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    2022-2023学年浙江省嘉兴市高二(下)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年浙江省嘉兴市高二(下)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年浙江省嘉兴市高二(下)期末数学试卷(含解析),共21页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年浙江省嘉兴市高二(下)期末数学试卷
    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 设集合A={x|x2+x−6<0},B={x|x+1>0},则A∩B=(    )
    A. (−3,−1) B. (−1,2) C. (2,+∞) D. (−3,+∞)
    2. 设z=2+ii(i为虚数单位),则z−=(    )
    A. 1+2i B. 1−2i C. −1+2i D. −1−2i
    3. 已知a,b为非零向量,且满足b⋅(a+b)=0,则a−b在b上的投影向量为(    )
    A. 2b B. 32b C. −32b D. −2b
    4. 设函数f(x)=2|x−a|(a∈R),则“a≤0”是“f(x)在(1,+∞)上单调递增”的(    )
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
    5. 已知α,β∈(0,π)且满足sinα+sinβ= 3(cosα+cosβ),则(    )
    A. tan(α+β)= 3 B. tan(α+β)=− 3
    C. cos(α+β)= 32 D. cos(α+β)=− 32
    6. 设X∼N(1,σ12),Y∼N(1.5,σ22),σ1,σ2>0.这两个正态分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是(    )

    A. P(X≥2) B. P(X≤1.5) C. P(0≤X≤2)>P(1≤Y≤2)
    D. P(|X−1|<σ2) 7. 某校一场小型文艺晚会有6个节目,类型为:2个舞蹈类、2个歌唱类、1个小品类、1个相声类.现确定节目的演出顺序,要求第一个节目不排小品类,2个歌唱类节目不相邻,则不同的排法总数有(    )
    A. 336种 B. 360种 C. 408种 D. 480种
    8. 在三棱锥P−ABC中,PA=PB=2,PC= 102,平面PAB⊥平面ABC,则该三棱锥体积的最大值为(    )
    A. 12 B. 22 C. 32 D. 1
    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
    9. 某校一支田径队有男运动员12人,女运动员8人,全队中身高最高为190cm,最低为160cm,则下列说法正确的有(    )
    A. 该田径队队员身高数据的极差为30cm
    B. 用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本,则每位运动员被抽到的概率均为12
    C. 按性别用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本,样本按比例分配,则男、女运动员抽取的人数分别为7人与3人
    D. 若田径队中男、女运动员的平均身高分别为175cm和165cm,则该田径队的运动员总体平均身高为171cm
    10. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的部分图象如图所示,则下列结论正确的有(    )

    A. A=1,k=12 B. φ=−π6
    C. f(x)在区间[5π12,11π12]上单调递减 D. f(x−5π12)为偶函数
    11. 一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1s向左或向右移动一个单位,向左移动的概率为13,向右移动的概率为23.则下列结论正确的有(    )


    A. 第八次移动后位于原点0的概率为(23)4×(13)4
    B. 第六次移动后位于4的概率为C65×(23)5×13
    C. 第一次移动后位于−1且第五次移动后位于1的概率为C43×(23)3×(13)2
    D. 已知第二次移动后位于2,则第六次移动后位于4的概率为C43×(23)3×13
    12. 定义域为R的函数f(x)满足f(x−y)−f(x+y)=f(x+1)f(y+1),f(0)≠0,则(    )
    A. f(1)=0 B. f(0)=f(2) C. f(3)=f(−1) D. k=123f(k)=−2
    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
    13. 某学生在对50位同学的身高y(单位:cm)与鞋码x(单位:欧码)的数据进行分析后发现两者呈线性相关,得到经验回归方程y =3x+a .若50位同学身高与鞋码的均值分别为y−=170,x−=40,则a = ______ .
    14. (2x+1x2)5的展开式中x2的系数为______ .(用数字作答)
    15. 某校团委组织了一场“承五四精神,谱青春华章”的学生书画比赛,评出一、二、三等奖作品若干,其中二等奖和三等奖作品数量相等,高二年级作品分别占40%,40%,60%.现从获奖作品中任取一件,记事件A=“取出一等奖作品”,B=“取出获奖作品为高二年级”,若P(AB)=0.16,则P(A|B)= ______ .
    16. 若3(sin5θ+cos52θ)>5(sin3θ+cos32θ),θ∈[0,2π),则θ的取值范围为______ .
    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题10.0分)
    记Sn为数列{an}的前n项和,且a1>0,已知Sn+1an+1−Snan=12.
    (1)若a1=1,求数列{an}的通项公式;
    (2)若1S1+1S2+⋯+1Sn<1对任意n∈N*恒成立,求a1的取值范围.
    18. (本小题12.0分)
    如图,在三棱锥P−ABC中,已知PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.
    (1)求证:BC⊥平面PAC;
    (2)若BC= 3AC,M是PB的中点,AM与平面PBC所成角的正弦值为23,求平面PBC与平面ABC夹角的余弦值.

