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2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了 复数−1−2i的虚部是， 函数f=12的定义域是， 已知tanα=−1，α∈，57B等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷
1. 已知集合A={0,1,2}，B={−1,0}，则A∪B=( )
A. {−1,1,2} B. {0,1,2} C. {−1,0} D. {−1,0,1,2}
2. 复数−1−2i(i为虚数单位)的虚部是( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 函数f(x)=(x−12)12的定义域是( )
A. (−∞,12) B. [12,+∞) C. {−∞,−12} D. [−12,+∞)
4. 已知tanα=−1，α∈(0,π]，那么α的值等于( )
A. π6 B. π4 C. π3 D. 3π4
5. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
241
571
188
如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是( )
A. 0.57 B. 0.33 C. 0.24 D. 0.19
6. 已知向量a=(x,2)，b=(3,6)，a⊥b，则实数x的值为( )
A. 1 B. −4 C. 4 D. −1
7. 球的半径是R=3，则该球的体积是( )
A. 36π B. 20π C. 25π D. 30π
8. 对数lga与lgb互为相反数，则有( )
A. a+b=0 B. a−b=0 C. ab=1 D. ab=1
9. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n的最大值为(参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7)( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 已知a，b为非零实数，则“a>b”是“1a<1b”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，AD=12AB+34AC，则直线AD通过△ABC的( )
A. 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心
12. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f(2−3x)=f(3x)，则下列结论中一定成立的是( )
A. f(1−x)=f(x) B. f(3x+1)=f(3x)
C. f(x−1)为偶函数 D. f(3x)为奇函数
13. 下列函数是增函数的是( )
A. y=x3 B. y=x2 C. y=x12 D. y=−x−1
14. 已知平面α⊥平面β，且α∩β=l，则下列命题不正确的是( )
A. 平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B. 平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C. 平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
D. 过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有( )
A. a=7，b=8，c=5 B. a= 3,b= 2,B=π4
C. sinBsinC=34 D. 2sin2B+C2+cos2A=1
16. 如图，在棱长为2的正方体AC′中，点E为CC′的中点，点P在线段A′C′(不包含端点)上运动，记二面角P−AB−D的大小为α，二面角P−BC−D的大小为β，则( )
A. 异面直线BP与AC所成角的范围是(π3,π2]
B. tan(α+β)的最小值为−43
C. 当△APE的周长最小时，三棱锥B−AEP的体积为109
D. 用平面BEP截正方体AC′，截面的形状为梯形
17. 已知函数f(x)=2x,x≤0f(x−2),x>0，则f(−1)= ______ ，f(log23)= ______ ．
18. 在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm，下底面直径为40cm，高为80cm.为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为______ cm2．
19. 已知正实数x，y满足xy−x−2y=0，则x+y的最小值是______ ．
20. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin2B+sinBsinC，则cb的取值范围为______ ．
21. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用A款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10,70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．
22. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ).其中ω>0.若f(x)的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)；
(1)求ω，φ的值；
(2)若|φ|<π2，求f(x)在区间[−π3,π6]上的值域．
23. 已知函数f(x)=logax+ax+1x+1(x>0)，其中a>1．
(1)若a=2，求f(14)的值；
(2)判断函数f(x)的零点个数，并说明理由；
(3)设f(x0)=0，求证：12
A. P(A−)=12 B. P(A+B)=34
C. 事件A与事件B互斥 D. 事件A与事件B相互独立
25. 已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2，则( )
A. |a+b|的最大值为3 B. |a−b|的最大值为3
C. |a+b|+|a−b|的最大值为6 D. |a+b|−|a−b|的最大值为2
26. 已知函数f(x)=sinx，g(x)=cosx，若θ满足，对∀x1∈[0,π2]，都∃x2∈[−π2,0]使得2f(x1)=2g(x2+θ)+1成立，则θ的值可能为( )
A. π B. 5π6 C. 2π3 D. π2
27. 已知正实数a、b、c满足log3a=log5b，log3b=log5c，其中a>1，则( )
A. logab=log35 B. a>b>c C. ac>b2 D. 2a+2c>2b+1
28. 如图，正四棱锥P−ABCD的高为2 2，体积为8 23．
(1)求正四棱锥P−ABCD的表面积；
(2)若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角A−PB−C的余弦值．
29. 已知定义在R上的函数f(x)=−x2+x|x−a|，其中a为实数．
(1)当a=3时，解不等式f(x)≥−2；
(2)若函数f(x)在[−1,1]上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
(3)对于a∈[4,+∞)，若存在实数x1，x2(x1
1.【答案】D
【解析】解：因为A={0,1,2}，B={−1,0}，
所以A∪B={−1,0,1,2}．
故选：D．
根据并集的定义计算可得．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为复数−1−2i，
所以复数−1−2i(i为虚数单位)的虚部是−2．
故选：A．
利用复数的相关概念求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=(x−12)12= x−12，
所以x−12≥0，则x≥12，
所以f(x)的定义域为[12,+∞)．
故选：B．
利用具体函数定义域的求法求解即可．
主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵已知tanα=−1，且α∈[0,π)，故α的终边在射线y=−x(x≤0)上，
∴α=3π4，
故选：D．
根据tanα=−1，且α∈[0,π)，故α的终边在射线y=−x(x≤0)上，从而得到α的值．
本题考查根据三角函数的值求角的方法，判断α的终边在射线y=−x(x≤0)上，是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由已知统计表可知在1000名志愿者中，
服药后出现体重减轻的人数为241人，
因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．
故选：C．
利用表中数据直接计算即可．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵a=(x,2)，b=(3,6)，a⊥b，
∴3x+2×6=0，即x=−4．
∴实数x的值为−4．
故选：B．
由两向量垂直的坐标运算列式求解．
本题考查两向量垂直的坐标运算，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵R=3，
∴该球的体积V=43πR3=36π．
故选：A．
利用球的体积公式直接计算即可．
本题考查球的体积公式，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵lga=−lgb
∴lga+lgb=0
∴lg(ab)=0
∴ab=1
故选：C．
由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出ab=1．
本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数．
9.【答案】B
【解析】解：第一次操作去掉的线段长度为13，
第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，
