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    北京市西城区2023届高三数学上学期期末试题(Word版附解析)
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    北京市西城区2023届高三数学上学期期末试题(Word版附解析)

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    这是一份北京市西城区2023届高三数学上学期期末试题(Word版附解析),共24页。试卷主要包含了 已知全集,集合,则, 设,且,则, 在中,若,则的面积是, “空气质量指数, 设,均为锐角,则“”是“”的等内容,欢迎下载使用。

    北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷
    高三数学2023.1
    本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    第一部分(选择题 共40分)
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
    1. 已知全集,集合,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据集合A用列举法进行表示,从而可以确定.
    【详解】集合,


    故选:B.
    2. 设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据复数的乘法运算法则,将求出,即可得该复数在复平面内对应的点的坐标.
    【详解】解:由题知,
    ,
    在复平面内对应的点的坐标是.
    故选:A
    3. 已知函数,则( )
    A. 是奇函数,且在上是增函数 B. 是奇函数,且在上是减函数
    C. 是偶函数,且在上是增函数 D. 是偶函数,且在上是减函数
    【答案】C
    【解析】
    【分析】求出函数定义域,求出的表达式即可判断奇偶性. 当,,可知函数在上单调递增,即可得出答案.
    【详解】由已知可得,的定义域为,关于原点对称.
    又,所以为偶函数.
    当,,因为在上是增函数,所以在上是增函数.
    故选:C.
    4. 已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为( )
    A. B. C. 2 D. 3
    【答案】B
    【解析】
    【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.
    【详解】解:由题知双曲线,
    即,
    故焦点坐标为,
    渐近线方程为:,
    即,
    由双曲线的对称性,
    不妨取焦点到渐近线的距离,
    故焦点到其渐近线的距离为.
    故选:B
    5. 设,且,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】(1)利用幂函数单调性即可判断A,利用正切函数单调性即可判断B,
    举例,即可判断C,利用对勾函数和二次函数性质即可判断D.
    【详解】根据幂函数在上为单调增函数,
    故时,,故A错误,
    根据三角函数在上为单调增函数,
    故时,故,故B错误,
    ,即,,但与的大小关系不明,如,,
    显然此时,故C错误,
    根据对勾函数的图像与性质当时,
    可知,而,根据二次函数图像与性质可知其值域,
    当时,,当时,,
    故当时,则,故,故D正确.
    故选:D.
    6. 在中,若,则的面积是( )
    A. 1 B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用余弦定理得,联立解出值,求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.
    【详解】由余弦定理得,代入,得
    ,联立化简得,
    解得或(舍去),故,
    ,则,
    故.
    故选:D.
    7. “空气质量指数()”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为( )
    A. 5小时 B. 6小时 C. 7小时 D. 8小时
    【答案】C
    【解析】
    【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
    【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
    即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
    即,
    因为,
    所以当时,
    只需,
    解得:,
    当时,
    只需,
    解得:,
    综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
    共计7个小时
    故选:C
    8. 设,均为锐角,则“”是“”的( )
    A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由于,均为锐角,所以,.先讨论充分性,当时,,结合函数在上单调递增,即可判断;再讨论必要性,当时,由于,结合函数在上单调递增,即可得出,进而求解.
    【详解】因为,均为锐角,所以,.
    当时,,
    由函数在上单调递增,所以,
    故“”是“”的充分条件.
    当时,由,,则,所以,
    因为函数在上单调递增,所以,即,
    故“”是“”的必要条件.
    综上所述,“”是“”的充分必要条件.
    故选:C.
    9. 在中,.P为边上的动点,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系,求出直线所在直线方程为,设,得到,利用二次函数的性质即可求出其值域.
    【详解】以为坐标原点,,所在直线分别为轴,轴,建立直角坐标系,

    则,直线所在直线方程为,
    设,,则,,

    当时,,当时,,
    故其取值范围为,
    故选:B.
    10. 如图,正方形和正方形所在的平面互相垂直.是正方形及其内部的点构成的集合,是正方形及其内部的点构成的集合.设,给出下列三个结论:

    ①,使;
    ②,使;
    ③,使与所成角为.
    其中所有正确结论的个数是( )
    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,假设出的坐标;
    对于①,利用空间向量的模长公式与坐标的取值范围即可判断;
    对于②③,利用赋值法与空间向量的数量积运算即可判断.
    【详解】因为四边形是正方形,所以,
    又平面平面,平面平面,平面,
    所以平面,又平面,所以,
    因为四边形是正方形,所以,则两两垂直,
    所以以为原点,建立空间直角坐标系,如图,

