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2023年辽宁省沈阳市和平区三校优生中考数学联考试卷（含解析）
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这是一份2023年辽宁省沈阳市和平区三校优生中考数学联考试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省沈阳市和平区三校优生中考数学联考试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−π，−3.14，0， 2 四个数中，最小的是( )
A. −π B. −3.14 C. 2 D. 0
2. 国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者参与，将2.6万用科学记数法表示( )
A. 0.26×102 B. 2.6×103 C. 0.26×104 D. 2.6×104
3. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“实”相对的字是( )
A. 双 B. 减 C. 全 D. 面
4. 下列说法中，正确的是( )
A. 为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B. 若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学的数学成绩更稳定
C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是12
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件
5. 下列运算正确的是( )
A. −3a2⋅2a2=6a6 B. 6a6÷(−2a3)=−3a2
C. (−a3)2=a6 D. (−a3)2=−a6
6. 某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：
每天加工零件数
4
5
6
7
8
人数
3
6
5
4
2
每天加工零件数的中位数和众数为( )
A. 6，5 B. 6，6 C. 5，5 D. 5，6
7. 如图，⊙O是△ABC的外接圈，AD为⊙O的直径，若AD=10，AC=8，则cosB等于( )
A. 43
B. 34
C. 35
D. 45
8. 已知反比例函数y=1x经过平移后可以得到函数y=1x−1，关于新函数y=1x−1，下列结论正确的是( )
A. 当x>0时，y随x的增大而增大
B. 该函数的图象与y轴有交点
C. 该函数图象与x轴的交点为(1,0)
D. 当0
A. 3− 32
B. 3−1
C. 3−2 32
D. 3+ 32
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：
①abc>0；
②a+b+c>0；
③2a+b>0；
④其顶点坐标为(12,−2)；
⑤当x<0时，y随x的增大而减小；
⑥4ac>b2−8a；
中正确的有( )
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 四边形ABCD的对角线AC=9cm，BD=5cm，顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形的周长等于______ cm．
12. 如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为4，则k的值为______．
13. 如图，平行四边形ABCD中∠BAD=150°，点E在边AB上，点H在线段BC上，连接CE交AH于M，∠CMH=60°，CE=2AH，CH=2 5，BE的长为______ ．
14. 如图(1)，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D为BC的中点，点E为AB上一动点，将纸片沿DE翻折，点B的对应点为点B′，如图(2).再将纸片沿DB′翻折，点E的对应点为点E′，如图(3).当点E′落在原直角三角形纸片的边上时，B′E′的长为______ .[温馨提示：对于正数a，b，有( a+ b)( a− b)=a−b]
三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
计算：(−13)−2+(−2019)0−| 3−2|+3tan60°．
16. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
(1)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
(2)若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
17. (本小题10.0分)
某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的部分数据如表：
(元/件)
80
90
100
110
销售y
800
600
400
200
(1)根据表中数据，求出y与x之间满足的函数关系式；
(2)物价部门规定单件的利润率不超过16%.在(1)的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值．
18. (本小题8.0分)
如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若DE=6，cos∠ABD=45，OE的长为______ ．
19. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(−3,4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM．
(1)直线AC的解析式______ ；M坐标为______
(2)动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒．
①当0
20. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，P为直线BC上一点(不与点B和点C重合)，过点B作BE⊥PD于点E，过点C作CF⊥DP于点F，CH⊥CE交DE于H，O为BD的中点，连接OF，CE．
(1)如图1，①求证：CE=CH
②求证：OF垂直平分CE
(2)如图2，当点P在BC的延长线上运动时，求证：OF垂直平分CE．
(3)连接AF，BF，当△ABF为等腰三角形时，BFBE的值为______ ．
21. (本小题12.0分)
如图1.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B，B在A的右边，点A坐标为(1,0)，点P为抛物线上一动点，抛物线与y轴交于C，S△ABC=3
(1)求抛物线解析式．
(2)点P的横坐标为m，且m>3，作PN⊥BC于N，设PN=d，求d与m的函数关系式．
(3)如图2.过A作PC的平行线交y轴于点F.连接BF，在直线AF上取点E，连接PE，使PE=2BF，且∠PEF+∠BFE=180°，请直接写出P点的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−π|=π，|−3.14|=3.14，
∴−π<−3.14，
∴−π，−3.14，0， 2这四个数的大小关系为−π<−3.14<0< 2．
故选：A．
先计算|−π|=π，|−3.14|=3.14，根据两个负实数绝对值大的反而小得−π<−3.14，再根据正数大于0，负数小于0得到−π<−3.14<0< 2．
本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：2.6万=26000=2.6×104．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“面”与“实”是对面，
故选：D．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A.测某市正在销售的酸奶质量，应该采用抽查的方式，此选项错误；
