山西省2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

这是一份山西省2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了线性回归方程的系数，5，则下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

秘密★启用前
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式和数据：
1.若，则，.
2.参考公式：，其中.
3.参考数据：

0.25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
4.线性回归方程的系数：.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某同学从5本不同的科普杂志，4本不同的文摘杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A. 20种 B. 9种 C. 10种 D. 16种
【答案】B
【解析】
【分析】所选的杂志可以分成2类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.
【详解】某同学从5本不同的科普杂志任选1本，有5种不同选法，
从4本不同的文摘杂志任选1本，有4种不同的选法，
根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种.
故选：B.
2. 关于线性回归的描述，下列表述错误的是（ ）
A. 回归直线一定经过样本中心点
B. 相关系数越大，相关性越强
C. 决定系数越接近1，拟合效果越好
D. 残差图的带状区域越窄，拟合效果越好
【答案】B
【解析】
【分析】根据相关概念直接判断即可得解.
【详解】根据回归直线方程中知，回归直线一定经过样本中心点，故A正确；
相关系数越大，相关性越强，故B错误；
决定系数越接近1，拟合效果越好，故C正确；
残差图的带状区域越窄，说明拟合效果越好，故D正确.
故选：B
3. 从集合任取两个数作为，可以得到不同的焦点在轴上的椭圆方程的个数为（ ）
A. 25 B. 20 C. 10 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的性质可知，结合列举法即可求解.
【详解】焦点在x轴上的椭圆方程中，必有，
则a可取5，7，9，11共4个可能，b可取3，5，7，9共4个可能，
若，则，1个椭圆；
若，则，2个椭圆；
若，则，3个椭圆；
若，则，4个椭圆，
所以共有1+2+3+4=10个椭圆.
故选：C.
4. 某种作物的种子每粒的发芽概率都是0.8，现计划种植该作物1000株，若对首轮种植后没有发芽的每粒种子，需再购买2粒种子用以补种及备用，则购买该作物种子总数的期望值为（ ）
A. 1200 B. 1400 C. 1600 D. 1800
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项分布的期望公式求值即可.
【详解】设没有发芽的种子粒数为，则，
所以，
故需要购买粒种子，
故选：B
5. 已知随机变量满足为常数），则的方差（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给概率公式利用概率之和为1求出a，再求出期望即可计算方差得解.
【详解】，
，解得，
所以，
所以，
，
故选：D
6. 算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数､列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大､重要的发明.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：
项目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式









横式









用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的三位数为732.如果把4根算筹以适当的方式全部放入表格“”中，那么可以表示不同的三位数的个数为（ ）
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】利用题中表格中的信息结合分类计数原理进行分析求解，即可得到答案．
【详解】共有4根算筹，
当百位数为4根，十位0根，个位0根时，则有2个三位数；
当百位数为3根，十位1根，个位0根时，则有2个三位数；
当百位数为3根，十位0根，个位1根时，则有2个三位数；
当百位数为2根，十位2根，个位0根时，则有4个三位数；
当百位数为2根，十位0根，个位2根时，则有4个三位数；
当百位数为2根，十位1根，个位1根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位3根，个位0根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位0根，个位3根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位2根，个位1根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位1根，个位2根时，则有2个三位数.
所以共有2+2+2+4+4+2+2+2+2+2=24个．
故选：D．
7. 某车间使用甲､乙､丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为，且甲和乙加工的零件数分别占总数的.如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54，则车床丙加工此型号零件的优质品率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式列出方程求解即可得解.
【详解】设车床丙加工此型号零件的优质品率为，
则，
解得，
故选：A
8. 标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出，结合条件概率的计算公式依次求解即可.
【详解】由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：

1
2
3
4
5
6
1






2






3






4






5






6






共36个.
则A事件有：，，，，，共6个，
B事件有：，，，，，共6个，
C事件有：，，，，共5个，
D事件有：，，，，，共6个，
所以，，，，
，
所以，而，故A错误；
，而，故B错误；
，而，故C错误；
，而，故D正确.
故选：D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 为了考察某种疫苗的预防效果，先选取某种动物进行实验，试验时得到如下统计数据：

未发病
发病
总计
未注射疫苗



注射疫苗
40


总计
70

100
现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ）
A. 未注射疫苗发病的动物数为30只
B. 从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C. 在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关
D. 注射疫苗可使实验动物的发病率下降约10%
【答案】BC
【解析】
【分析】根据所给数据分析，填写列联表，由卡方公式计算，结合独立性检验的思想，依次判断选项即可.
【详解】现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5，
注射疫苗的动物共只，则未注射疫苗的动物共只，
所以未注射疫苗未发病的动物共30只，未注射疫苗发病的动物共20只，
注射疫苗发病的动物共10只，
列联表如下：