    则,
    对于①,因为,所以不妨设,其中,
    则,故,
    因为,所以,则,
    所以,,,即,
    所以,故①错误;
    对于②,结合①中结论,,
    假设,则,即,即,
    显然令,可以成立,所以假设成立,故②正确;
    对于③,结合②中结论,假设与所成的角为,
    则,即,
    令,则,,,
    所以上述等式成立,故假设成立,故③正确;
    综上:②③正确,①错误,所以正确结论个数是.
    故选:C.
    【点睛】关键点睛:本题利用图形的规整性,选择以以为原点,建立合适的空间直角坐标系,设,写出相关向量,利用空间向量的模长公式来判断①,利用向量垂直,则其点乘为0,找到②正确的情况,利用空间向量来解决异面直线夹角问题,即找到③正确的情况.
    第二部分(非选择题 共110分)
    二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
    11. 的展开式中的常数项为________.(用数字作答)
    【答案】
    【解析】
    【分析】先写出展开式的通项,然后根据的指数部分为求解出的值,将的值代入展开式则常数项可求.
    【详解】展开式的通项为,
    令,,
    所以常数项为,
    故答案为:.
    12. 设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为__________.
    【答案】(x-1)2+y2=4.
    【解析】
    【分析】由抛物线方程可得焦点坐标,即圆心,焦点到准线距离即半径,进而求得结果.
    【详解】抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,
    焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,
    以F圆心,
    且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
    【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标,抛物线的准线方程,直线与圆相切的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
    13. 已知是等差数列,,且成等比数列,则______________;的前项和______________.
    【答案】 ①. -5 ②.
    【解析】
    【分析】(1)设出等差数列的公差,根据成等比数列,列出式子,将均用代替,解出,即可求的值;
    (2)由上一空求得的,根据等差数列前项和公式代入即可求出答案.
    【详解】解:由题知是等差数列,
    不妨记公差为,
    因为成等比数列,,
    所以,
    即,
    解得:,
    故;
    由于,,
    所以.
    故答案为:-5;
    14. 设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________.
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果;
    (2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围.
    【详解】解:由题知当时,
    ,
    故在上单调递减,
    在上单调递增,
    在上单调递减,
    故的单调递增区间是;
    由于在上的值域为,
    若的值域为,
    只需在上的值域包含即可,
    故需,即,
    此时在上的值域为,
    故需,即,
    综上: .
    故答案为:;
    15. 人口问题是关系民族发展的大事.历史上在研究受资源约束的人口增长问题中,有学者提出了“Logistic model”:,其中均为正常数,且,该模型描述了人口随时间t的变化规律.给出下列三个结论:
    ①;
    ②在上是增函数;
    ③.
    其中所有正确结论的序号是_______________.
    【答案】①②③
    【解析】
    【分析】①代入函数值即可求解;②求导后确定函数的单调性即可;③进行等价证明看是否复合条件即可.
    【详解】①当,
    所以;
    ②,
    因为均为正常数,且,
    所以,
    所以在上是增函数;
    ③,
    等价于,
    即等价于,
    即等价于,
    等价于,
    而恒成立,且,
    所以恒成立,
    即.
    故选项③正确.
    故答案为:①②③.
    三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
    16. 已知函数.
    (1)求的最小正周期;
    (2)若,且,求x的取值范围.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)利用降幂公式和辅助角公式即可化解得,则得到其最小正周期;
    (2)根据范围求出,则,则,解出即可.
    【小问1详解】




    所以的最小正周期为.
    【小问2详解】
    因为,所以.
    因为,所以.
    所以.解得,所以的取值范围是.
    17. 如图,四边形为梯形,,四边形为平行四边形.

    (1)求证:∥平面;
    (2)若平面,求:
    (ⅰ)直线与平面所成角的正弦值;
    (ⅱ)点D到平面的距离.
    【答案】(1)见解析;
    (2)(i);(ii).
    【解析】
    【分析】(1)在射线上取点,使,证明四边形为平行四边形,则,则根据线面平行的判定即可得到;
    (2)以为原点,建立合适的空间直角坐标系,写出相关向量,计算出平面的法向量为,则可计算出线面角的正弦值;
    (3)因为,根据(2)的结论则得到距离.
    【小问1详解】
    如图,在射线上取点,使,连接.