B.若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学的数学成绩更稳定，此选项错误；
C.抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是12，此选项正确；
D.“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；
故选：C．
根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可．
本题考查的是调查方法的选择以及方差的意义和概率求法、随机事件等知识；熟练掌握区分这些知识是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、−3a2⋅2a2=6a4，故A不符合题意；
B、6a6÷(−2a3)=−3a3，故B不符合题意；
C、(−a3)2=a6，故C符合题意；
D、(−a3)2=a6，故D不符合题意；
故选：C．
根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；
因为共有20个数据，
所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为6+62=6，
故选：A．
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】C
【解析】解：连接CD，
∵∠B与∠D都对AC，
∴∠B=∠D，
∵AD为圆O的直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=10，AC=8，
根据勾股定理得：CD=6，
则cosB=cosD=CDAD=35，
故选：C．
连接CD，利用同弧所对的圆周角相等将∠B转化为∠D，再利用直径所对的圆周角为直角，利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可．
此题考查了圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A.当x>0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；
B.该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；
C.该函数图象与x轴的交点为(1,0)，故本选项正确，符合题意；
D.当0
由反比例函数的性质可知，反比例函数y=1x当x>0或x<0时，y随x的增大而减小，且关于(0,0)对称；经过平移后得到y=1x−1，关于(0,−1)对称，增减性不变．
考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．
9.【答案】A
【解析】解：AC的中点为O，连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为 3的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°−∠CDG=∠FDC，DADC=DGDF，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO−OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO= BC2−OC2= ( 3)2−( 32)2=32，OM=12AC= 32，
则BM=BO−OM=32− 32．
故选：A．
取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO−OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．
本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可得：a>0，b<0，c=−2<0，对称轴x=−1+22=12，
①∵a>0，b<0，c<0，
∴abc>0，正确；
②∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，正确；
③∵−b2a=12，
∴b=−a，
∴a+b=0，
∴2a+b>0，正确；
④∵对称轴为直线x=12，c=−2，
∴顶点的纵坐标小于−2，错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=12，
∴当x<12时，y随x的增大而减小，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，正确；
⑥∵顶点的纵坐标小于−2，
∴4ac−b24a<−2，
∴4ac>b2−8a，正确．
故选：C．
由二次函数的图象可得：a>0，b<0，c=−2<0，对称轴x=−1+22=12，则再结合图象判断各结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．
11.【答案】14
【解析】解：∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，
∴四边形EFGH的周长是：EF+GH+EH+FG=12(AC+BD+AC+BD)=AC+BD=9+5=14(cm)．
故答案为：14．
根据三角形的中位线定理得出EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，代入四边形的周长式子求出即可．
本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练运用性质求出EF+GH+EH+FG=AC+BD是解此题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵S△AOCS△BOC=ACBC=12，△AOB的面积为4，
∴S△AOC=43，S△BOC=83，
∵∠AEC=∠BOC=90°，∠ACE=∠BCO，
∴△AEC∽△BOC，
∴S△AECS△BOC=(ACBC)2=14，
∴S△AEC=83×14=23，
∴S△AOE=43+23=2=12|k|，
∴k=4(取正值)，
故答案为：4．
根据三角形的面积公式和△AOB的面积为4可得S△AOC=43，S△BOC=83，再根据相似三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义可求出答案．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
13.【答案】4 153
【解析】解：过H作HN⊥DC交DC的延长线于点N，如图：
则∠N=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD，AB=CD，
∵∠BAD=150°，
∴∠B=∠D=30°，
∴∠BCN=∠D=30°，
∴HN=12CH= 5，
∴NC= 15，
过A作AF//CE交CD于点F，
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，
∴BE=DF，
∵AF//CE，
∴∠MAF=∠CMH=60°，
∵CE=2AH，
∴AF=2AH，
过F作FP⊥AH于点P，则∠APF=90°，
∵∠MAF=60°，
∴∠AFP=30°，
∴AP=12AF，
∴AF=2AP，
∴AH=AP，
∴点P与点H重合，
∴HF= AF2−AH2= 32AF，
∴HFAF= 32，
过F作FG⊥AD于点G，则∠FGA=90°=∠N，
又∵∠AFC=∠GAF+∠D，
∴∠AFH+∠CFH=∠GAF+∠D，
∴30°+∠CFH=∠GAF+30°，
∴∠CFH=∠GAF
∴△HNF∽△FGA，
∴HFAF=HNFG= 32，
∴ 3FG=2NH=2 5，
∴FG=2 5 3=2 153，
∵∠D=30°，∠FGD=90°，
∴FG=12DF，
∴DF=2GF=4 153，
∴BE=DF=4 153，
先过H作HN⊥DC，从而求出NC的长，再作AF//CE构造平行四边形，得出对边相等，进而得出AF=2AH，过F作FP⊥AH于点P，得出点P与点H重合，得出HF与AF的数量关系，最后F作FG⊥AD构造相似，得出对应边成比例即可解答．