第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，
…，
第n次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13，
由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n≥130，
则(32)n≤30，
因为32>1，
所以指数函数y=(32)x为增函数，
又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n∈N*，
所以n=8，
故选：B．
根据题设可得第n次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13，则有(23)n−1⋅13≥160，再根据指数函数性质结合参考数据求n的最大值．
本题考查数列的应用、指数不等式的求解，考查学生的归纳推理能力和计算能力，属中档题．
10.【答案】D
【解析】解：当a>0>b时，1a>0>1b，所以由a>b得不出1a<1b，
若1a<1b，则1a−1b=b−aab<0，若ab<0，则b−a>0，即a
所以“a>b”是“1a<1b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
根据充分条件和必要条件的定义即可判断．
本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：∵|AB|=3，|AC|=2
∴|12AB|=|34AC|=32．
设AE=12AB，AF=34AC，
则|AE|=|AF|，
∴AD=12AB+34AC=AE+AF．
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．
∴AD为菱形的对角线，
∴AD平分∠EAF．
∴直线AD通过△ABC的内心．
故选：D．
首先根据已知条件可知|12AB|=|34AC|=32，又因为AD=12AB+34AC，设AE=12AB，AF=34AC，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过△ABC的内心．
本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f(x)=−f(1−x)，选项A错误；
由f(2−3x)=f(3x)，得f(2−x)=f(x)，所以f(2−x)=−f(1−x)，即f(x+1)=−f(x)，则f(3x+1)=−f(3x)，B错；
由f(x+1)=−f(x)可得f(x+2)=−f(x+1)=f(x)可得函数f(x)的周期为T=2，
f(x)=−f(1−x)与f(x+1)=−f(x)可得f(x+1)=f(1−x)，即函数f(x)的图象关于x=1对称，
根据周期为2可得函数f(x)的图象关于x=−1对称，即f(−1+x)=f(−1−x)，所以f(x−1)为偶函数，C正确；
因为f(2−3x)=f(3x)且函数f(x)的周期为T=2，所以f(2−3x)=f(−3x)=f(3x)，f(3x)为偶函数，故选项D错误．
故选：C．
由f(x+12)是奇函数，得f(x)=−f(1−x)即可判断A，先证明f(x+1)=−f(x)，得到f(3x+1)=−f(3x)，从而判断B，证明f(x)的周期为2，再证明函数f(x)的图象关于x=−1对称，可判断C，由f(2−3x)=f(3x)结合周期性判断D．
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性，对称性及周期性的应用，属于中档题．
13.【答案】AC
【解析】解：对于A，函数y=x3的定义域为R，
函数y=x3在R上单调递增，A正确；
对于B，函数y=x2的定义域为R，
函数y=x2在(−∞,0]上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，B错误；
对于C，函数y=x12的定义域为[0,+∞)，
函数y=x12在[0,+∞)上单调递增，C正确；
对于D，函数y=−x−1的定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)，
函数y=−x−1在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递增，
但f(−1)=−1>1=f(1)，D错误；
故选：AC．
根据幂函数的性质判断各选项的单调性即可．
本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题．
14.【答案】ACD
【解析】解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；
对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；
对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；
对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．
故选：ACD．
根据线面、面面关系逐一判断即可．
本题考查根据线面、面面关系的判断，属中档题．
15.【答案】AD
【解析】解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈(0,π)，
所以A=π3，A正确；
对于B，由正弦定理可得asinA=bsinB，又a= 3,b= 2,B=π4，
所以sinA= 3× 22 2= 32，又A∈(0,π)，
所以A=π3或A=2π3，B错误；
对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，
可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；
对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，
所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，
所以2cos2A+cosA−1=0，解得cosA=12或cosA=−1(舍)，
又A∈(0,π)，所以A=π3，D正确．
故选：AD．
由余弦定理判断A，由正弦定理判断B，举例判断C，结合内角和关系和二倍角公式诱导公式判断D．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为AC//A′C′，
所以异面直线BP与AC所成角为∠BPA′或∠BPC′中的锐角或直角，
又BA′=A′C′=BC′，
所以△BA′C′为等边三角形，
因为点P在线段A′C′(不包含端点)上运动，
所以当P为线段A′C′的中点时，∠BPA′=∠BPC′=π2，
此时异面直线BP与AC所成角为π2，
当点P趋近A′或C′时，异面直线BP与AC所成角趋近π3，
所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3,π2]，选项A正确；
对于B，过点P作PF//A′A，PF∩AC=F，
因为A′A⊥平面ABCD，
所以PF⊥平面ABCD，
过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，
所以∠PGF为二面角P−AB−D的平面角，∠PHF为二面角P−BC−D的平面角，
故∠PGF=α，∠PHF=β，
设A′P= 2x，则FG=AG=x，GB=FH=2−x，0
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，
因为0
所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43,−1),
所以当x=1时，tan(α+β)取最小值，最小值为−43，选项B正确；
对于C，延长EC′到点M，使得EC′=MC′，则PE=PM，
所以AP+PE+AE=AP+PM+AE≥AM+AE，
当且仅当A，P，M三点共线时等号成立，
所以当点P为线段AM与A′C′的交点时，△APE的周长最小，
因为PC′//AC，
所以△PC′M∽△ACM，
所以PC′AC=MC′MC=13，
又AC=2 2，
所以PC′=2 23，
所以△APE的面积S=SACC′A′−S△ACE−S△EC′P−S△AA′P=4 2− 2− 23−4 23=4 23，
又BO⊥AC，BO⊥AA′，AC∩AA′=A，AC，AA′⊂平面ACC′A′，
所以BO⊥平面ACC′A′，
所以点B到平面APE的距离为BO，
所以当△APE的周长最小时，三棱锥B−AEP的体积为V=13×4 23× 2=89，选项C错误；
对于D，延长BE，B′C′，两直线交于点Q，连接PQ，
设PQ⋂C′D′=S，PQ⋂A′B′=T，连接BT，SE，
因为平面ABB′A′//平面DCC′D′，
平面BEP⋂平面ABB′A′=BT，平面BEP⋂平面DCC′D′=ES，
所以BT//ES，
又BT≠ES，
所以四边形BEST为梯形，
所以用平面BEP截正方体AC′，截面的形状为梯形，D正确．
故选：ABD．
由异面直线夹角定义确定异面直线BP与AC所成角，由此判断A；由二面角的定义确定α，β，求tanα，tanβ，利用两角和的正切公式求tan(α+β)，再求其最小值，判断B；确定△APE周长最小时点P的位置，结合锥体体积公式求B−AEP的体积，判断C；根据平面的性质，确定正方体AC′的过点B，E，P的截面，判断D．
本题主要考查异面直线的夹角，二面角的求法，锥体体积问题，正方体的截面，考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力，属于中档题．
17.【答案】12 34
【解析】解：因为f(x)=2x,x≤0f(x−2),x>0，则f(−1)=2−1=12；
因为1=log22
故答案为：12；34．
利用函数f(x)的解析式可求得f(−1)的值，计算出log23的范围，根据函数f(x)的解析式可求得f(log23)的值．
本题主要考查了分段函数中，函数值的求解，属于基础题．
18.【答案】1804π
【解析】解：作圆台的轴截面如下：
过点A作AE⊥BC，垂足为E，
由已知，AE=80，BE=12×(40−4)=18，
所以AB= AE2+BE2=82，
所以圆台的母线长为82cm，
由已知圆台的上底半径为2cm，下底半径为20cm，
所以圆台的侧面积S=π×(2+20)×82=1804π(cm2).
