
要证，只需证，即证，
令，，所以只需证，
由①得，，
所以，，消去a得，只需证，
设，令，则，
则，即证
构建则，
所以在上单调递增，则，
即当时，成立，
所以，即，即，
所以，证毕．
【点睛】
利用同构处理可得，结合零点代换整理可得．
15．（2022·全国·模拟预测（理））已知．
(1)讨论的零点的个数．
(2)求证：．
【答案】(1)时2个，时1个；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的零点等价于方程的根，所以可求的根，分类讨论即可求解.
（2）首先利用导数证明，由不等式转化为只需证，分，两种情况讨论，当时，利用导数求最值即可.
(1)
令，
当时，，所以此时只有一个零点.
当且时，或，此时有两个零点，
综上，当时，只有1个零点1，当时，有2个零点a和1.
(2)
当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，，所以，
所以，
令
当时，
当时，，
令，则，
再令，则，
在上为增函数，，
在上为增函数，，
在上为增函数，，
，即.
综上，.
【点睛】
关键点点睛：证明不等式成立时，选择思路是解题的关键，本题在证明过程中分为两部分证明，先证明，再证明，在证明第二部分中，需要分自变量的范围讨论，这是本题的另一关键所在，在证明上时需要多次求导，本题属于较难题目.
16．（2022·全国·高考真题（理））已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
【答案】(1)
(2)证明见的解析
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
(1)
的定义域为，

令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
(2)
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设
要证,即证
因为,即证
因为,即证
即证
即证
下面证明时，
设，
则

设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令

所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
【点睛】
关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
17．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)求证：数列的前n项和小于
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先化简整理得到，求导，得到导函数在上大于0恒成立，从而得到在上单调递增；（2）只需证明，结合第一问可知，变形为，故
，变形后证明出结论.
(1)
，
，
因为，所以，则，
而时，，，
故函数在上单调递增.
(2)
要证，
即证：当时，且时，，
由（1）可知：，即，
故，
令，故，故，
故，
因为，，故，所以，
，
故

因为

，
故，
所以当时，且时，.
【点睛】
导函数证明有关正整数的不等式，要选择合适的函数，研究其单调性和最值，代入合适的自变量，进行证明.
18．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，利用的零点及单调性推理作答.
（2）由（1）可得当时，不恒成立，当时，将转化为和恒成立求解.
(1)
函数的定义域为，求导得：，
显然函数在上单调递增，而，即当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以.
(2)
当时，由（1）知，当时，，，即不恒成立，不合题意，
当时，等价于“当时，，当时，”，
当时，令，求导得，显然在上单调递减，
令，，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，，即，
因此，，当时，，，
当时，，而，从而存在唯一实数，使得，即，
当时，，当时，，则（即）在上单调递增，在上单调递减，
而，当时，在上，在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，在上，在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，在上单调递增，在上单调递减，，，
于是得在上单调递减，而，即当时，，当时，，符合题意，
因此，，，
所以.
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
19．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为的两个不同零点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分离参数求解参数的取值范围，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可；
（2），将证明不等式转化为证明和，根据（1）的结果可证，代入零点，得，，两式相减，化简得，令，即证明，通过构造函数，利用导数求解函数在区间上的最值，即可证明.
(1)
解：当时，，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，即在上恒成立，则，
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
故，
所以实数的取值范围是．
(2)
证明：要证明，
即证，
只需证和．
由（1）知，当，时，，即，
所以．
要证，即证．
因为为的两个不同零点，不妨设，
所以，，
则，
两边同时乘以，可得，
即．
令，则．
即证，即证，
即证．
令函数，，则，
所以在上单调递增，所以．
所以．故．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
20．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数（e为自然对数的底数）．
(1)令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)令，若函数有两不同零点．
①求实数m的取值范围；
②证明：．
【答案】(1)；
(2)① ；②证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据为偶函数，将问题转化为时恒成立，根据及参变分离求有恒成立，求参数范围；
（2）①利用导数研究的单调性，及区间值域情况，进而判断有两不同解时m的范围即可；②由（1）知：时且，应用放缩法有，构造研究极值并判断的两根与大小关系得到即可证结论.
(1)
由题设，，则，
所以为偶函数，故只需时，恒成立，而满足，
所以有恒成立，令，则，
若，则，仅当时等号成立，
所以，即在上递增，则，即，
所以，在上，则，
综上：a的范围为．
(2)
①由题设，，若得：，
故在单调减，在单调增，且趋向负无穷趋向于0，趋向正无穷趋向于正无穷，
又，，则时，；时，，
要使有两个不同解且，则；
②由（1）知：时，则；
记且，则，
所以上，上，
故在上递减，上递增，且，
所以也有两根，记为，又上，则，
令，则为的两根，故，，
所以，而，
所以．
【点睛】
关键点点睛：第二问，利用导数研究的性质并确定区间值域求参数范围；应用放缩法有上，研究不等式右侧的性质并确定两根与两根的大小关系，结合韦达定理、基本不等式证明结论.