本题考查平行四边形的性质和直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线．
14.【答案】1或40−10 313
【解析】解：①当点E′落在原直角三角形纸片的AB边上时，如图所示：
∵点D为BC的中点，
∴BD=12BC=2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB= AC2+BC2= 32+42=5，
设DB′与AB交于点O，
由折叠可知：B′E=B′E′=BE，B′D=BD=2，B′D⊥AB，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠BCA=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOD∽△BCA，
∴ODAC=BDAB=OBBC，
∴OD3=OB4=25，
∴OD=56，OB=85，
设BE=x，则B′E=B′E′=BE=x，OE=OB−BE=85−x，OB′=B′D−OD=2−65=45，
在Rt△OB′E中，根据勾股定理，得
OB′2+OE2=B′E2，
∴(45)2+(85−x)2=x2，
整理得165x=8025
解得x=1，
∴B′E′=1．
②当点E′落在原直角三角形纸片的BC边上时，
根据题意可知：∠BDE=∠BDB′=∠B′DE′=60°，∠B=∠DB′E=∠DB′E′，
如图，过点E′作E′H⊥B′D于H，
∴∠B′HE′=∠BCA=90°，
∴△B′EH∽△BAC，
∴B′E′AB=E′HAC=B′HBC，
设DH=x，则E′H= 3x，B′H=B′D−DH=BD−DH=2−x，
∴B′E′5= 3x3=2−x4，
解得x=2(4 3−3)13，
∴B′E′=5 33x=40−10 313．
综上所述B′E′的长为：1或40−10 313．
故答案为：1或40−10 313．
分两种情况画图：①当点E′落在原直角三角形纸片的AB边上时，设DB′与AB交于点O，由折叠可得B′E=B′E′=BE，B′D=BD=2，B′D⊥AB，然后证明△BOD∽△BCA，对应边成比例可得OD=56，OB=85，设BE=x，则B′E=B′E′=BE=x，OE=OB−BE=85−x，OB′=B′D−OD=2−65=45，根据勾股定理即可求出x的值，进而可以解决问题．②当点E′落在原直角三角形纸片的BC边上时，过点E′作E′H⊥B′D于H，证明△B′EH∽△BAC，即可解决问题．
本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△BOD∽△BCA．
15.【答案】解：(−13)−2+(−2019)0−| 3−2|+3tan60°
=9+1+ 3−2+3× 3
=9+1+ 3−2+3× 3
=8+4 3．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
16.【答案】解：(1)∵CD=CE，∠BCA=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AB//DF，
∵EF=AE，∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴BD//AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)∵四边形ABDF是平行四边形，
∴EF//AB，且EF≠AB，
∴四边形ABEF是梯形．
过点E作EG⊥AB于点G，
∵BD=2DC，AB=6，
∴AE=BD=EF=4，
∵∠AGE=90°，∠BAC=60°，
∴∠AEG=30°，
∴AG=12AE=2，
EG= AE2−AG2= 42−22=2 3，
∴S=12(4+6)×2 3=10 3．
【解析】(1)等边三角形的三边相等，三个角也相等，根据等边三角形的性质能证明AF//BD，AB//FD，所以四边形ABDF是怎样的四边形．
(2)过点E作EG⊥AB于点G，可求出EG的长，面积可求．
本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的判定和性质等．
17.【答案】解：(1)由表格中的数据可以发现，售价每涨10元，销售量就减少200件，
则y与x之间满足的函数关系是一次函数，
∴y=800−200[(x−80)÷10]=−20x+2400，
即y与x之间满足的函数关系式是y=−20x+2400；
(2)设利润为w元，
由题意可得：w=(x−80)(−20x+2400)=−20(x−100)2+8000，
∵物价部门规定单件利润率不超过15%.售价不低于成本，
∴x−80≤80×16%，x≥80，
∴80≤x≤92.8，
∴当x=92.8时，w取得最大值，此时w=6963.2，
答：售价定为多少92.8元，公司每天获得的利润最大，最大值是6963.2元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以发现y与x之间满足的函数关系是一次函数，然后即可写出y与x之间满足的函数关系式；
(2)根据题意，可以写出利润与x之间的函数关系式，再根据物价部门规定单件利润率不超过15%.售价不低于成本，可以得到x的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
18.【答案】152
【解析】(1)证明：如图，
连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=EC=12BC，
在△DOE和△BOE中，
OD=OBDE=BEOE=OE，
∴△DOE≌△BOE(SSS)，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
由(1)知：∠BDC=90°，BC=2DE，
∴∠C+∠DBC=90°，BC=2DE=12，
∴∠C=∠ABD，
在Rt△ABC中，
AC=1245=15，
∵OA=OB，BE=CE，
∴OE=12AC=152，
故答案为：152．
(1)连接OD，可推出∠BDC=90°，进而得出DE=BE，进而证明△DOE≌△BOE，进一步得出结论；
(2)可推出∠C=∠ABD，解直角三角形ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．
本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
19.【答案】y=−12x+52 (0,52) 32 12或3710
【解析】解：(1)∵A的坐标为(−3,4)，
∴OA= (−3)2+42=5，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=5，
∴C(5,0)，
设直线AC解析式为y=kx+b，则4=−3k+b0=5k+b，
解得：k=−12b=52，
∴直线AC解析式为y=−12x+52；
令x=0，则y=52，
故M(0,52)；
故答案为：y=−12x+52；(0,52)；
(2)①∵M(0,52)，
∴MH=OH−OM=4−52=32，
而动点P从点A出发，沿折线ABC以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，当0
∴S=12BP⋅MH=12⋅(5−2t)×32=−32t+154；
②∠PMA=30°，
∴∠PAM=15°，
在△PMH中，∠MPH是△AMP的外角，
∴∠MPH=15°+30°=45°，
∵MH=32，且HM=HP，
∴PH=32；
故答案为：32；
(3)当0
解得t=12，
当52
∵AB+BP=2t，AB=5，
∴BP=2t−5，
根据菱形的对称性可知：OM=BM且由OM⊥OC得MB⊥BC，
而OM=52，
∴MB=52，
∴△PMB的面积S=12⋅BP⋅MB，
∴12(2t−5)×52=3，
解得t=3710，
综上所述，当S=3时t的值为12或3710．
故答案为：12或3710．
(1)由A的坐标为(−3,4)，得OA=5，而OC=OA=5，C(5,0)，设直线AC解析式为y=kx+b，则4=−3k+b0=5k+b，即得直线AC解析式为y=−12x+52；