故答案为：1804π．
作圆台的轴截面，利用条件求其母线长，再由圆台侧面积公式求其侧面积即可．
本题主要考查圆台侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】3+2 2
【解析】解：因为xy−x−2y=0，
所以x+2y=xy，
所以2x+1y=1，
所以x+y=(x+y)(2x+1y)=2+xy+2yx+1≥3+2 xy⋅2yx=3+2 2，
当且仅当xy=2yx，2x+1y=1时等号成立，即x=2+ 2,y= 2+1时等号成立，
所以x+y的最小值是3+2 2．
故答案为：3+2 2．
由条件可得2x+1y=1，结合基本不等式求x+y的最小值．
本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】(1,2)
【解析】解：因为sin2A=sin2B+sinBsinC，由正弦定理可得a2=b2+bc，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，所以bc=c2−2bccosA，即b=c−2bcosA，
由正弦定理可得sinB=sinC−2sinBcosA，
所以sinB=sin(A+B)−2sinBcosA，
即sinB=sinAcosB+cosAsinB−2sinBcosA，
所以sinB=sin(A−B)，
因为0
由△ABC为锐角三角形，所以0
=2cos2B+cos2B=4cos2B−1∈(1,2)，
即cb的取值范围为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到sin(A−B)=sinB，根据△ABC为锐角三角形可得A=2B，C=π−3B以及π6
21.【答案】解：(1)依题意可得(0.004+0.02+0.056+a+0.004+0.002)×10=1，
解得a=0.014．
(2)因为0.04<0.2<0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20,30)之间，
设为x，则0.04+(x−20)×0.02=0.2，解得x=28，
故第20百分位数为28．
【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可．
(2)首先判断第20百分位数位于[20,30)之间，设为x，则0.04+(x−20)×0.02=0.2，解得即可．
本题主要考查频率分布直方图，百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π，ω>0，
所以2πω=π，所以ω=2，
所以f(x)=sin(2x+φ)，
因为f(π2)=f(2π3)，
所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)，
所以−sinφ=− 32cosφ−12sinφ，
所以tanφ= 3，
所以φ=kπ+π3,k∈Z，
(2)由(1)φ=kπ+π3,k∈Z，又|φ|<π2，
所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
由已知−π3≤x≤π6，所以−π3≤2x+π3≤2π3，
所以− 32≤sin(2x+π3)≤1，
所以f(x)在区间[−π3,π6]上的值域为[− 32,1]．
【解析】(1)由函数f(x)的周期，结合周期公式求ω，由条件f(π2)=f(2π3)化简求φ；
(2)结合条件|φ|<π2确定φ，利用不等式性质结合正弦函数性质求f(x)在区间[−π3,π6]上的值域．
本题主要考查了和差角公式的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=log2x+2x+1x+1(x>0)，
∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；
(2)f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，
∵a>1，x+1>1，
∴lna>0，1(x+1)2<1
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵a>1，
∴1a2<1,a2a2+1<1，
则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1<0，
又f(1)=a+12>0，
由函数零点存在性定理可知，f(x)在(0,+∞)内有唯一零点；
(3)证明：由(2)可知，x0∈(1a2,1)，
∵f(x0)=logax0+ax0+1x0+1=0，
∴logax0=−ax0−1x0+1，
∴f( x0)=12logax0+a x0+1 x0+1=−12ax0−12(x0+1)+a x0+1 x0+1，
令 x0=t，
则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1),t∈(1a,1)，
令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，
∵2t2−t+12(t2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t2+1)(t+1)>0，
∴f(t)>g(t)，
易知g(t)在(1a,1)上单调递增，
又a>1，12a<12，
∴f(t)>g(t)>g(1a)=−a2[(1a−1)2−1]=1−12a>12，
∵g(t)=−a2[(t−1)2−1]
令h(t)=(t2+1)(t+1)−(2t2−t+1)=t3−t2+2t，
∵h′(t)=3t2−2t+2=3[(t−13)2+59]>0，
∴h(t)在(0,1)单调递增，
∴h(t)>h(0)=0，即(t2+1)(t+1)>2t2−t+1，即f(t)
(2)利用导数讨论其单调性，结合零点存在性定理判断即可；
(3)利用单调性结合放缩法证明．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
24.【答案】ABD
【解析】解：对于A，试验的样本空间为：Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，
所以P(A)=12，故P(A−)=12，故A正确；
对于B，试验的样本空间为：Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，事件A+B含有(正，正)，(正，反)，(反，正)，这三种结果，故P(A+B)=34，故B正确；
对于C，A={(正，正)，(正，反)}，B={(正，正)，(反，正)}，显然事件A，事件B都含有“(正，正)这一结果，事件A，事件B能同时发生，因此事件A与事件B不互斥，故C不正确；
对于D，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P(AB)=P(A)P(B)，
所以事件A与事件B为相互独立事件，故D正确．
故选：ABD．
根据对立事件，并事件，互斥与相互独立事件的概念，结合选项依次判断即可．
本题主要考查对立事件，并事件，互斥与相互独立事件的概念，属于基础题．
25.【答案】ABD
【解析】解：设a,b的夹角为θ，θ∈[0,π]，|a|=1,|b|=2，a⋅b=|a||b|cosθ=2cosθ，
∵|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 5+4cosθ，
∵θ∈[0,π]，∴cosθ∈[−1,1]，
∴当cosθ=1时，|a+b|有最大值3，故A正确；
∵|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 5−4cosθ，
∵θ∈[0,π]，∴cosθ∈[−1,1]，
∴当cosθ=−1时，|a−b|有最大值3，故B正确；
∵|a+b|−|a−b|= 5+4cosθ− 5−4cosθ，
要使|a+b|−|a−b|取最大值，只需考虑|a+b|−|a−b|≥0的情形，
此时(|a+b|−|a−b|)2=10−2 25−16cos2θ，
∵θ∈[0,π]，∴cos2θ∈[0,1]，
∴当cos2θ=1时，(|a+b|−|a−b|)2有最大值10−2×3=4，
所以|a+b|−|a−b|的最大值为2，故D正确．
∵|a+b|+|a−b|= 5+4cosθ+ 5−4cosθ，
∴(|a+b|+|a−b|)2=10+2 25−16cos2θ，
∵θ∈[0,π]，∴cos2θ∈[0,1]，
∴当cos2θ=0时，(|a+b|+|a−b|)2有最大值10+2×5=20，
所以|a+b|+|a−b|的最大值为2 5，故C错误．
故选：ABD．
设a,b的夹角为θ，通过平方转化得|a+b|= 5+4cosθ，利用三角函数的性质求出其最大值，即可判断A；选项BCD采用同样的方法求解判断即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，是中档题．
26.【答案】BC
【解析】解：因为对∀x1∈[0,π2]，都∃x2∈[−π2,0]使得2f(x1)=2g(x2+θ)+1成立，
所以f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域包含于函数y=2cos(t+θ)+1，t∈[−π2,0]的值域，
函数f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域为[0,2]，
所以S=4πR2=12π，t∈[−π2,0]的值域包含区间[0,2]，