未发病
发病
合计
未注射疫苗
30
20
50
注射疫苗
40
10
50
合计
70
30
100
所以未注射疫苗发病的动物共20只，故A错误；
从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为，故B正确；
，
则在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关，故C正确；
未注射疫苗的动物的发病率为，
注射疫苗的动物的发病率为，
则注射疫苗可使实验动物的发病率下降约，故D错误.
故选：BC.
10. 某种袋装蔬菜种子每袋质量（单位：），下面结论不正确的是（ ）
A. 的标准差是9
B.
C. 随机抽取1000袋这种蔬菜种子，每袋质量在区间中约819袋
D. 随机抽取10000袋这种蔬菜种子，每袋质量小于的不多于14袋
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正态分布的相关知识与概率计算公式即可求解.
【详解】对于A，，，故A错误;
对于B，某种袋装食品每袋质量(单位:，
，故B错误;
对于C，，
故随机抽取1000袋这种食品，每袋质量在区间的约819袋，故C正确，
对于D，根据概率的意义，有可能多于14袋，故D错误.
故选：ABD.
11. 袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数量为，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据超几何分布计算概率可判断AB，再计算期望可判断C，根据方差的性质可判断D.
【详解】由题意，，故A错误；
因为，，，故B正确；
由题意知, ，则,
，，
所以，,
故，故C正确；
由知，，故D正确.
故选：BCD
12. 3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（ ）
A. 共有种不同的报名方法
B. 若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能
C. 若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法
D. 若每个活动小组最少安排一名同学，且甲､乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解.
【详解】A：每位同学都有3个选择，所以共有种不同的安排方法，故A正确；
B：每个活动小组至少有1名同学参加，各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有6种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有1种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有3种可能，
所以共有6+1+3=10种可能，故B正确；
C：若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，
则3个活动小组的报名人数分别为222，
所以报名的方法有种，故C错误；
D：若每个活动小组最少安排一名同学，则各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
而甲､乙两名同学报名同一个活动小组，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有种方法；
若3个活动小组报名人数分别为114，则有种方法，
所以报名的方法有96+18+36=150种，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知随机变量的分布列为

-1
0
1
2

0.1
0.2
0.3
0.4
则随机变量的数学期望__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意求出的分布列，结合数学期望公式计算，即可求得结果.
【详解】由题意知，的取值为0，1，4，
则，
，
，

0
1
4

02
0.4
0.4
.
故答案为：2.
14. 据某市有关部门统计，该市对外贸易近几年持续增长，年至年每年进口总额（单位：千亿元）和出口总额（单位：千亿元）之间的数据统计如下：

年
年
年
年










若每年的进出口总额、满足线性相关关系，则__________；若计划年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为__________千亿元.
【答案】 ①. #### ②. ####
【解析】
【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可得出的值，然后令，求出的值，可得出结论.
【详解】由表格中的数据可得，，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，
当时，即，解得.
若计划年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为千亿元.
故答案为：；.
15. 课外活动小组共9人，其中男生5人，女生4人，现从中选5人主持某种活动，则至少有2名男生和1名女生参加的选法有__________种.
【答案】120
【解析】
【分析】求出9人中任选5人的取法种数，再去掉5个男生及4个女生1个男生的取法种数.
【详解】利用间接法求解，先求出9人中任选5人的取法种数，再去掉5个男生及4个女生1个男生的取法种数，即种，
故答案为：120
16. 除以所得余数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定可得，即可得出结论.
【详解】因为，则


，
因为能被整除，
因此，除以所得的余数为.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 为了实现五育并举，鼓励学生在学好文化知识的同时也要锻炼好身体，某学校随机抽查了100名学生，统计他们每天参加体育运动的时间，并把他们之中每天参加体育运动时间大于或等于60分钟的记为“达标”，运动时间小于60分钟的记为“不达标”，统计情况如下图：

（1）完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关.

运动达标
运动不达标
总计
男生



女生



总计




（2）现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体育运动指导，求选中的2人都是女生的概率.
参考数据：

0.25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

【答案】（1）表格见解析，能
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意列联表，计算与临界值比较得出结论；
（2）分层抽样可知抽出女生4人，男生2人，根据古典概型求解即可.
【小问1详解】
列联表为：