(2)①由y=−12x+52，得M(0,52)，即有MH=OH−OM=32，又BP=AB−AP=5−2t，故S=12BP⋅MH=−32t+154；
②在△PMH中，∠MPH是△AMP的外角，所以∠MPH=∠PMA+∠PAM，根据MH=32，且HM=HP，即可求得PH的值；
(3)当0
20.【答案】 2或 52
【解析】(1)①证明：如图1，∵BE⊥PD，CF⊥DP，
∴BE//CF，∠CFD=90°，
∴∠CBE=∠BCF，∠CDF+∠DCF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF=∠CDF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵CH⊥CE，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠BCH=90°，∠DCH+∠BCH=90°，
∴∠BCE=∠DCH，
在△BCE和△DCH中，
∵∠CBE=∠CDF，BC=CD，∠BCE=∠DCH，
∴△BCE≌△DCH(ASA)，
∴CE=CH；
②证明：如图2，连接OC、OE
∵
由(1)得CE=CH，CH⊥CE，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠CEH=45°，
∵CF⊥DP，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴FE=FC
∵∠BED=90°=∠BCD，O为BD的中点，
∴OE=OC，
在△OFE和△OFC中，
∵FE=FC，OE=OC，OF=OF，
∴△OFE≌△OFC(SSS)，
∴∠EOF=∠COF，
∴OF垂直平分CE；
(2)证明：连接OC、OE，如图3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°，
∵BE⊥PD，
∴∠BED=90°=∠BCD，
∴B、D、E、C四点在以BD为直径的圆上，
∴∠BEC=∠BDC=45°，
∴∠CEF=90°−45°=45°，
∵CF⊥DP，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴FE=FC，
∵O为BD的中点，
∴∠BED=90°=∠BCD，
∴OC=OE，
∴OF垂直平分CE；
(3)①当AB=AF时，如图4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD=AF，
∴点B、F、D在以点A为圆心、AB的长为半径的圆上，
在优弧BD上取一点H，连接BH、DH，
则∠BHD=12∠BAD=45°，
∴∠BFD=180°−∠BHD=180°−45°=135°，
∴∠BFE=180°−135°=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BFBE= 2；
②当AF=BF时，点F在线段AB的垂直平分线上，如图5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BDC=45°，
∴点F在线段CD的垂直平分线上，
∴CF=DF，
∵CF⊥DF，
∴∠CDF=45°，
∴∠BDF=∠BDC+∠CDF=45°+45°=90°，
∴点E与点D重合，△BEP是等腰直角三角形，
∵EC⊥BP，
∴点C是BP的中点，
∵∠CFP=90°=∠BEP，
∴CF是△BEP的中位线，
∴BE=2CF=2EF，
在Rt△BEF中，BF2=BE2+EF2=BE2+(12BE)2=54BE2
∴BFBE= 52，
综上所述，当△ABF为等腰三角形时，BFBE的值为 2或 52．
故答案为： 2或 52．
(1)①如图，先推出∴∠1=∠2，再分别推出∠1=∠3，∠BCE=∠DCH，进而证△BCE≌△DCH(ASA)即可；
②连接OC、OE，分别证△CEH、△CEF是等腰直角三角形，利用“直角直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推出OE=OC，再证△OFE≌△OFC(SSS)，推出∠EOF=∠COF，利用“三线合一”即可得证；
(2)连接OC、OE，证B、D、E、C四点共圆，推出△CEF是等腰直角三角形，再结合“直角直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推出OE=OC即可得证；
(3)分两种情况：①当AB=AF时，推出点B、F、D在以点A为圆心、AB的长为半径的圆上，再推出△BEF为等腰直角三角形，结合锐角三角函数的定义即可得解；②当AF=BF时，则点F在线段AB的垂直平分线上，可推出点F在线段CD的垂直平分线上，进而推出点E与点D重合，△BEP是等腰直角三角形，证CF是△BEP的中位线，在Rt△BEF中，利用勾股定理即可得解．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想等，适当添加辅助线，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质及四点共圆是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，即OC=3，
∵S△ABC=3，
∴12×AB×OC=3，
即12AB×3=3，
∴AB=2，
又∵A(1,0)且点B在点A的右边，
∴B(3,0)，
把A点和B点坐标代入抛物线y=ax2+bx+3，
解得
a+b+3=09a+3b+3=0，
解得a=1b=−4，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3；
(2)由(1)知，C(0,3)，B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+t，
代入B点和C点的坐标3k+t=0 t=3，
解得k=−1t=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
过点P作PD⊥x轴交CB延长线于点E，交x轴于点D，
∵OC=OB，
∴∠CBO=45°，
又∵∠COB=∠PDO=90°，且∠CBO=∠DBE=45°，
∴∠PEC=45°，且PN⊥CB，
∴∠NPE=45°，
∴cos∠NPE=PNPE=cos 45°= 22，
∴PN= 22PE，
设P(m,m2−4m+3)，则E(m,−m+3)，
∴PE=m2−4m+3−(−m+3)=m²−3m，
∴PN=d= 22PE= 22(m2−3m)= 22m2−3 22m，
∴d= 22m2−3 22m；
(3)如图，过点P作PH⊥FE于点H，过点C作CI⊥FE于点I，过点B作BJ⊥FE于点J，设FE交BC于点K，
∵∠PEF+∠BFE=180°，且∠PEF+∠PEH=180°，
∴∠BFE=∠PEH，
∵∠PHE=∠CIJ=∠BJH=90°，
又∵PE=2BF，
∴△PEH∽△BJF，
∴BJ=12PH，
又∵CP//AH，且CI//PH，
∴四边形CPHI是矩形，
∴CJ=PH，
又∵∠CJI=∠BKJ，
∴BJ=12CI，
∴BK=12CK，
∴K(2,1)，
设直线AF的解析式为y=sx+n，代入K点和A点的坐标得2s+n=1s+n=0，
解得s=1n=−1，
∴直线AF的解析式为y=x−1，
设直线PC的解析式为y=x+9，代入C点坐标得
g=3，
∴直线PC的解析式为y=x+g，
联立直线PC和抛物线的解析式得y=x2−4x+3y=x+3，
解得x=0y=3或x=5y=8，
∴P(5,8)．
【解析】(1)根据二次函数的解析式求出C点的坐标，再根据△ABC的面积求出AB的长度，根据A点的坐标再求出B点的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PD⊥x轴交CB延长线于点E，交轴于点D，利用三角函数求出PN=√ 22PE，设出P点的坐标，得出E点的坐标，然后根据PE求出PN即可得出d和x的函数关系式；
(3)过点P作PH⊥FE于点H，过点C作CI⊥FE于点I，过点B作BJ⊥FE于点J，设FE交BC于点K，证△PEH∽△BJF，然后证四边形CPHI是矩形，进而得出K点的坐标，求出AF的解析式，再求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式求出P点的坐标即可．