由−π2≤t≤0，可得−π2+θ≤t+θ≤θ，
当θ=π时，π2≤t+π≤π，−1≤cos(t+π)≤0，
所以S=4πR2=12π，t∈[−π2,0]的值域为[−1,1]不满足要求，A错误；
当θ=5π6时，π3≤t+5π6≤5π6，− 32≤cos(t+5π6)≤12，
所以y=2cos(t+5π6)+1，t∈[−π2,0]的值域为[− 3+1,2]满足要求，B正确；
当θ=2π3时，π6≤t+2π3≤2π3，−12≤cos(t+2π3)≤ 32，
所以y=2cos(t+2π3)+1，t∈[−π2,0]的值域为[0, 3+1]满足要求，C正确；
当θ=π2时，0≤t+π2≤π2，0≤cos(t+π2)≤1，
所以y=2cos(t+π2)+1，t∈[−π2,0]的值域为[1,3]不满足要求，D错误．
故选：BC．
由条件可得f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域包含于函数y=2cos(t+θ)+1，t∈[−π2,0]的值域，求函数f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域，并对各选项逐一检验，可得结论．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
27.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，因为a>1，所以log3a>0，
由log3a=log5b，可得lnaln3=lnbln5，则lnblna=ln5ln3，所以logab=log35，故A对；
对于B选项，设log3a=log5b=m>0，则a=3m，b=5m，
因为幂函数y=xm在(0,+∞)上为增函数，所以3m<5m，即a
因为幂函数y=xn在(0,+∞)上为增函数，
所以3n<5n，即b
所以mln5=nln3，所以nm=ln5ln3>1，则m
对于D选项，由基本不等式，可得a+c>2 ac>2b，
所以，2a+2c>2 2a+c>2 22b=2b+1，故D对．
故选：ACD．
利用换底公式可判断A选项；设log3a=log5b=m>0，log5c=log3b=n>0，利用对数与指数的互化，以及幂函数的单调性可判断B选项；比较m、n的大小，利用作商法结合幂函数的单调性可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项．
本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
28.【答案】解：(1)连接AC⋂BD=O，连接PO，如图，
因为在正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，
则AC⊥BD，且O是AC与BD的中点，PO⊥底面ABCD，
因为正四棱锥P−ABCD的高为2 2，体积为8 23，
则PO=2 2，
设底面ABCD边长为t，则SABCD=t2，
所以由VP−ABCD=13SABCD⋅PO，得8 23=13t2×2 2，
解得t=2，
因为PO⊥底面ABCD，OC⊂底面ABCD，
故PO⊥OC，
在Rt△POC中，OC=½AC= 2，
则PC= PO2+OC2= 10，
同理PB= 10，
所以在△PBC中，PB=PC= 10,BC=2，
则S△PBC=12×2× 10−1=3，
同理：S△PAB=S△PAD=S△PCD=S△PBC=3，
所以正四棱锥P−ABCD的表面积为S=SABCD+4S△PBC=4+4×3=16．
(2)由(1)可得，以O为原点，OA,OB,OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A( 2,0,0),C(− 2,0,0),B(0, 2,0),D(0,− 2,0),P(0,0,2 2)，
因为点E为线段PB的中点，
所以E(0, 22, 2)，
则AE=(− 2, 22, 2)，
易知平面ABCD的一个法向量为n0=(0,0,1)，
设直线AE与平面ABCD所成角为θ，则0<θ<π2，
所以sinθ=|cos〈AE,n0〉|=|AE⋅n0||AE||n0|= 2 2+12+2×1=23，
故cosθ= 1−sin2θ= 53，tanθ=2 5=2 55，
所以直线AE与平面ABCD所成角的正切值为2 55．
(3)由(2)知AB=(− 2, 2,0),PB=(0, 2,−2 2),BC=(− 2,− 2,0)，
设平面APB的一个法向量为m=(a,b,c)，则AB⋅m=0PB⋅m=0，即− 2a+ 2b=0 2b−2 2c=0，
则可取m=(2,2,1)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，则PB⋅n=0BC⋅n=0，即 2y−2 2z=0− 2x− 2y=0，
则可取n=(−2,2,1)，
设二面角A−PB−C为φ，则由图形可知π2<φ<π，
所以cosφ=−|cos〈m,n〉|=−|m⋅n||m||n|=−1 9× 9=−19，
所以二面角A−PB−C的余弦值为−19．
【解析】(1)先由棱锥的体积公式求得底面边长t=2，再利用正四棱锥的性质求得PC，PB，从而求得S△PBC，进而求得该正四棱锥的表面积；
(2)结合(1)中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示，结合三角函数的基本关系式即可得解；
(3)分别求得平面APB与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．
本题考查四棱锥的表面积计算，考查利用空间向量求解线面角，二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
29.【答案】解：(1)因为a=3，
所以f(x)=−x2+x|x−3|，
当x≥3时，f(x)=−3x，
所以f(x)≥−2⇔−3x≥−2，解得x≤23，不满足x≥3，
所以此时不等式f(x)≥−2的解集为⌀；
当x<3时，f(x)=−2x2+3x，
所以f(x)≥−2⇔−2x2+3x≥−2⇔2x2−3x−2≤0，解得−12≤x≤2，满足x<3；
所以不等式f(x)≥−2的解集为[−12,2]；
(2)令f(x)=−x2+x|x−a|=0，
则有x(−x+|x−a|)=0，x1=0∈[−1,1]，
如果a=0，则有−x+|x|=0，当x≥0时都能成立，不满足题意；
当a≠0时，−x+|x−a|=0，x=|x−a|，x2=(x−a)2，
解得x2=a2，
又因为0
(3)对于a≥4，
令f(x)=−x2+x|x−a|=m有2个不同的实数解x1，x2，并且x1
当−a2
解得x1=a− a2−8m4，x2=a+ a2−8m4，
令t= a2−8m，则m=a2−t28，
并且t∈(0,a)∪(a,3a)，
x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，
令y=x12+mx2x1x2，
则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，
yt′=12−2a(a+t)2，
显然yt′是关于t的增函数，
即yt′>yt=0′=12−1a，
因为a≥4，所以yt′≥0，
所以y是关于t的增函数，
所以1+a2
当m≤−a2时，x1=a− a2−8m4，x2=−ma，
同理令t= a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，
y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，yt′=12+2a(a+t)2>0，
所以y是关于t的增函数，
y≥y|t=3a=2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是(1+a2,a)∪(a,+∞)．
【解析】(1)将a=3代入f(x)解不等式即可；
(2)令f(x)=0，再对a分类讨论；
(3)用求根公式将x1，x2转化为a和m，再根据m的取值范围讨论．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，属于难题．
2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷
1. 已知集合A={0,1,2}，B={−1,0}，则A∪B=( )
A. {−1,1,2} B. {0,1,2} C. {−1,0} D. {−1,0,1,2}
2. 复数−1−2i(i为虚数单位)的虚部是( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 函数f(x)=(x−12)12的定义域是( )
A. (−∞,12) B. [12,+∞) C. {−∞,−12} D. [−12,+∞)
4. 已知tanα=−1，α∈(0,π]，那么α的值等于( )
A. π6 B. π4 C. π3 D. 3π4
5. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
241
571
188
如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是( )
A. 0.57 B. 0.33 C. 0.24 D. 0.19
6. 已知向量a=(x,2)，b=(3,6)，a⊥b，则实数x的值为( )
A. 1 B. −4 C. 4 D. −1
7. 球的半径是R=3，则该球的体积是( )
A. 36π B. 20π C. 25π D. 30π
