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四川省泸县第四中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
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这是一份四川省泸县第四中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
四川省泸县第四中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1、( )
A. B. C. D.
2、若复数z满足,则( )
A.1 B.5 C.7 D.25
3、已知,是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的一组是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
4、函数,的图象与直线的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5、“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位临湘市居民,他们的幸福感指数为7,3,5,6,7,4,8,9,5,10.则这组数据的80%分位数是( )
A.8.5 B. 8 C. 9 D. 7.5
6、非零向量,满足,则与的夹角是( )
A. B. C. D.
7、将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
8、在空间四边形ABCD中,,,E,F分别是AB,CD的中点 ,,则异面直线AD与BC所成角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值,得到样本数据的频率分布直方图(如图所示),则下列结论正确的是( )
A.甲组数据中位数大于乙组数据中位数
B.甲组数据平均数小于乙组数据平均数
C.甲组数据平均数大于甲组数据中位数
D.乙组数据平均数小于乙组数据中位数
10、盒子里有形状大小都相同的4个球,其中2个红球、2个白球,从中先后不放回地任取2个球,每次取1个.设“两个球颜色相同”为事件A,“两个球颜色不同”为事件B,“第1次取出的是红球”为事件C,“第2次取出的是红球”为事件D.则( )
A.A与B互为对立事件 B.A与C相互独立
C.C与D互斥 D.B与C相互独立
11、在锐角三角形ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c分别为A,B,C所对的三边,则下列结论成立的是( )
A.若,则 B.若,则B的取值范围是
C. D.
12、如图所示是正方体的平面展开图,那么在正方体中( )
A.
B.EF和BC所成的角是60°
C.直线AC和平面ABE所成的角是30°
D.如果平面平面,那么直线直线l.
三、填空题
13、已知向量,,且在上的投影数量等于-1,则___________.
14、设D为所在平面内的一点,若,,则________.
15、锐角内切圆的圆心为O,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,且的外接圆半径为1,则周长的取值范围为___________.
16、如图,二面角等于,A、是棱l上两点,BD、AC分别在半平面、内,,,且,则CD的长等于________.
四、解答题
17、已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若,,求的值.
18、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为,,……,,.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数(保留一位小数);
(3)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在的概率.
19、如图1,在直角梯形ABCD中,,,且,现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使,M为ED的中点,如图2.
(1)求证:平面BEC;
(2)求证:平面平面BDE;
20、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,点D在边AB上,且
(1)证明:;
(2)若,求.
21、如图,在长方体中,,P为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
22、已知函数,.
(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性,若有,请加以证明;
(2)若函数在上只有一个零点,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案:C
解析:
.
故选:C.
2、答案:B
解析:由题意有,故.
故选:B.
3、答案:A
解析:对于A选项,因为,则和共线,A选项不满足条件;
对于B选项,设,则,无解,故和不共线,B选项能作为基底;
同理可知和不共线,和也不共线,CD选项均能作为基底.
故选:A.
4、答案:C
解析:由得,当时,或,
即方程有2个解,即两条曲线的图象的交点个数为2个,故选C.
5、答案:A
解析:幸福感指数的数据从小到大排列成:3,4,5,5,6,7,7,8,9,10,
由,8是整数,根据百分位数的定义,
分位数是排列好的数字的第8和第9位的平均数,即.
故选:A
6、答案:B
解析:因为,
所以,则,
又,
,
所以,
因为,
所以,
故选:B
7、答案:C
解析:由题意知:曲线C为,
又C关于y轴对称,则,
解得,又,故当时,的最小值为.
故选:C.
8、答案:D
解析:如图所示:
设BD的中点为O,连接EO,FO,
所以,
则是AD,BC所成的角或其补角,
又,
根据余弦定理得:,
所以,
异面直线AD与BC所成角的为,
故选D.
9、答案:BCD
解析:根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的,直方图在右边“拖尾”,所以甲组的平均数大于中位数,且都小于7,
同理可得乙组的平均数小于中位数,且都大于7,
故甲组数据中位数小于乙组数据中位数,故A错误;
甲组数据平均数小于乙组数据平均数,故B正确;
甲组数据平均数大于甲组数据中位数,故C正确;
乙组数据平均数小于乙组数据中位数,故D正确.
