(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义1.2.1 一元二次方程（2份打包，学生版+教师版）

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第1.2章 方程与函数
1.2.1 一元二次方程

初中要求
1 掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组;
2理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程;
3了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。
高中要求
1 会用韦达定理求解简单的方程根的变式；
2 会构造一元二次方程解决一些实际问题；
3 掌握求解二次方程组的方法.


1.一元二次方程的判别式
一元二次方程可用配方法变形成，该方程根的情况由判别式来判定.
(1)方程有两个不相等的实数根: ；
(2)方程有两个相等的实数根: ；
(3)方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个根为，那么；
.
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：
如果一元二次方程 的两个根是，那么，.
这个结论称为韦达定理.
【题型1】 韦达定理的应用
【典题1】 若是方程的两根，不解方程，求下列各式的值.
(1) ； (2) ；
(3) ()； (4) ().
解析 由韦达定理可得，，
(1)；
(2)；
(3)设，则，代入，，得，
，解得；
(4)，，
，，
.


变式练习
1.若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为　 　．
答案 .
2.已知关于的方程的一个根为，则另一个根等于 .
答案
解析 设另一根为，则相加，得.
3.已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为 　 ．
答案
解析 是关于x的方程的两个不相等实数根，
．
，即，
，整理，得，
解得．
关于的方程的两个不相等实数根，
，
解得，
．
4.已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，且，求的值．
答案 (1) 略 (2)
解析 (1)
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)由根与系数的关系得出，
由得，
解得．

5.已知是一元二次方程的两个实数根，
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
答案 (1) 不存在 (2).
解析 (1) 假设存在实数，使得成立，
一元二次方程的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)
由韦达定理得，

，
但， 不存在实数，使得成立.
(2) ，
要使其值是整数，只需要能被整除，
故，即，
，.


【题型2】 构造一元二次方程
【典题1】解方程组.
解析 是方程的两个实数根，
解方程得或，故方程组的解是或.

【典题2】若为实数，且， ，求的值.
解析 (1)当时，；
(2)当时，由已知及根的定义可知，分别是方程的两根，
由韦达定理得，，
.

变式练习
1.若且，则的值是 .
答案
解析 因为，由根的定义知为方程的二不等实根，
再由韦达定理，得，
.
2.解方程组.
答案 或.
解析 是方程的两个实数根，
解方程得或，故方程组的解是或.
3.已知为实数，且满足条件：，求证.
证明 由已知得.
　　根据韦达定理的逆定理知，以为根的关于的实系数一元二次方程为
　　①
　　由为实数知此方程有实根.
　.
，从而.这表明①有两个相等实根，即有.
4.已知都是实数，且，求证中必有一个大于
证明 ，可知中一个正数，两个负数，不妨设，
由题意得，
于是是关于的方程的两个根，
该方程有实数，
，
中必有一个大于


1. 如果，且，那么等于( )
A. B. C. D.
答案
解析 是方程的两个不相等实数根，则，选.
2.已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是 ( )
A. 等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不确定
答案
解析 方程有两个实数根，则，
又有，
，又，故是等腰三角形，故选.
3.关于的二元二次方程组共有( )解
A. B. C. D.与有关
答案
解析 把代入消去，
得，
其判别式，
则方程有两个不相等的实数根，则原方程组有两个不相等的实数根，
故选.
4.若是正整数，并且，则 ..
答案
解析 ，
是方程的两个根，
该方程的根为，， 或，
又是正整数，，
.
5.已知是方程的二实根，则_____________.
答案
解析 由，


.

6. 解方程组.
答案 或.
解析 是方程的两个实数根，
解方程得或，故方程组的解是或..
7.已知是一元二次方程的两个实数根，
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
答案 (1) 不存在 (2)
解析 (1) 假设存在实数，使得成立，
一元二次方程的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)
由韦达定理得，

，
但， 不存在实数，使得成立.
(2) ，
要使其值是整数，只需要能被整除，
故，即，
，.
8.若且，试求代数式的值.
答案
解析 因为，由根的定义知为方程的二不等实根，
再由韦达定理，得，
.