    19. (本小题12.0分)
    记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=π2,sinA=1−c 3b.
    (1)求角A的大小;
    (2)若D为线段AC上的一点,且满足AD=1,BD=2,求△BDC的面积.
    20. (本小题12.0分)
    某校学生每一年需要进行一次体测,体测包含肺活量、50米跑、立定跳远等多个项目,现对该校的80位男生的肺活量等级(优秀、良好、合格、不合格)进行统计,得到如下列联表:
    身高
    肺活量等级
    合计
    良好和优秀
    不合格和合格
    低于175公分
    22
    22
    44
    不低于175公分
    30
    6
    36
    合计
    52
    28
    80
    (1)能否有99.5%的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联?
    附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中a+b+c+d=n.
    P(K2≥k)
    0.01
    0.005
    0.001
    k
    6.635
    7.879
    10.828
    (2)某体测小组由6位男生组成,其中肺活量等级不合格的有1人,良好的有4人,优秀的有1人,肺活量等级分按如下规则计算:不合格记0分,合格记1分,良好记2分,优秀记3分.在该小组中随机选择2位同学,记肺活量等级分之和为X,求X的分布列和均值.
    21. (本小题12.0分)
    已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点分别为A,B,上顶点为D,M为椭圆C上异于四个顶点的任意一点,直线AM交BD于点P,直线DM交x轴于点Q.
    (1)求△MBD面积的最大值;
    (2)记直线PM,PQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1−2k2为定值.

    22. (本小题12.0分)
    已知函数f(x)=alnxa−x,g(x)=ax−aex.(e=2.71828⋯为自然对数的底数)
    (1)当a=1时,求函数y=f(x)的最大值;
    (2)已知x1,x2∈(0,+∞),且满足f(x1)>g(x2),求证:x1+aex2>2a.
    答案和解析

    1.【答案】B 
    【解析】解:由题意可得A=(−3,2),B=(−1,+∞),
    ∴A∩B=(−1,2).
    故选:B.
    先化简,再运算即可得解.
    本题考查集合的基本运算,属基础题.

    2.【答案】A 
    【解析】解:因为z=2+ii=−i(2+i)=1−2i,
    所以复数z的共轭复数z−=1+2i.
    故选:A.
    根据复数的除法法则进行运算,再利用共轭复数的概念求解.
    本题主要考查复数的四则运算,属于基础题.

    3.【答案】D 
    【解析】解:∵b⋅(a+b)=0,
    ∴a⋅b+b2=0,
    ∴a⋅b=−b2,
    ∴a−b在b上的投影向量为(a−b)⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b−b2|b|2⋅b=−2b.
    故选:D.
    运用平面向量数量积及投影向量公式计算即可.
    本题主要考查了向量的数量积运算,考查了投影向量的定义,属于基础题.

    4.【答案】A 
    【解析】解:因为f(x)=2|x−a|在(1,+∞)上单调递增,
    所以由复合函数的单调性可知,a≤1,
    所以“a≤0”是“a≤1”的充分不必要条件.
    故选:A.
    运用复合函数单调性求得a的范围,再运用集合的包含关系即可求得结果.
    本题考查复合函数单调性,属于基础题.