8. 对数lga与lgb互为相反数，则有( )
A. a+b=0 B. a−b=0 C. ab=1 D. ab=1
9. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n的最大值为(参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7)( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 已知a，b为非零实数，则“a>b”是“1a<1b”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，AD=12AB+34AC，则直线AD通过△ABC的( )
A. 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心
12. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f(2−3x)=f(3x)，则下列结论中一定成立的是( )
A. f(1−x)=f(x) B. f(3x+1)=f(3x)
C. f(x−1)为偶函数 D. f(3x)为奇函数
13. 下列函数是增函数的是( )
A. y=x3 B. y=x2 C. y=x12 D. y=−x−1
14. 已知平面α⊥平面β，且α∩β=l，则下列命题不正确的是( )
A. 平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B. 平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C. 平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
D. 过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有( )
A. a=7，b=8，c=5 B. a= 3,b= 2,B=π4
C. sinBsinC=34 D. 2sin2B+C2+cos2A=1
16. 如图，在棱长为2的正方体AC′中，点E为CC′的中点，点P在线段A′C′(不包含端点)上运动，记二面角P−AB−D的大小为α，二面角P−BC−D的大小为β，则( )
A. 异面直线BP与AC所成角的范围是(π3,π2]
B. tan(α+β)的最小值为−43
C. 当△APE的周长最小时，三棱锥B−AEP的体积为109
D. 用平面BEP截正方体AC′，截面的形状为梯形
17. 已知函数f(x)=2x,x≤0f(x−2),x>0，则f(−1)= ______ ，f(log23)= ______ ．
18. 在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm，下底面直径为40cm，高为80cm.为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为______ cm2．
19. 已知正实数x，y满足xy−x−2y=0，则x+y的最小值是______ ．
20. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin2B+sinBsinC，则cb的取值范围为______ ．
21. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用A款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10,70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．
22. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ).其中ω>0.若f(x)的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)；
(1)求ω，φ的值；
(2)若|φ|<π2，求f(x)在区间[−π3,π6]上的值域．
23. 已知函数f(x)=logax+ax+1x+1(x>0)，其中a>1．
(1)若a=2，求f(14)的值；
(2)判断函数f(x)的零点个数，并说明理由；
(3)设f(x0)=0，求证：12
A. P(A−)=12 B. P(A+B)=34
C. 事件A与事件B互斥 D. 事件A与事件B相互独立
25. 已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2，则( )
A. |a+b|的最大值为3 B. |a−b|的最大值为3
C. |a+b|+|a−b|的最大值为6 D. |a+b|−|a−b|的最大值为2
26. 已知函数f(x)=sinx，g(x)=cosx，若θ满足，对∀x1∈[0,π2]，都∃x2∈[−π2,0]使得2f(x1)=2g(x2+θ)+1成立，则θ的值可能为( )
A. π B. 5π6 C. 2π3 D. π2
27. 已知正实数a、b、c满足log3a=log5b，log3b=log5c，其中a>1，则( )
A. logab=log35 B. a>b>c C. ac>b2 D. 2a+2c>2b+1
28. 如图，正四棱锥P−ABCD的高为2 2，体积为8 23．
(1)求正四棱锥P−ABCD的表面积；
(2)若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角A−PB−C的余弦值．
29. 已知定义在R上的函数f(x)=−x2+x|x−a|，其中a为实数．
(1)当a=3时，解不等式f(x)≥−2；
(2)若函数f(x)在[−1,1]上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
(3)对于a∈[4,+∞)，若存在实数x1，x2(x1
1.【答案】D
【解析】解：因为A={0,1,2}，B={−1,0}，
所以A∪B={−1,0,1,2}．
故选：D．
根据并集的定义计算可得．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为复数−1−2i，
所以复数−1−2i(i为虚数单位)的虚部是−2．
故选：A．
利用复数的相关概念求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=(x−12)12= x−12，
所以x−12≥0，则x≥12，
所以f(x)的定义域为[12,+∞)．
故选：B．
利用具体函数定义域的求法求解即可．
主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵已知tanα=−1，且α∈[0,π)，故α的终边在射线y=−x(x≤0)上，
∴α=3π4，
故选：D．
根据tanα=−1，且α∈[0,π)，故α的终边在射线y=−x(x≤0)上，从而得到α的值．
本题考查根据三角函数的值求角的方法，判断α的终边在射线y=−x(x≤0)上，是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由已知统计表可知在1000名志愿者中，
服药后出现体重减轻的人数为241人，
因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．
故选：C．
利用表中数据直接计算即可．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵a=(x,2)，b=(3,6)，a⊥b，
∴3x+2×6=0，即x=−4．
∴实数x的值为−4．
故选：B．
由两向量垂直的坐标运算列式求解．
本题考查两向量垂直的坐标运算，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵R=3，
∴该球的体积V=43πR3=36π．
故选：A．
利用球的体积公式直接计算即可．
本题考查球的体积公式，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵lga=−lgb
∴lga+lgb=0
∴lg(ab)=0
∴ab=1
故选：C．
由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出ab=1．
本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数．
9.【答案】B
【解析】解：第一次操作去掉的线段长度为13，
第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，
第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，
…，
第n次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13，
由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n≥130，
则(32)n≤30，
因为32>1，
所以指数函数y=(32)x为增函数，
又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n∈N*，
所以n=8，
故选：B．
根据题设可得第n次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13，则有(23)n−1⋅13≥160，再根据指数函数性质结合参考数据求n的最大值．