本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识是解题的关键．
2023年辽宁省沈阳市和平区三校优生中考数学联考试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−π，−3.14，0， 2 四个数中，最小的是( )
A. −π B. −3.14 C. 2 D. 0
2. 国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者参与，将2.6万用科学记数法表示( )
A. 0.26×102 B. 2.6×103 C. 0.26×104 D. 2.6×104
3. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“实”相对的字是( )
A. 双 B. 减 C. 全 D. 面
4. 下列说法中，正确的是( )
A. 为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B. 若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学的数学成绩更稳定
C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是12
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件
5. 下列运算正确的是( )
A. −3a2⋅2a2=6a6 B. 6a6÷(−2a3)=−3a2
C. (−a3)2=a6 D. (−a3)2=−a6
6. 某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：
每天加工零件数
4
5
6
7
8
人数
3
6
5
4
2
每天加工零件数的中位数和众数为( )
A. 6，5 B. 6，6 C. 5，5 D. 5，6
7. 如图，⊙O是△ABC的外接圈，AD为⊙O的直径，若AD=10，AC=8，则cosB等于( )
A. 43
B. 34
C. 35
D. 45
8. 已知反比例函数y=1x经过平移后可以得到函数y=1x−1，关于新函数y=1x−1，下列结论正确的是( )
A. 当x>0时，y随x的增大而增大
B. 该函数的图象与y轴有交点
C. 该函数图象与x轴的交点为(1,0)
D. 当0
A. 3− 32
B. 3−1
C. 3−2 32
D. 3+ 32
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：
①abc>0；
②a+b+c>0；
③2a+b>0；
④其顶点坐标为(12,−2)；
⑤当x<0时，y随x的增大而减小；
⑥4ac>b2−8a；
中正确的有( )
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 四边形ABCD的对角线AC=9cm，BD=5cm，顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形的周长等于______ cm．
12. 如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为4，则k的值为______．
13. 如图，平行四边形ABCD中∠BAD=150°，点E在边AB上，点H在线段BC上，连接CE交AH于M，∠CMH=60°，CE=2AH，CH=2 5，BE的长为______ ．
14. 如图(1)，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D为BC的中点，点E为AB上一动点，将纸片沿DE翻折，点B的对应点为点B′，如图(2).再将纸片沿DB′翻折，点E的对应点为点E′，如图(3).当点E′落在原直角三角形纸片的边上时，B′E′的长为______ .[温馨提示：对于正数a，b，有( a+ b)( a− b)=a−b]
三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
计算：(−13)−2+(−2019)0−| 3−2|+3tan60°．
16. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
(1)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
(2)若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
17. (本小题10.0分)
某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的部分数据如表：
(元/件)
80
90
100
110
销售y
800
600
400
200
(1)根据表中数据，求出y与x之间满足的函数关系式；
(2)物价部门规定单件的利润率不超过16%.在(1)的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值．
18. (本小题8.0分)
如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若DE=6，cos∠ABD=45，OE的长为______ ．
19. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(−3,4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM．
(1)直线AC的解析式______ ；M坐标为______
(2)动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒．
①当0
20. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，P为直线BC上一点(不与点B和点C重合)，过点B作BE⊥PD于点E，过点C作CF⊥DP于点F，CH⊥CE交DE于H，O为BD的中点，连接OF，CE．
(1)如图1，①求证：CE=CH
②求证：OF垂直平分CE
(2)如图2，当点P在BC的延长线上运动时，求证：OF垂直平分CE．
(3)连接AF，BF，当△ABF为等腰三角形时，BFBE的值为______ ．
21. (本小题12.0分)
如图1.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B，B在A的右边，点A坐标为(1,0)，点P为抛物线上一动点，抛物线与y轴交于C，S△ABC=3
(1)求抛物线解析式．
(2)点P的横坐标为m，且m>3，作PN⊥BC于N，设PN=d，求d与m的函数关系式．
(3)如图2.过A作PC的平行线交y轴于点F.连接BF，在直线AF上取点E，连接PE，使PE=2BF，且∠PEF+∠BFE=180°，请直接写出P点的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−π|=π，|−3.14|=3.14，
∴−π<−3.14，
∴−π，−3.14，0， 2这四个数的大小关系为−π<−3.14<0< 2．
故选：A．
先计算|−π|=π，|−3.14|=3.14，根据两个负实数绝对值大的反而小得−π<−3.14，再根据正数大于0，负数小于0得到−π<−3.14<0< 2．
本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：2.6万=26000=2.6×104．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“面”与“实”是对面，
故选：D．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A.测某市正在销售的酸奶质量，应该采用抽查的方式，此选项错误；
B.若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学的数学成绩更稳定，此选项错误；
C.抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是12，此选项正确；