    5.【答案】B 
    【解析】解:因为sinα+sinβ=sin(α+β2+α−β2)+sin(α+β2−α−β2)=2sinα+β2cosα−β2,
    cosα+cosβ=cos(α+β2+α−β2)+cos(α+β2−α−β2)=2cosα+β2cosα−β2,
    sinα+sinβ= 3(cosα+cosβ),
    所以2sinα+β2cosα−β2= 3×2cosα+β2cosα−β2,
    又因为α,β∈(0,π),
    所以−π2<α−β2<π2,0<α+β2<π,
    所以cosα−β2>0,
    所以sinα+β2= 3cosα+β2,
    所以tanα+β2= 3,
    又因为0<α+β2<π,
    所以α+β2=π3,
    所以α+β=2π3,
    所以tan(α+β)=tan2π3=− 3,
    所以cos(α+β)=cos2π3=−12.
    故选:B.
    运用配凑角α=α+β2+α−β2,β=α+β2−α−β2代入已知等式中可得tanα+β2,再结合角的范围可求得α+β的值,进而可求得tan(α+β)、cos(α+β)的值.
    本题主要考查了两角和与差的三角函数公式,属于中档题.

    6.【答案】D 
    【解析】解:对于A项,由图可知,P(X≥2)>P(Y≥2),故A项不成立;
    对于B项,由图可知,P(X≤1.5)>12,P(Y≤1.5)=12,所以P(X≤1.5)>P(Y≤1.5),故B项不成立;
    对于C项,因为P(1≤Y≤2)=1−2P(Y>2),P(0≤X≤2)=1−2P(X>2),P(X>2)>P(Y>2),
    所以P(0≤X≤2) 对于D项,由图可知,σ1>σ2,所以P(|X−1|<σ2) 故选:D.
    运用正态分布密度曲线的对称性求解即可.
    本题主要考查了正态分布曲线的对称性,属于基础题.

    7.【答案】C 
    【解析】解:利用间接法:
    第一个节目不排小品类,共有A51A55=600种不同的排法,
    第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻,共有A22A41A44=192种不同的排法,
    所以第一个节目不排小品类,2个歌唱类节目不相邻,有600−192=408种不同的排法.
    故选:C.
    先求第一个节目不排小品类不同的排法种数,再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数,再相减即可.
    本题考查排列组合相关知识,属于中档题.

    8.【答案】B 
    【解析】解:因为平面PAB⊥平面ABC,AB为两平面交线,
    取AB中点O,因为PA=PB=2,所以OP⊥AB,
    又OP⊂平面PAB,所以OP⊥平面ABC,所以三棱锥的体积V=13S△ABC⋅OP,
    因为PC= 102,OC= PC2−OP2,所以当OP长度确定时,OC长度不变,
    此时当OC⊥AB时△ABC面积达到最大,故求出当OC⊥AB时三棱锥体积的最大值即可.
    当OC⊥AB时,令∠APO=θ∈(0,π2),
    则OP=2cosθ,AB=4sinθ,OC= 52−4cos2θ,
    则V=13S△ABC⋅OP=13⋅2sinθ⋅ 52−4cos2θ⋅2cosθ
    =23 sin22θ⋅(52−4cos2θ)
    =23 (1−cos22θ)(12−2cos2θ),
    由(1−cos22θ)(12−2cos2θ)>0可得−1 令cos2θ=t∈(−1,14),则f(t)=(1−cos22θ)(12−2cos2θ)=(1−t2)(12−2t),
    从而f′(t)=6t2−t−2=(2t+1)(3t−2),

    当t∈(−1,−12)时f′(t)>0,f(t)单调递增,
    当t∈(−12,14)时f′(t)<0,f(t)单调递减,
    所以f(t)max=f(−12)=98,
    即最大体积为Vmax=23 f(t)max=23× 98= 22.
    故选:B.
    利用面面垂直的性质定理得出OP⊥平面ABC,分析知当OC⊥AB时三棱锥体积最大,令∠APO=θ∈(0,π2),则体积V=23 (1−cos22θ)(12−2cos2θ),换元构造函数,利用导数求得其最值即可.
    本题考查三棱锥的体积的最值的求解,函数思想,导数的应用,属中档题.