本题考查数列的应用、指数不等式的求解，考查学生的归纳推理能力和计算能力，属中档题．
10.【答案】D
【解析】解：当a>0>b时，1a>0>1b，所以由a>b得不出1a<1b，
若1a<1b，则1a−1b=b−aab<0，若ab<0，则b−a>0，即a
所以“a>b”是“1a<1b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
根据充分条件和必要条件的定义即可判断．
本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：∵|AB|=3，|AC|=2
∴|12AB|=|34AC|=32．
设AE=12AB，AF=34AC，
则|AE|=|AF|，
∴AD=12AB+34AC=AE+AF．
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．
∴AD为菱形的对角线，
∴AD平分∠EAF．
∴直线AD通过△ABC的内心．
故选：D．
首先根据已知条件可知|12AB|=|34AC|=32，又因为AD=12AB+34AC，设AE=12AB，AF=34AC，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过△ABC的内心．
本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f(x)=−f(1−x)，选项A错误；
由f(2−3x)=f(3x)，得f(2−x)=f(x)，所以f(2−x)=−f(1−x)，即f(x+1)=−f(x)，则f(3x+1)=−f(3x)，B错；
由f(x+1)=−f(x)可得f(x+2)=−f(x+1)=f(x)可得函数f(x)的周期为T=2，
f(x)=−f(1−x)与f(x+1)=−f(x)可得f(x+1)=f(1−x)，即函数f(x)的图象关于x=1对称，
根据周期为2可得函数f(x)的图象关于x=−1对称，即f(−1+x)=f(−1−x)，所以f(x−1)为偶函数，C正确；
因为f(2−3x)=f(3x)且函数f(x)的周期为T=2，所以f(2−3x)=f(−3x)=f(3x)，f(3x)为偶函数，故选项D错误．
故选：C．
由f(x+12)是奇函数，得f(x)=−f(1−x)即可判断A，先证明f(x+1)=−f(x)，得到f(3x+1)=−f(3x)，从而判断B，证明f(x)的周期为2，再证明函数f(x)的图象关于x=−1对称，可判断C，由f(2−3x)=f(3x)结合周期性判断D．
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性，对称性及周期性的应用，属于中档题．
13.【答案】AC
【解析】解：对于A，函数y=x3的定义域为R，
函数y=x3在R上单调递增，A正确；
对于B，函数y=x2的定义域为R，
函数y=x2在(−∞,0]上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，B错误；
对于C，函数y=x12的定义域为[0,+∞)，
函数y=x12在[0,+∞)上单调递增，C正确；
对于D，函数y=−x−1的定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)，
函数y=−x−1在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递增，
但f(−1)=−1>1=f(1)，D错误；
故选：AC．
根据幂函数的性质判断各选项的单调性即可．
本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题．
14.【答案】ACD
【解析】解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；
对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；
对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；
对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．
故选：ACD．
根据线面、面面关系逐一判断即可．
本题考查根据线面、面面关系的判断，属中档题．
15.【答案】AD
【解析】解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈(0,π)，
所以A=π3，A正确；
对于B，由正弦定理可得asinA=bsinB，又a= 3,b= 2,B=π4，
所以sinA= 3× 22 2= 32，又A∈(0,π)，
所以A=π3或A=2π3，B错误；
对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，
可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；
对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，
所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，
所以2cos2A+cosA−1=0，解得cosA=12或cosA=−1(舍)，
又A∈(0,π)，所以A=π3，D正确．
故选：AD．
由余弦定理判断A，由正弦定理判断B，举例判断C，结合内角和关系和二倍角公式诱导公式判断D．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为AC//A′C′，
所以异面直线BP与AC所成角为∠BPA′或∠BPC′中的锐角或直角，
又BA′=A′C′=BC′，
所以△BA′C′为等边三角形，
因为点P在线段A′C′(不包含端点)上运动，
所以当P为线段A′C′的中点时，∠BPA′=∠BPC′=π2，
此时异面直线BP与AC所成角为π2，
当点P趋近A′或C′时，异面直线BP与AC所成角趋近π3，
所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3,π2]，选项A正确；
对于B，过点P作PF//A′A，PF∩AC=F，
因为A′A⊥平面ABCD，
所以PF⊥平面ABCD，
过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，
所以∠PGF为二面角P−AB−D的平面角，∠PHF为二面角P−BC−D的平面角，
故∠PGF=α，∠PHF=β，
设A′P= 2x，则FG=AG=x，GB=FH=2−x，0
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，
因为0
所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43,−1),
所以当x=1时，tan(α+β)取最小值，最小值为−43，选项B正确；
对于C，延长EC′到点M，使得EC′=MC′，则PE=PM，
所以AP+PE+AE=AP+PM+AE≥AM+AE，
当且仅当A，P，M三点共线时等号成立，
所以当点P为线段AM与A′C′的交点时，△APE的周长最小，
因为PC′//AC，
所以△PC′M∽△ACM，
所以PC′AC=MC′MC=13，
又AC=2 2，
所以PC′=2 23，
所以△APE的面积S=SACC′A′−S△ACE−S△EC′P−S△AA′P=4 2− 2− 23−4 23=4 23，
又BO⊥AC，BO⊥AA′，AC∩AA′=A，AC，AA′⊂平面ACC′A′，
所以BO⊥平面ACC′A′，
所以点B到平面APE的距离为BO，
所以当△APE的周长最小时，三棱锥B−AEP的体积为V=13×4 23× 2=89，选项C错误；
对于D，延长BE，B′C′，两直线交于点Q，连接PQ，
设PQ⋂C′D′=S，PQ⋂A′B′=T，连接BT，SE，
因为平面ABB′A′//平面DCC′D′，
平面BEP⋂平面ABB′A′=BT，平面BEP⋂平面DCC′D′=ES，
所以BT//ES，
又BT≠ES，
所以四边形BEST为梯形，
所以用平面BEP截正方体AC′，截面的形状为梯形，D正确．
故选：ABD．
由异面直线夹角定义确定异面直线BP与AC所成角，由此判断A；由二面角的定义确定α，β，求tanα，tanβ，利用两角和的正切公式求tan(α+β)，再求其最小值，判断B；确定△APE周长最小时点P的位置，结合锥体体积公式求B−AEP的体积，判断C；根据平面的性质，确定正方体AC′的过点B，E，P的截面，判断D．
本题主要考查异面直线的夹角，二面角的求法，锥体体积问题，正方体的截面，考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力，属于中档题．
17.【答案】12 34
【解析】解：因为f(x)=2x,x≤0f(x−2),x>0，则f(−1)=2−1=12；
因为1=log22
故答案为：12；34．
利用函数f(x)的解析式可求得f(−1)的值，计算出log23的范围，根据函数f(x)的解析式可求得f(log23)的值．
本题主要考查了分段函数中，函数值的求解，属于基础题．
18.【答案】1804π
【解析】解：作圆台的轴截面如下：
过点A作AE⊥BC，垂足为E，
由已知，AE=80，BE=12×(40−4)=18，
所以AB= AE2+BE2=82，
所以圆台的母线长为82cm，
由已知圆台的上底半径为2cm，下底半径为20cm，
所以圆台的侧面积S=π×(2+20)×82=1804π(cm2).