    由题设,得,所以四边形为平行四边形.
    所以且.
    又四边形为平行四边形,
    所以且.
    所以且..
    所以四边形为平行四边形,
    所以.
    因为平面平面
    所以平面.
    【小问2详解】
    (i)因为平面,平面,
    所以.又,
    所以,,两两相互垂直.
    如图建立空间直角坐标系,

    则.所以.
    设平面的法向量为,则

    令,则.于是.
    设直线与平面所成角为,则

    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    (ii)因为,
    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    所以点到平面的距离为
    18. 近年来,新能源汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计,2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下(单位:万辆):

    12月
    1月
    2月
    3月
    4月
    5月
    轿车
    28.4
    21.3
    15.4
    26.0
    16.7
    21.0
    MPV
    0.8
    0.2
    0.2
    0.3
    0.4
    0.4
    SUV
    18.1
    13.7
    11.7
    18.1
    11.3
    14.5

    (1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份,求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率;
    (2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份,将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X,求X的分布列和数学期望;
    (3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为,同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为,写出与的大小关系.(结论不要求证明)
    【答案】(1)
    (2)分布列见解析,
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)先求出这6个月月度零售销量平均值,再利用古典概型的概率公式求解即可;
    (2)根据题意求得的所有可能取值,利用古典概型的概率公式求得各取值的概率,从而得到的分布列,进而可得的数学期望;
    (3)利用方差的求法,结合题意所给数据求解即可.
    【小问1详解】
    这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
    故MPV月度零售销量超过的月份为12月,4月,5月,
    所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份,
    该月MPV零售销量超过的概率为.
    【小问2详解】
    从2022年1月至2022年5月,SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个:3月和5月,
    所以的所有可能取值为,
    则,
    所以的分布列为

    0
    1
    2




    故的数学期望.
    【小问3详解】
    依题意,2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为,
    其平均值为,
    所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为,
    所以,
    同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为,
    其平均值为,
    所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为,
    所以,
    故.
    19. 如图,已知椭圆的一个焦点为,离心率为.

    (1)求椭圆E的方程;
    (2)过点作斜率为k的直线交椭圆E于两点A,B,的中点为M.设O为原点,射线交椭圆E于点C.当与的面积相等时,求k的值.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)由题意得到,解出即可.
    (2)的方程为,联立椭圆方程得,设,得到两根之和式,设,根据,从而,结合其在椭圆上得到,解出即可.
    【小问1详解】
    由题设,,
    解得.
    所以椭圆的方程为.
    【小问2详解】
    直线的方程为.
    由得.
    设,
    则.
    因为与的面积相等,所以点和点到直线的距离相等.
    所以为线段的中点,即四边形为平行四边形.设,
    则.
    所以.
    将上述两式代入,
    得.
    解得.
    【点睛】关键点睛:本题第二问得到两根之和式,通过面积相等则得到为线段的中点,则为线段的中点,利用向量加法得到,从而用表示出点坐标,最后结合其在椭圆上,代入椭圆方程即可.
    20. 已知函数,其中.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)当时,判断的零点个数,并加以证明;
    (3)当时,证明:存在实数m,使恒成立.
    【答案】(1)
    (2)1个 (3)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;
    (2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;
    (3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.
    【小问1详解】
    解:由题知,
    ,
    ,
    ,
    故在点处的切线方程为,
    即;
    【小问2详解】
    由题,,
    ,
    ,
    ,
    故在上单调递增,
    ,
    故有1个零点;
    【小问3详解】
    由题,,
    ,


    ,
    ,
    即在上单调递增,
    ,


    ,
    故,使得,

    在上单调递增,

    即,单调递减,

    即,单调递增,
    故,
    若恒成立,
    只需,
    即即可,
    故存在实数m,使恒成立.
    【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:
    (1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;
    (2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;
    (3)对新的函数进行求导求单调性;
    (4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;
    (5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.
    21. 已知为有穷数列.若对任意,都有(规定),则称具有性质.设.
    (1)判断数列是否具有性质?若具有性质,写出对应的集合;
    (2)若具有性质,证明:;
    (3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值.
    【答案】(1)不具有性质,具有性质,
    (2)证明见解析 (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;
    (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.
    (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可.
    【小问1详解】
    解:由题知,

    因为,
    所以不具有性质,
    由于,

    因为

    故具有性质,
    因为

    故;
    【小问2详解】
    “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,
    假设两个元素均不在中,
    则有
    不妨设,
    若,
    则由,
    可得,
    与矛盾,
    故,
    同理,
    从而,
    所以,
    与具有性质矛盾,
    所以假设不成立,即;
    【小问3详解】

    规定时,,
    时,,
    则,
    所以,
    考虑数列,
    ,
    由题设可知,他们均具有性质,
    设中元素个数最小值为,
    所以,
    所以,
    由(2)知,从而,
    当时,令,
    当时,令,
    此时均有,
    所以中元素个数的最小值为.
    【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:
    (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;
    (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;
    (3)将已知条件代入新定义的要素中;
    (4)结合数学知识进行解答.



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