    9.【答案】ABD 
    【解析】解:对于A,由于全队中身高最高为190cm,最低为160cm,该田径队队员身高数据的极差为190−160=30cm,故A正确;
    对于B,由已知田径队共有20人,用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本,则每位运动员被抽到的概率均为1020=12,故B正确;
    对于C,田径队有男运动员12人,女运动员8人,男女生比例为128=32,若抽取一个容量为10的样本,男、女运动员抽取的人数分别为6人与4人,故C错误;
    对于D,若田径队中男、女运动员的平均身高分别为175cm和165cm,男生占35,女生占25,则该田径队的运动员总体平均身高为x−=35×175+25×165=171cm,故D正确.
    故选:ABD.
    对于A,身高的最大值减最小值即可;对于B,不放回的简单随机抽样中每个个体被抽取的概率相等,等于抽取的人数与总体人数的比;对于C,利用分层抽样的方法按比例抽取即可;对于D,根据男女生的比例及平均数公式求得结果.
    本题主要考查了平均数和极差的计算,考查了分层抽样的定义,属于基础题.

    10.【答案】AC 
    【解析】解:由图可知,A+k=32−A+k=−12⇒A=1k=12,
    T2=5π12−(−π12)=π2⇒T=π,
    所以ω=2πT=2ππ=2,
    所以f(x)=sin(2x+φ)+12,
    将点(5π12,32)代入f(x)=sin(2x+φ)+12可得:2×5π12+φ=π2+2kπ,k∈Z,
    又因为|φ|<π2,
    所以φ=−π3,
    所以f(x)=sin(2x−π3)+12,故A项正确,B项错误;
    对于C项,因为T=π,所以T2=π2,
    由图可知,f(x)在[5π12,5π12+π2]上单调递减,
    即:f(x)在[5π12,11π12]上单调递减,故C项正确;
    对于D项,因为f(x)=sin(2x−π3)+12,
    所以f(x−5π12)=sin[2(x−5π12)−π3]+12=sin(2x−7π6)+12=sin(2x+5π6)+12,
    当x=0时,sin(2x+5π6)=sin5π6≠±1,
    所以f(x−5π12)不是偶函数,故D项错误.
    故选:AC.
    由图列方程组A+k=32−A+k=−12可判断A项,代入点(5π12,32)可判断B项,结合图象及其周期可判断C项,令x=0计算sin(2x+5π6)≠±1可判断D项.
    本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的性质,考查运算求解能力,属于中档题.

    11.【答案】BCD 
    【解析】解:对于A项,在8次移动中,设变量X为质点向右运动的次数,则X~B(8,23),
    若移动8次后,质点位于0的位置,则质点向右移动4次,向左移动4次,
    所以第八次移动后位于原点0的概率为C84×(23)4×(13)4,故A项错误;
    对于C项,记“第一次移动后位于−1”为事件A,“第五次移动后位于1”为事件B,
    由题意知,质点先向左移动1次,剩余的4次中质点向右移动3次,向左移动1次,
    所以第一次移动后位于−1且第五次移动后位于1的概率为P(AB)=C43×(23)3×(13)2,故C项正确;
    对于B项,在6次移动中,设变量X为质点向右运动的次数,则X~B(6,23),
    若移动6次后,质点位于4的位置,则质点向右移动5次,向左移动1次,
    所以第八次移动后位于原点0的概率为C65×(23)5×13,故B项正确;
    对于D项,记“第二次移动后位于2”为事件M,“第六次移动后位于4”为事件N,
    当第二次移动后位于2且第六次移动后位于4时,质点先向右移动2次,剩余的4次中质点向右移动3次,向左移动1次,
    所以P(MN)=(23)2×C43×(23)3×13,P(M)=(23)2,
    所以已知第二次移动后位于2,则第六次移动后位于1的概率为P(N|M)=P(MN)P(M)=(23)2×C43×(23)3×13(23)2=C43×(23)3×13,故D项正确.
    故选:BCD.
    运用二项分布可判断A项、B项,运用分步乘法计算可判断C项,运用条件概率公式计算可判断D项.
    本题考查独立重复试验的概率计算,属于中档题.