故答案为：1804π．
作圆台的轴截面，利用条件求其母线长，再由圆台侧面积公式求其侧面积即可．
本题主要考查圆台侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】3+2 2
【解析】解：因为xy−x−2y=0，
所以x+2y=xy，
所以2x+1y=1，
所以x+y=(x+y)(2x+1y)=2+xy+2yx+1≥3+2 xy⋅2yx=3+2 2，
当且仅当xy=2yx，2x+1y=1时等号成立，即x=2+ 2,y= 2+1时等号成立，
所以x+y的最小值是3+2 2．
故答案为：3+2 2．
由条件可得2x+1y=1，结合基本不等式求x+y的最小值．
本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】(1,2)
【解析】解：因为sin2A=sin2B+sinBsinC，由正弦定理可得a2=b2+bc，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，所以bc=c2−2bccosA，即b=c−2bcosA，
由正弦定理可得sinB=sinC−2sinBcosA，
所以sinB=sin(A+B)−2sinBcosA，
即sinB=sinAcosB+cosAsinB−2sinBcosA，
所以sinB=sin(A−B)，
因为0
由△ABC为锐角三角形，所以0
=2cos2B+cos2B=4cos2B−1∈(1,2)，
即cb的取值范围为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到sin(A−B)=sinB，根据△ABC为锐角三角形可得A=2B，C=π−3B以及π6
21.【答案】解：(1)依题意可得(0.004+0.02+0.056+a+0.004+0.002)×10=1，
解得a=0.014．
(2)因为0.04<0.2<0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20,30)之间，
设为x，则0.04+(x−20)×0.02=0.2，解得x=28，
故第20百分位数为28．
【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可．
(2)首先判断第20百分位数位于[20,30)之间，设为x，则0.04+(x−20)×0.02=0.2，解得即可．
本题主要考查频率分布直方图，百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π，ω>0，
所以2πω=π，所以ω=2，
所以f(x)=sin(2x+φ)，
因为f(π2)=f(2π3)，
所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)，
所以−sinφ=− 32cosφ−12sinφ，
所以tanφ= 3，
所以φ=kπ+π3,k∈Z，
(2)由(1)φ=kπ+π3,k∈Z，又|φ|<π2，
所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
由已知−π3≤x≤π6，所以−π3≤2x+π3≤2π3，
所以− 32≤sin(2x+π3)≤1，
所以f(x)在区间[−π3,π6]上的值域为[− 32,1]．
【解析】(1)由函数f(x)的周期，结合周期公式求ω，由条件f(π2)=f(2π3)化简求φ；
(2)结合条件|φ|<π2确定φ，利用不等式性质结合正弦函数性质求f(x)在区间[−π3,π6]上的值域．
本题主要考查了和差角公式的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=log2x+2x+1x+1(x>0)，
∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；
(2)f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，
∵a>1，x+1>1，
∴lna>0，1(x+1)2<1
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵a>1，
∴1a2<1,a2a2+1<1，
则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1<0，
又f(1)=a+12>0，
由函数零点存在性定理可知，f(x)在(0,+∞)内有唯一零点；
(3)证明：由(2)可知，x0∈(1a2,1)，
∵f(x0)=logax0+ax0+1x0+1=0，
∴logax0=−ax0−1x0+1，
∴f( x0)=12logax0+a x0+1 x0+1=−12ax0−12(x0+1)+a x0+1 x0+1，
令 x0=t，
则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1),t∈(1a,1)，
令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，
∵2t2−t+12(t2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t2+1)(t+1)>0，
∴f(t)>g(t)，
易知g(t)在(1a,1)上单调递增，
又a>1，12a<12，
∴f(t)>g(t)>g(1a)=−a2[(1a−1)2−1]=1−12a>12，
∵g(t)=−a2[(t−1)2−1]
令h(t)=(t2+1)(t+1)−(2t2−t+1)=t3−t2+2t，
∵h′(t)=3t2−2t+2=3[(t−13)2+59]>0，
∴h(t)在(0,1)单调递增，
∴h(t)>h(0)=0，即(t2+1)(t+1)>2t2−t+1，即f(t)
(2)利用导数讨论其单调性，结合零点存在性定理判断即可；
(3)利用单调性结合放缩法证明．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
24.【答案】ABD
【解析】解：对于A，试验的样本空间为：Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，
所以P(A)=12，故P(A−)=12，故A正确；
对于B，试验的样本空间为：Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，事件A+B含有(正，正)，(正，反)，(反，正)，这三种结果，故P(A+B)=34，故B正确；
对于C，A={(正，正)，(正，反)}，B={(正，正)，(反，正)}，显然事件A，事件B都含有“(正，正)这一结果，事件A，事件B能同时发生，因此事件A与事件B不互斥，故C不正确；
对于D，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P(AB)=P(A)P(B)，
所以事件A与事件B为相互独立事件，故D正确．
故选：ABD．
根据对立事件，并事件，互斥与相互独立事件的概念，结合选项依次判断即可．
本题主要考查对立事件，并事件，互斥与相互独立事件的概念，属于基础题．
25.【答案】ABD
【解析】解：设a,b的夹角为θ，θ∈[0,π]，|a|=1,|b|=2，a⋅b=|a||b|cosθ=2cosθ，
∵|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 5+4cosθ，
∵θ∈[0,π]，∴cosθ∈[−1,1]，
∴当cosθ=1时，|a+b|有最大值3，故A正确；
∵|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 5−4cosθ，
∵θ∈[0,π]，∴cosθ∈[−1,1]，
∴当cosθ=−1时，|a−b|有最大值3，故B正确；
∵|a+b|−|a−b|= 5+4cosθ− 5−4cosθ，
要使|a+b|−|a−b|取最大值，只需考虑|a+b|−|a−b|≥0的情形，
此时(|a+b|−|a−b|)2=10−2 25−16cos2θ，
∵θ∈[0,π]，∴cos2θ∈[0,1]，
∴当cos2θ=1时，(|a+b|−|a−b|)2有最大值10−2×3=4，
所以|a+b|−|a−b|的最大值为2，故D正确．
∵|a+b|+|a−b|= 5+4cosθ+ 5−4cosθ，
∴(|a+b|+|a−b|)2=10+2 25−16cos2θ，
∵θ∈[0,π]，∴cos2θ∈[0,1]，
∴当cos2θ=0时，(|a+b|+|a−b|)2有最大值10+2×5=20，
所以|a+b|+|a−b|的最大值为2 5，故C错误．
故选：ABD．
设a,b的夹角为θ，通过平方转化得|a+b|= 5+4cosθ，利用三角函数的性质求出其最大值，即可判断A；选项BCD采用同样的方法求解判断即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，是中档题．