D.“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；
故选：C．
根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可．
本题考查的是调查方法的选择以及方差的意义和概率求法、随机事件等知识；熟练掌握区分这些知识是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、−3a2⋅2a2=6a4，故A不符合题意；
B、6a6÷(−2a3)=−3a3，故B不符合题意；
C、(−a3)2=a6，故C符合题意；
D、(−a3)2=a6，故D不符合题意；
故选：C．
根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；
因为共有20个数据，
所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为6+62=6，
故选：A．
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】C
【解析】解：连接CD，
∵∠B与∠D都对AC，
∴∠B=∠D，
∵AD为圆O的直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=10，AC=8，
根据勾股定理得：CD=6，
则cosB=cosD=CDAD=35，
故选：C．
连接CD，利用同弧所对的圆周角相等将∠B转化为∠D，再利用直径所对的圆周角为直角，利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可．
此题考查了圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A.当x>0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；
B.该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；
C.该函数图象与x轴的交点为(1,0)，故本选项正确，符合题意；
D.当0
由反比例函数的性质可知，反比例函数y=1x当x>0或x<0时，y随x的增大而减小，且关于(0,0)对称；经过平移后得到y=1x−1，关于(0,−1)对称，增减性不变．
考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．
9.【答案】A
【解析】解：AC的中点为O，连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为 3的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°−∠CDG=∠FDC，DADC=DGDF，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO−OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO= BC2−OC2= ( 3)2−( 32)2=32，OM=12AC= 32，
则BM=BO−OM=32− 32．
故选：A．
取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO−OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．
本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可得：a>0，b<0，c=−2<0，对称轴x=−1+22=12，
①∵a>0，b<0，c<0，
∴abc>0，正确；
②∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，正确；
③∵−b2a=12，
∴b=−a，
∴a+b=0，
∴2a+b>0，正确；
④∵对称轴为直线x=12，c=−2，
∴顶点的纵坐标小于−2，错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=12，
∴当x<12时，y随x的增大而减小，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，正确；
⑥∵顶点的纵坐标小于−2，
∴4ac−b24a<−2，
∴4ac>b2−8a，正确．
故选：C．
由二次函数的图象可得：a>0，b<0，c=−2<0，对称轴x=−1+22=12，则再结合图象判断各结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．
11.【答案】14
【解析】解：∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，
∴四边形EFGH的周长是：EF+GH+EH+FG=12(AC+BD+AC+BD)=AC+BD=9+5=14(cm)．
故答案为：14．
根据三角形的中位线定理得出EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，代入四边形的周长式子求出即可．
本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练运用性质求出EF+GH+EH+FG=AC+BD是解此题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵S△AOCS△BOC=ACBC=12，△AOB的面积为4，
∴S△AOC=43，S△BOC=83，
∵∠AEC=∠BOC=90°，∠ACE=∠BCO，
∴△AEC∽△BOC，
∴S△AECS△BOC=(ACBC)2=14，
∴S△AEC=83×14=23，
∴S△AOE=43+23=2=12|k|，
∴k=4(取正值)，
故答案为：4．
根据三角形的面积公式和△AOB的面积为4可得S△AOC=43，S△BOC=83，再根据相似三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义可求出答案．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
13.【答案】4 153
【解析】解：过H作HN⊥DC交DC的延长线于点N，如图：
则∠N=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD，AB=CD，
∵∠BAD=150°，
∴∠B=∠D=30°，
∴∠BCN=∠D=30°，
∴HN=12CH= 5，
∴NC= 15，
过A作AF//CE交CD于点F，
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，
∴BE=DF，
∵AF//CE，
∴∠MAF=∠CMH=60°，
∵CE=2AH，
∴AF=2AH，
过F作FP⊥AH于点P，则∠APF=90°，
∵∠MAF=60°，
∴∠AFP=30°，
∴AP=12AF，
∴AF=2AP，
∴AH=AP，
∴点P与点H重合，
∴HF= AF2−AH2= 32AF，
∴HFAF= 32，
过F作FG⊥AD于点G，则∠FGA=90°=∠N，
又∵∠AFC=∠GAF+∠D，
∴∠AFH+∠CFH=∠GAF+∠D，
∴30°+∠CFH=∠GAF+30°，
∴∠CFH=∠GAF
∴△HNF∽△FGA，
∴HFAF=HNFG= 32，
∴ 3FG=2NH=2 5，
∴FG=2 5 3=2 153，
∵∠D=30°，∠FGD=90°，
∴FG=12DF，
∴DF=2GF=4 153，
∴BE=DF=4 153，
先过H作HN⊥DC，从而求出NC的长，再作AF//CE构造平行四边形，得出对边相等，进而得出AF=2AH，过F作FP⊥AH于点P，得出点P与点H重合，得出HF与AF的数量关系，最后F作FG⊥AD构造相似，得出对应边成比例即可解答．
本题考查平行四边形的性质和直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线．
14.【答案】1或40−10 313