    12.【答案】ACD 
    【解析】解:对于A,令x=y=0可得f(1)=0,A选项正确;
    对于B,令x=0,则f(−y)−f(y)=f(1)⋅f(y+1)=0,即f(−y)=f(y),
    则f(x)为R上的偶函数;
    令x=y=1,则f(0)−f(2)=[f(2)]2①,
    令x=y=−1,则f(0)−f(−2)=[f(0)]2,
    即f(0)−f(2)=[f(0)]2②;
    由①②得[f(0)]2=[f(2)]2,
    即f(0)=±f(2);
    若f(0)=f(2),
    则[f(0)]2=f(0)−f(2)=0,与条件f(0)≠0不符,
    故f(0)=−f(2),
    此时有2f(0)=[f(0)]2,
    因为f(0)≠0,
    所以f(0)=2,f(2)=−2,B选项错误;
    对于C,令y=1,则f(x−1)−f(x+1)=f(x+1)f(2)=−2f(x+1),即f(x−1)=−f(x+1),
    所以f(x+2)=−f(x),
    从而f(x+4)=f(x),
    故T=4为函数f(x)的一个周期,
    所以f(3)=f(−1),C选项正确;
    对于D,因为f(x+2)=−f(x),
    所以f(3)=−f(1)=0,f(4)=−f(2)=2,
    此时有k=14f(k)=0,则k=123f(k)=f(1)+f(2)+f(3)=−2,D选项正确.
    故选:ACD.
    利用赋值法对x,y进行赋值结合函数的周期可得答案.
    本题考查抽象函数及其运用,考查运算求解能力,属于中档题.

    13.【答案】50 
    【解析】解:因为经验回归方程为y =3x+a ,y−=170,x−=40,
    所以a =y−−3x−=170−3×40=50.
    故答案为:50.
    利用回归方程必过样本中心(x−,y−),代入求解即可.
    本题考查线性回归方程相关知识,属于中档题.

    14.【答案】80 
    【解析】解:(2x+1x2)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅25−r⋅x5−3r,
    令5−3r=2,求得r=1,可得x2的系数为C51×24=80,
    故答案为:80.
    在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得含x2的系数.
    本题考查二项式定理,属于基础题.

    15.【答案】823 
    【解析】解:设一、二、三等奖作品分别有x,y,y件,
    所以P(AB)=0.4xx+2y=0.16,解得:x=43y,
    所以P(B)=0.4x+0.4y+0.6yx+2y=0.46,
    所以P(A|B)=P(AB)P(B)=0.160.46=823.
    故答案为:823.
    设出一、二、三等奖作品件数,由P(AB)=0.16可得x=43y,进而可求得P(B),结合条件概率公式计算可得结果.
    本题主要考查了古典概型的概率公式,考查了条件概率公式,属于基础题.

    16.【答案】(7π6,11π6) 
    【解析】解:原不等式等价于3sin5θ−5sin3θ>3(−cos2θ)5−5(−cos2θ)3,
    令f(x)=3x5−5x3,则不等式等价于f(sinθ)>f(−cos2θ),
    因为f′(x)=15x2(x2−1),所以当x∈(−1,1)时,f′(x)<0,
    所以f(x)在[−1,1]上单调递减,
    又因为sinθ,−cos2θ∈[−1,1],
    所以sinθ<−cos2θ,即2sin2θ−sinθ−1>0,
    即(2sinθ+1)(sinθ−1)>0,解得sinθ<−12或sinθ>1,
    又因为θ∈[0,2π),所以θ∈(7π6,11π6).
    故答案为:(7π6,11π6).
    构造函数f(x)=3x5−5x3研究其在[−1,1]上的单调性,运用其单调性可得sinθ<−cos2θ,解不等式即可.
    本题主要考查利用导数研究函数的单调性,三角函数不等式的解法,考查运算求解能力,属于中档题.