运动达标
运动不达标
总计
男生
38
12
50
女生
26
24
50
总计
64
36
100
，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为“运动达标”与“性别”有关.
【小问2详解】
由（1）知“运动不达标”的男生､女生分别有12人和24人，按分层抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人，所以，所以选中的2人都是女生的概率为.
18. 5名男生，2名女生，站成一排照相.
（1）两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？
（2）两名女生不相邻的排法有多少种？
（3）两名女生中间有且只有一人的排法有多少种？
【答案】（1）2400
（2）3600 （3）1200
【解析】
【分析】（1）中间5个位置先排2名女生，然后其余5个位置排剩下的5人，由分步乘法计数原理即可求解；
（2）利用插空法，结合分步乘法计数原理即可求解；
（3）先利用插空法将1名男生插入2名女生中，结合捆绑法和分步乘法计数原理即可求解；
【小问1详解】
中间5个位置先排2名女生，有种排法，
然后其余5个位置排剩下的5人，有种排法，
故共有种排法；
【小问2详解】
先排5名男生，有种排法，
然后在5名男生排列的6个空中选2个空插入2名女生，有种排法，
故共有种排法；
【小问3详解】
两名女生有种排法，从剩下的5人中选一人插入两名女生中间，有种，
然后再将三人看作一个元素，和其他四个元素作全排列，有种排法，
故共有种排法.
19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①展开式中第4项与第7项的二项式系数相等；②偶数项的二项式系数和为256；③前三项的二项式系数之和为46.
已知在的展开式中，__________.
（1）求含项的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】（1）-144
（2）
【解析】
【分析】（1）若选填条件①②，由二项式系数的性质可得；若选填条件③，由组合数的计算可得.结合二项式展开式的通项公式计算即可求解；
（2）由（1），设第项系数绝对值最大，则，利用组合数的计算公式可解得，求解r即可求解.
【小问1详解】
若选填条件①，，由二项式系数的性质可得，；
若选填条件②，偶数项的二项式系数和为256，即，可得，；
若选填条件③，，
即，解得或，因为，所以
二项式展开式的通项：.
由，得.
展开式中含项的系数为.
【小问2详解】
假设第项系数绝对值最大，则，
所以，
所以，因为，所以，
所以展开式中系数绝对值最大的项为.
20. 对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据：


将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个等级.
（1）将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率；
（2）根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由.
年降水量
作物种类
偏少
适中
偏多
甲
8
12
8
乙
12
10
7
丙
7
10
12

【答案】（1）该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
（2）作物丙最适合在该地区推广种植，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由数据得出降水量偏少､适中､偏多的年数，计算频率，估计出概率；
（2）分别计算种植甲､乙､丙每亩地获利的期望及方差，比较大小得出结果.
【小问1详解】
将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：
降水量偏少的年份有4年，概率可估计为；
降水量适中的年份有10年，概率可估计为；
降水量偏多的年份有6年，概率可估计为.
于是该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
【小问2详解】
设种植农作物甲､乙､丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量，
则的分布列为：

8
12

0.5
0.5
故种植甲则每亩地获利的期望千元，
则的分布列为：

12
10
7

0.2
0.5
0.3
故种植乙则每亩地获利的期望千元，

7
10
12

0.2
05
0.3
故种植丙则每亩地获利的期望千元，
所以，
即种植甲､丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙，
又，
，
，故种植丙时获利的稳定性更好，
因此，作物丙最适合在该地区推广种植.
21. 某生产制造企业统计了近10年的年利润（千万元）与每年投入的某种材料费用（十万元）的相关数据，作出如下散点图：

选取函数作为每年该材料费用和年利润的回归模型.若令，则，得到相关数据如表所示：




31.5
15
15
49.5

（1）求出与的回归方程；
（2）计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）参考数据：.
【答案】（1）
（2）498万元
【解析】
【分析】（1）由表中数据代入最小二乘法公式计算即可；
（2）按照（1）中所求回归方程，结合参考数据，代入计算即可.
【小问1详解】
因为
由表中数据得，
所以，所以，
所以年该材料费用和年利润额的回归方程为；
【小问2详解】
令，得，
所以（十万），
故下一年应至少投入498万元该材料费用.
22. 盒中有6只乒乓球，其中黄色4只，白色2只.每次从盒中随机取出1只用于比赛.
（1）若每次比赛结束后都将比赛用球放回盒内，记事件“三次比赛中恰有两次使用的是黄色球”，求；
（2）已知黄色球是今年购置的新球，在比赛中使用后仍放回盒内；白色球是去年购置的旧球，在比赛中使用后丢弃.
①记事件“第一次比赛中使用的是白色球”，=“第2次比赛中使用的是黄色球”，求概率；
②已知，记事件“在第次比赛结束后恰好丢弃掉所有白球”，求概率.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）记3次比赛中，使用黄色球的次数为随机变量，则，由二项分布的概率公式求解即可；
（2）①由条件概率和全概率公式求解即可；
②分析题意，由相互独立事件的概率乘法公式和等比数列的前项和公式求解即可.
【小问1详解】
由题意知，每次比赛中，使用黄色球的概率为，
记3次比赛中，使用黄色球的次数为随机变量，则，
故；
【小问2详解】
记事件“第次比赛使用黄色球”，
事件“第次比赛使用白色球”，
①根据题意，，
，
故；
②由题意，表示第次比赛中使用了最后一只白色球，即第2次使用白色球，
不妨设第次比赛中，首次使用白色球，
故在第次比赛中，使用黄色球，
即比赛流程为，
根据规则可知，在前局比赛中，每次比赛开始前盒中均有4只黄球2只白球，故每次比赛选择黄球的概率均为，
第局比赛前，盒中有4只黄球2只白球，此时选择白球的概率为，
第至局比赛（共计局）中，每次比赛前盒中均有4只黄球1只白球，故每次比赛选择黄球的概率均为，
第次比赛中，比赛前盒中有4只黄球1只白球，故比赛选中白球的概率为，
故，
考虑到的取值可能从1变化到，
故
.