【解析】解：①当点E′落在原直角三角形纸片的AB边上时，如图所示：
∵点D为BC的中点，
∴BD=12BC=2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB= AC2+BC2= 32+42=5，
设DB′与AB交于点O，
由折叠可知：B′E=B′E′=BE，B′D=BD=2，B′D⊥AB，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠BCA=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOD∽△BCA，
∴ODAC=BDAB=OBBC，
∴OD3=OB4=25，
∴OD=56，OB=85，
设BE=x，则B′E=B′E′=BE=x，OE=OB−BE=85−x，OB′=B′D−OD=2−65=45，
在Rt△OB′E中，根据勾股定理，得
OB′2+OE2=B′E2，
∴(45)2+(85−x)2=x2，
整理得165x=8025
解得x=1，
∴B′E′=1．
②当点E′落在原直角三角形纸片的BC边上时，
根据题意可知：∠BDE=∠BDB′=∠B′DE′=60°，∠B=∠DB′E=∠DB′E′，
如图，过点E′作E′H⊥B′D于H，
∴∠B′HE′=∠BCA=90°，
∴△B′EH∽△BAC，
∴B′E′AB=E′HAC=B′HBC，
设DH=x，则E′H= 3x，B′H=B′D−DH=BD−DH=2−x，
∴B′E′5= 3x3=2−x4，
解得x=2(4 3−3)13，
∴B′E′=5 33x=40−10 313．
综上所述B′E′的长为：1或40−10 313．
故答案为：1或40−10 313．
分两种情况画图：①当点E′落在原直角三角形纸片的AB边上时，设DB′与AB交于点O，由折叠可得B′E=B′E′=BE，B′D=BD=2，B′D⊥AB，然后证明△BOD∽△BCA，对应边成比例可得OD=56，OB=85，设BE=x，则B′E=B′E′=BE=x，OE=OB−BE=85−x，OB′=B′D−OD=2−65=45，根据勾股定理即可求出x的值，进而可以解决问题．②当点E′落在原直角三角形纸片的BC边上时，过点E′作E′H⊥B′D于H，证明△B′EH∽△BAC，即可解决问题．
本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△BOD∽△BCA．
15.【答案】解：(−13)−2+(−2019)0−| 3−2|+3tan60°
=9+1+ 3−2+3× 3
=9+1+ 3−2+3× 3
=8+4 3．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
16.【答案】解：(1)∵CD=CE，∠BCA=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AB//DF，
∵EF=AE，∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴BD//AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)∵四边形ABDF是平行四边形，
∴EF//AB，且EF≠AB，
∴四边形ABEF是梯形．
过点E作EG⊥AB于点G，
∵BD=2DC，AB=6，
∴AE=BD=EF=4，
∵∠AGE=90°，∠BAC=60°，
∴∠AEG=30°，
∴AG=12AE=2，
EG= AE2−AG2= 42−22=2 3，
∴S=12(4+6)×2 3=10 3．
【解析】(1)等边三角形的三边相等，三个角也相等，根据等边三角形的性质能证明AF//BD，AB//FD，所以四边形ABDF是怎样的四边形．
(2)过点E作EG⊥AB于点G，可求出EG的长，面积可求．
本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的判定和性质等．
17.【答案】解：(1)由表格中的数据可以发现，售价每涨10元，销售量就减少200件，
则y与x之间满足的函数关系是一次函数，
∴y=800−200[(x−80)÷10]=−20x+2400，
即y与x之间满足的函数关系式是y=−20x+2400；
(2)设利润为w元，
由题意可得：w=(x−80)(−20x+2400)=−20(x−100)2+8000，
∵物价部门规定单件利润率不超过15%.售价不低于成本，
∴x−80≤80×16%，x≥80，
∴80≤x≤92.8，
∴当x=92.8时，w取得最大值，此时w=6963.2，
答：售价定为多少92.8元，公司每天获得的利润最大，最大值是6963.2元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以发现y与x之间满足的函数关系是一次函数，然后即可写出y与x之间满足的函数关系式；
(2)根据题意，可以写出利润与x之间的函数关系式，再根据物价部门规定单件利润率不超过15%.售价不低于成本，可以得到x的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
18.【答案】152
【解析】(1)证明：如图，
连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=EC=12BC，
在△DOE和△BOE中，
OD=OBDE=BEOE=OE，
∴△DOE≌△BOE(SSS)，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
由(1)知：∠BDC=90°，BC=2DE，
∴∠C+∠DBC=90°，BC=2DE=12，
∴∠C=∠ABD，
在Rt△ABC中，
AC=1245=15，
∵OA=OB，BE=CE，
∴OE=12AC=152，
故答案为：152．
(1)连接OD，可推出∠BDC=90°，进而得出DE=BE，进而证明△DOE≌△BOE，进一步得出结论；
(2)可推出∠C=∠ABD，解直角三角形ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．
本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
19.【答案】y=−12x+52 (0,52) 32 12或3710
【解析】解：(1)∵A的坐标为(−3,4)，
∴OA= (−3)2+42=5，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=5，
∴C(5,0)，
设直线AC解析式为y=kx+b，则4=−3k+b0=5k+b，
解得：k=−12b=52，
∴直线AC解析式为y=−12x+52；
令x=0，则y=52，
故M(0,52)；
故答案为：y=−12x+52；(0,52)；
(2)①∵M(0,52)，
∴MH=OH−OM=4−52=32，
而动点P从点A出发，沿折线ABC以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，当0
∴S=12BP⋅MH=12⋅(5−2t)×32=−32t+154；
②∠PMA=30°，
∴∠PAM=15°，
在△PMH中，∠MPH是△AMP的外角，
∴∠MPH=15°+30°=45°，
∵MH=32，且HM=HP，
∴PH=32；
故答案为：32；
(3)当0
解得t=12，
当52
∵AB+BP=2t，AB=5，
∴BP=2t−5，
根据菱形的对称性可知：OM=BM且由OM⊥OC得MB⊥BC，
而OM=52，
∴MB=52，
∴△PMB的面积S=12⋅BP⋅MB，
∴12(2t−5)×52=3，
解得t=3710，
综上所述，当S=3时t的值为12或3710．
故答案为：12或3710．
(1)由A的坐标为(−3,4)，得OA=5，而OC=OA=5，C(5,0)，设直线AC解析式为y=kx+b，则4=−3k+b0=5k+b，即得直线AC解析式为y=−12x+52；
(2)①由y=−12x+52，得M(0,52)，即有MH=OH−OM=32，又BP=AB−AP=5−2t，故S=12BP⋅MH=−32t+154；
②在△PMH中，∠MPH是△AMP的外角，所以∠MPH=∠PMA+∠PAM，根据MH=32，且HM=HP，即可求得PH的值；
(3)当0