    17.【答案】解:(1)∵Sn+1an+1−Snan=12,a1=1,
    ∴数列{Snan}是首项为1,公差为12的等差数列,
    则Snan=1+12(n−1)=n+12,
    即2Sn=(n+1)an,2Sn−1=nan−1(n≥2),
    两式作差得2an=(n+1)an−nan−1,
    即anan−1=nn−1(n≥2),
    ∴anan−1×an−1an−2×an−2an−3×⋯×a2a1=nn−1×n−1n−2×⋯×21,
    即ana1=n,an=n(n≥2),
    ∵a1=1,∴an=n;
    (2)由题意得Sn=(a1+na1)⋅n2,
    ∴1Sn=2a1⋅1n(n+1)=2a1⋅(1n−1n+1),
    则k=1n1sk=2a1k=1n(1k−1k+1)
    =2a1(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)
    =2a1(1−1n+1),
    当n→+∞时,2a1(1−1n+1)→2a1,
    ∵a1>0,∴k=1n1Sk<1恒成立转化为2a1≤1,解得a1≥2,
    故a1的取值范围为[2,+∞). 
    【解析】(1)由已知得{Snan}为公差为12的等差数列,求得2Sn=(n+1)an,利用an与Sn的关系求得anan−1=nn−1(n≥2),再利用累乘法,即可得出答案;
    (2)利用等差数列前n项和公式表示出Sn,即可得出1Sn=2a1⋅(1n−1n+1),然后利用裂项相消法求得其前n项的和,即可得出答案.
    本题考查数列的求和,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.

    18.【答案】证明:(1)过点A作AD⊥PC于点D,因为平面PAC⊥平面PBC,
    平面PAC⋂平面PBC=PC,AD⊂平面PAC,所以AD⊥平面PBC,
    因为BC⊂平面PBC,所以AD⊥BC,又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,
    又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.

    (2)解:因为BC⊥平面PAC,所以BC⊥AC,则以CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立空间直角坐标系,

    z轴//AP,取BC= 3,AC=1,PA=a,则A(0,1,0),B( 3,0,0),P(0,1,a),M( 32,12,a2),CP=(0,1,a),CB=( 3,0,0),AM=( 32,−12,a2);
    设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),由m⋅CP=m⋅CB=0可得:x=0,y+a⋅z=0,;
    取y=a,z=−1,则m=(0,a,−1),
    平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),设AM与平面PBC所成角为α,
    则sinα=|cos〈AM,m〉|=|−a2−a2 a2+1⋅ 1+a24|=23,解得a= 2,
    此时m=(0, 2,−1),则cos〈m,n〉=−11× 3=− 33,
    设平面PBC与平面ABC的夹角为β,
    则cosβ=|cos〈m,n〉|= 33. 
    【解析】(1)利用面面垂直的性质可得线面垂直;
    (2)先根据线面角求出PA的长,然后利用法向量求解二面角.
    本题主要考查二面角平面角的求解,考查转化能力,属于中档题.

    19.【答案】解:(1)因为sinA=1−c 3b
    由正弦定理可得sinA=1−sinC 3sinB=1−sinC 3,
    因为B=π2,所以sinC=cosA,
    则 3sinA+cosA= 3,即sin(A+π6)= 32,
    因为0 (2)因为ADsin∠ABD=BDsinπ6,
    所以sin∠ABD=14,
    cos∠DBC=sin∠ABD=14,
    所以sin∠DBC= 154,
    CD=BDsinπ3⋅sin∠DBC= 5⇒AC=1+ 5⇒BC=1+ 52
    S△BDC=12×CD×BC×sinπ3=12× 5×1+ 52× 32= 15+5 38. 
    【解析】(1)由已知,利用正弦定理结合辅助角公式可得sin(A+π6)= 32,从而可得答案;
    (2)利用正弦定理求得sin∠ABD=14,可得sin∠DBC= 154,从而得CD= 5,再由三角形面积公式可得答案.
    本题主要考查正弦定理的应用,考查运算求解能力,属于中档题.

    20.【答案】解:(1)零假设H0:认为男生的身高与肺活量的等级划分无关联,
    K2=80×(22×6−22×30)244×36×52×28≈9.67>7.879,
    所以假设不成立,所以我们有99.5%的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联.
    (2)由题意知,X的可能取值为:2、3、4、5.
    P(X=2)=C11C41C62=415,P(X=3)=C11C11C62=115,P(X=4)=C42C62=615,P(X=5)=C41C11C62=415,
    则X的分布列如下:
    X
    2
    3
    4
    5

    415
    115
    615
    415
    所以,E(X)=2×415+3×115+4×615+5×415=113. 
    【解析】(1)计算K2判断即可.(2)分析出X的可能取值为2,3,4,5,分别计算各自概率,写出分布列和期望即可.
    本题考查离散型随机变量的应用,属于中档题.