26.【答案】BC
【解析】解：因为对∀x1∈[0,π2]，都∃x2∈[−π2,0]使得2f(x1)=2g(x2+θ)+1成立，
所以f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域包含于函数y=2cos(t+θ)+1，t∈[−π2,0]的值域，
函数f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域为[0,2]，
所以S=4πR2=12π，t∈[−π2,0]的值域包含区间[0,2]，
由−π2≤t≤0，可得−π2+θ≤t+θ≤θ，
当θ=π时，π2≤t+π≤π，−1≤cos(t+π)≤0，
所以S=4πR2=12π，t∈[−π2,0]的值域为[−1,1]不满足要求，A错误；
当θ=5π6时，π3≤t+5π6≤5π6，− 32≤cos(t+5π6)≤12，
所以y=2cos(t+5π6)+1，t∈[−π2,0]的值域为[− 3+1,2]满足要求，B正确；
当θ=2π3时，π6≤t+2π3≤2π3，−12≤cos(t+2π3)≤ 32，
所以y=2cos(t+2π3)+1，t∈[−π2,0]的值域为[0, 3+1]满足要求，C正确；
当θ=π2时，0≤t+π2≤π2，0≤cos(t+π2)≤1，
所以y=2cos(t+π2)+1，t∈[−π2,0]的值域为[1,3]不满足要求，D错误．
故选：BC．
由条件可得f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域包含于函数y=2cos(t+θ)+1，t∈[−π2,0]的值域，求函数f(x)=2sinx，x∈[0,π2]的值域，并对各选项逐一检验，可得结论．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
27.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，因为a>1，所以log3a>0，
由log3a=log5b，可得lnaln3=lnbln5，则lnblna=ln5ln3，所以logab=log35，故A对；
对于B选项，设log3a=log5b=m>0，则a=3m，b=5m，
因为幂函数y=xm在(0,+∞)上为增函数，所以3m<5m，即a
因为幂函数y=xn在(0,+∞)上为增函数，
所以3n<5n，即b
所以mln5=nln3，所以nm=ln5ln3>1，则m
对于D选项，由基本不等式，可得a+c>2 ac>2b，
所以，2a+2c>2 2a+c>2 22b=2b+1，故D对．
故选：ACD．
利用换底公式可判断A选项；设log3a=log5b=m>0，log5c=log3b=n>0，利用对数与指数的互化，以及幂函数的单调性可判断B选项；比较m、n的大小，利用作商法结合幂函数的单调性可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项．
本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
28.【答案】解：(1)连接AC⋂BD=O，连接PO，如图，
因为在正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，
则AC⊥BD，且O是AC与BD的中点，PO⊥底面ABCD，
因为正四棱锥P−ABCD的高为2 2，体积为8 23，
则PO=2 2，
设底面ABCD边长为t，则SABCD=t2，
所以由VP−ABCD=13SABCD⋅PO，得8 23=13t2×2 2，
解得t=2，
因为PO⊥底面ABCD，OC⊂底面ABCD，
故PO⊥OC，
在Rt△POC中，OC=½AC= 2，
则PC= PO2+OC2= 10，
同理PB= 10，
所以在△PBC中，PB=PC= 10,BC=2，
则S△PBC=12×2× 10−1=3，
同理：S△PAB=S△PAD=S△PCD=S△PBC=3，
所以正四棱锥P−ABCD的表面积为S=SABCD+4S△PBC=4+4×3=16．
(2)由(1)可得，以O为原点，OA,OB,OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A( 2,0,0),C(− 2,0,0),B(0, 2,0),D(0,− 2,0),P(0,0,2 2)，
因为点E为线段PB的中点，
所以E(0, 22, 2)，
则AE=(− 2, 22, 2)，
易知平面ABCD的一个法向量为n0=(0,0,1)，
设直线AE与平面ABCD所成角为θ，则0<θ<π2，
所以sinθ=|cos〈AE,n0〉|=|AE⋅n0||AE||n0|= 2 2+12+2×1=23，
故cosθ= 1−sin2θ= 53，tanθ=2 5=2 55，
所以直线AE与平面ABCD所成角的正切值为2 55．
(3)由(2)知AB=(− 2, 2,0),PB=(0, 2,−2 2),BC=(− 2,− 2,0)，
设平面APB的一个法向量为m=(a,b,c)，则AB⋅m=0PB⋅m=0，即− 2a+ 2b=0 2b−2 2c=0，
则可取m=(2,2,1)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，则PB⋅n=0BC⋅n=0，即 2y−2 2z=0− 2x− 2y=0，
则可取n=(−2,2,1)，
设二面角A−PB−C为φ，则由图形可知π2<φ<π，
所以cosφ=−|cos〈m,n〉|=−|m⋅n||m||n|=−1 9× 9=−19，
所以二面角A−PB−C的余弦值为−19．
【解析】(1)先由棱锥的体积公式求得底面边长t=2，再利用正四棱锥的性质求得PC，PB，从而求得S△PBC，进而求得该正四棱锥的表面积；
(2)结合(1)中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示，结合三角函数的基本关系式即可得解；
(3)分别求得平面APB与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．
本题考查四棱锥的表面积计算，考查利用空间向量求解线面角，二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
29.【答案】解：(1)因为a=3，
所以f(x)=−x2+x|x−3|，
当x≥3时，f(x)=−3x，
所以f(x)≥−2⇔−3x≥−2，解得x≤23，不满足x≥3，
所以此时不等式f(x)≥−2的解集为⌀；
当x<3时，f(x)=−2x2+3x，
所以f(x)≥−2⇔−2x2+3x≥−2⇔2x2−3x−2≤0，解得−12≤x≤2，满足x<3；
所以不等式f(x)≥−2的解集为[−12,2]；
(2)令f(x)=−x2+x|x−a|=0，
则有x(−x+|x−a|)=0，x1=0∈[−1,1]，
如果a=0，则有−x+|x|=0，当x≥0时都能成立，不满足题意；
当a≠0时，−x+|x−a|=0，x=|x−a|，x2=(x−a)2，
解得x2=a2，
又因为0
(3)对于a≥4，
令f(x)=−x2+x|x−a|=m有2个不同的实数解x1，x2，并且x1
当−a2
解得x1=a− a2−8m4，x2=a+ a2−8m4，
令t= a2−8m，则m=a2−t28，
并且t∈(0,a)∪(a,3a)，
x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，
令y=x12+mx2x1x2，
则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，
yt′=12−2a(a+t)2，
显然yt′是关于t的增函数，
即yt′>yt=0′=12−1a，
因为a≥4，所以yt′≥0，
所以y是关于t的增函数，
所以1+a2
当m≤−a2时，x1=a− a2−8m4，x2=−ma，
同理令t= a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，
y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，yt′=12+2a(a+t)2>0，
所以y是关于t的增函数，
y≥y|t=3a=2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是(1+a2,a)∪(a,+∞)．
【解析】(1)将a=3代入f(x)解不等式即可；
(2)令f(x)=0，再对a分类讨论；
(3)用求根公式将x1，x2转化为a和m，再根据m的取值范围讨论．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，属于难题．
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