20.【答案】 2或 52
【解析】(1)①证明：如图1，∵BE⊥PD，CF⊥DP，
∴BE//CF，∠CFD=90°，
∴∠CBE=∠BCF，∠CDF+∠DCF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF=∠CDF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵CH⊥CE，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠BCH=90°，∠DCH+∠BCH=90°，
∴∠BCE=∠DCH，
在△BCE和△DCH中，
∵∠CBE=∠CDF，BC=CD，∠BCE=∠DCH，
∴△BCE≌△DCH(ASA)，
∴CE=CH；
②证明：如图2，连接OC、OE
∵
由(1)得CE=CH，CH⊥CE，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠CEH=45°，
∵CF⊥DP，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴FE=FC
∵∠BED=90°=∠BCD，O为BD的中点，
∴OE=OC，
在△OFE和△OFC中，
∵FE=FC，OE=OC，OF=OF，
∴△OFE≌△OFC(SSS)，
∴∠EOF=∠COF，
∴OF垂直平分CE；
(2)证明：连接OC、OE，如图3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°，
∵BE⊥PD，
∴∠BED=90°=∠BCD，
∴B、D、E、C四点在以BD为直径的圆上，
∴∠BEC=∠BDC=45°，
∴∠CEF=90°−45°=45°，
∵CF⊥DP，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴FE=FC，
∵O为BD的中点，
∴∠BED=90°=∠BCD，
∴OC=OE，
∴OF垂直平分CE；
(3)①当AB=AF时，如图4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD=AF，
∴点B、F、D在以点A为圆心、AB的长为半径的圆上，
在优弧BD上取一点H，连接BH、DH，
则∠BHD=12∠BAD=45°，
∴∠BFD=180°−∠BHD=180°−45°=135°，
∴∠BFE=180°−135°=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BFBE= 2；
②当AF=BF时，点F在线段AB的垂直平分线上，如图5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BDC=45°，
∴点F在线段CD的垂直平分线上，
∴CF=DF，
∵CF⊥DF，
∴∠CDF=45°，
∴∠BDF=∠BDC+∠CDF=45°+45°=90°，
∴点E与点D重合，△BEP是等腰直角三角形，
∵EC⊥BP，
∴点C是BP的中点，
∵∠CFP=90°=∠BEP，
∴CF是△BEP的中位线，
∴BE=2CF=2EF，
在Rt△BEF中，BF2=BE2+EF2=BE2+(12BE)2=54BE2
∴BFBE= 52，
综上所述，当△ABF为等腰三角形时，BFBE的值为 2或 52．
故答案为： 2或 52．
(1)①如图，先推出∴∠1=∠2，再分别推出∠1=∠3，∠BCE=∠DCH，进而证△BCE≌△DCH(ASA)即可；
②连接OC、OE，分别证△CEH、△CEF是等腰直角三角形，利用“直角直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推出OE=OC，再证△OFE≌△OFC(SSS)，推出∠EOF=∠COF，利用“三线合一”即可得证；
(2)连接OC、OE，证B、D、E、C四点共圆，推出△CEF是等腰直角三角形，再结合“直角直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推出OE=OC即可得证；
(3)分两种情况：①当AB=AF时，推出点B、F、D在以点A为圆心、AB的长为半径的圆上，再推出△BEF为等腰直角三角形，结合锐角三角函数的定义即可得解；②当AF=BF时，则点F在线段AB的垂直平分线上，可推出点F在线段CD的垂直平分线上，进而推出点E与点D重合，△BEP是等腰直角三角形，证CF是△BEP的中位线，在Rt△BEF中，利用勾股定理即可得解．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想等，适当添加辅助线，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质及四点共圆是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，即OC=3，
∵S△ABC=3，
∴12×AB×OC=3，
即12AB×3=3，
∴AB=2，
又∵A(1,0)且点B在点A的右边，
∴B(3,0)，
把A点和B点坐标代入抛物线y=ax2+bx+3，
解得
a+b+3=09a+3b+3=0，
解得a=1b=−4，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3；
(2)由(1)知，C(0,3)，B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+t，
代入B点和C点的坐标3k+t=0 t=3，
解得k=−1t=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
过点P作PD⊥x轴交CB延长线于点E，交x轴于点D，
∵OC=OB，
∴∠CBO=45°，
又∵∠COB=∠PDO=90°，且∠CBO=∠DBE=45°，
∴∠PEC=45°，且PN⊥CB，
∴∠NPE=45°，
∴cos∠NPE=PNPE=cos 45°= 22，
∴PN= 22PE，
设P(m,m2−4m+3)，则E(m,−m+3)，
∴PE=m2−4m+3−(−m+3)=m²−3m，
∴PN=d= 22PE= 22(m2−3m)= 22m2−3 22m，
∴d= 22m2−3 22m；
(3)如图，过点P作PH⊥FE于点H，过点C作CI⊥FE于点I，过点B作BJ⊥FE于点J，设FE交BC于点K，
∵∠PEF+∠BFE=180°，且∠PEF+∠PEH=180°，
∴∠BFE=∠PEH，
∵∠PHE=∠CIJ=∠BJH=90°，
又∵PE=2BF，
∴△PEH∽△BJF，
∴BJ=12PH，
又∵CP//AH，且CI//PH，
∴四边形CPHI是矩形，
∴CJ=PH，
又∵∠CJI=∠BKJ，
∴BJ=12CI，
∴BK=12CK，
∴K(2,1)，
设直线AF的解析式为y=sx+n，代入K点和A点的坐标得2s+n=1s+n=0，
解得s=1n=−1，
∴直线AF的解析式为y=x−1，
设直线PC的解析式为y=x+9，代入C点坐标得
g=3，
∴直线PC的解析式为y=x+g，
联立直线PC和抛物线的解析式得y=x2−4x+3y=x+3，
解得x=0y=3或x=5y=8，
∴P(5,8)．
【解析】(1)根据二次函数的解析式求出C点的坐标，再根据△ABC的面积求出AB的长度，根据A点的坐标再求出B点的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PD⊥x轴交CB延长线于点E，交轴于点D，利用三角函数求出PN=√ 22PE，设出P点的坐标，得出E点的坐标，然后根据PE求出PN即可得出d和x的函数关系式；
(3)过点P作PH⊥FE于点H，过点C作CI⊥FE于点I，过点B作BJ⊥FE于点J，设FE交BC于点K，证△PEH∽△BJF，然后证四边形CPHI是矩形，进而得出K点的坐标，求出AF的解析式，再求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式求出P点的坐标即可．
本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识是解题的关键．
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