    21.【答案】解:(1)方法1:如图所示,

    由题意知,A(−2,0),B(2,0),D(0,1),
    设M(2cosα,sinα),lBD:x+2y−2=0,
    则|BD|= 5,
    点M到直线BD的距离为:d=|2cosα+2sinα−2| 5=|2 2sin(α+π4)−2| 5,
    所以d=|2 2sin(α+π4)−2| 5≤|−2 2−2| 5=2 2+2 5,
    所以S△MDB≤12× 5×2 2+2 5= 2+1.
    故△MBD面积的最大值为: 2+1.
    方法2:设与BD平行的直线l:x+2y+t=0,
    联立x+2y+t=0x2+4y2=4得8y2+4ty+t2−4=0,
    令Δ=16(−t2+8)=0⇒t=±2 2,
    显然当t=2 2时l与椭圆的切点与直线BD的距离最大,
    dmax=|2 2−(−2)| 12+22=2 2+2 5,
    所以S△MDB≤12× 5×2 2+2 5= 2+1.
    故△MBD面积的最大值为: 2+1.
    (2)证明:如图所示,

    设直线lAM:x=my−2,
    联立x2+4y2=4x=my−2得(m2+4)y2−4my=0,
    则点M的坐标为(2m2−8m2+4,4mm2+4),
    设点Q为(t,0),则kQD=kMD,
    所以1−t=4mm2+4−12m2−8m2+4,即t=2(m+2)m−2,
    所以Q(2(m+2)m−2,0),
    联立x=my−2y=−12x+1得点P的坐标为(2(m−2)m+2,4m+2),
    所以k1=4mm2+4−4m+22m2−8m2+4−2(m−2)m+2=1m,k2=4m+2−02(m−2)m+2−2(m+2)m−2=2−m4m,
    所以k1−2k2=1m−2×2−m4m=1m−2−m2m=12.
    故k1−2k2为定值12. 
    【解析】(1)方法1:设出点M的坐标,计算点M到直线BD的距离,运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值,进而可求得结果.
    方法2:联立椭圆方程及与BD平行的直线的方程,令Δ=0,进而可求得结果.
    (2)分别求出交点M、Q、P坐标,计算k1−2k2即可.
    本题主要考查椭圆的性质,直线与椭圆的综合,考查运算求解能力,属于中档题.

    22.【答案】解:(1)当a=1时,f(x)=lnx−x,定义域为(0,+∞),
    则f′(x)=1x−1=1−xx,
    f′(x)>0⇒01,
    ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
    ∴f(x)max=f(1)=−1,
    故f(x)的最大值为−1.
    (2)由题意知,a>0,
    由f(x1)>g(x2)可得alnx1a−x1>ax2−aex2,
    ∴lnx1a−x1a>lnex2−ex2.
    令h(x)=lnx−x,
    由(1)可知,h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
    则h(x1a)>h(ex2),
    令t1=x1a,t2=ex2,
    又x1>0,x2>0,
    ∴t1>0,t2>1,
    则h(t1)>h(t2)
    ①若t1≥1,则t1+t2>2,即x1a+ex2>2,∴x1+aex2>2a;
    ②若0
    则h(t3)=h(t1)>h(t2),
    ∴1 下证:t3+t1>2.
    令F(x)=h(x)−h(2−x)=lnx−ln(2−x)−2x+2,x∈(0,1),
    则F′(x)=1x+12−x−2=2(x−1)2x(2−x)>0,
    ∴F(x)=h(x)−h(2−x)在x∈(0,1)上单调递增,
    ∴F(x) ∴F(t1)=h(t1)−h(2−t1)<0,即h(t1) 又∵h(t3)=h(t1),
    ∴h(t3) ∴t3>2−t1,即t3+t1>2,
    又∵1 ∴t1+t2>2,即x1+aex2>2a.
    由①②可知,x1+aex2>2a得证. 
    【解析】(1)运用导数研究f(x)的单调性,进而求得其最大值.
    (2)同构函数h(x)=lnx−x,转化为h(x1a)>h(ex2),结合换元法t1=x1a,t2=ex2,分别讨论t1≥1与0 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值,不等式的证明,考查运算求解能力,属于难题.

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