故选:BCD.
10、答案:ABD
解析:对于A,由题意知,取出两个球要么颜色相同,要么颜色不同,即A与B互为对立事件,故A正确;
对于C,“第1次取出的是红球”,“第2次取出的是红球”,C与D可能同时发生,故C错误;
对于BD,,,,,
所以,
所以A与C相互独立,B与C相互独立,故BD正确;
故选:ABD
11、答案:ACD
解析:对于选项A,因为,所以有,所以,故正确;
对于选项B,因为,则,所以,
由可得B
的取值范围是,故错误;
对于选项C,锐角三角形ABC中,,,,
同理,,所以故正确;
对于选项D,锐角三角形ABC中,因为,即,,
又,,故正确.
故选:ACD.
12、答案:BCD
解析:如图,把正方体的平面展开图还原成正方体.
在正方体中,可知,
故异面直线AC与EF所成的角即为EG与EF所成的角为,故A项错误;
同理,EF与BC所成的角即为FG与EF所成的角为,故B项正确;
在正方体中,,,,,故平面,则点C到平面ABE的距离为,
设直线AC与平面ABE所成的角为,则,故,故C项正确;
在正方体中,,,,,
则平面平面EFG,平面平面CEF于直线EF,平面平面,故直线直线l,故D项正确.
故选:BCD.
13、答案:
解析:在上的投影数量为,解得(舍)或.
故答案为:.
14、答案:-2
解析:如图:
由图可知,
即有,所以,,所以,
故答案为:-2.
15、答案:
解析:因为由余弦定理,得,即,
因为,所以.
由正弦定理,得.
因为,由内切圆的性质可得,所以,
设,则,又因为三角形为锐角三角形,
所以,所以.
在中,由正弦定理,,
所以,
所以的周长为,
因为,所以,所以,
所以周长的取值范围
故答案为:.
16、答案:4
解析:由二面角的平面角的定义知,
,
由,,得,,又,
,
所以,即.
故答案为:4.
17、答案:(1)-1
(2)
解析:(1)由得,因为,则,故当时,取最大值2;当时,取最小值-1;
所以函数在区间上的最大值为2,最小值为-1.
(2)由(1)可知,
又因为,所以,
由,得,
从而,
所以
.
18、答案:(1)0.006
(2)76.4
(3)
解析:(1)由频率分布直方图得:
,解得.
(2)评分在的概率为0.32,评分在的概率为0.6,该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于,所以50%分位数为;
(3)受访职工中评分在的有:人,记为a,b,c,
受访职工中评分在的有:人,记为A,B,
从这5名受访职工中随机抽取2人,所有的可能结果有10种,分别为:
,,,,,,,,,,
此2人评分都在包含的基本事件有,,,共3个,
从评分在的受访职工中,随机抽取2人,此2人评分都在的概率.
19、答案:(1)见解析
(2)见解析
解析:(1)取EC中点N,连接MN,BN.
在中,M,N分别为EC,ED的中点,所以,且.
由已知,,所以,且.
所以四边形ABNM为平行四边形.所以.
又因为平面BEC,且平面BEC,
所以平面BEC.
(2)在正方形ADEF中,,又,,
AD,平面BCD,平面BCD,
平面BCD,,
在中,,所以,,
在中,,
,,所以,所以,
又因为,BD,平面BDE,
所以平面BDE,又因为平面BEC,
所以平面平面BEC.
20、答案:(1)
(2)
解析:(1)在中,因为,所以,
又因为,所以,即
在中,根据正弦定理,得,故.
(2)在中,,
又由(1)知,,所以,
在中,根据余弦定理,得,
又由已知,,得,
所以,则,即,
因为,则,所以或,
所以或,
又点D在边AB上,且,,
所以,必有一个大于等于,所以
21、答案:(1)见解析
(2)
解析:(1)以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如下图所示
设,则,,,
,,,,
,,
,
,
又,平面
(2)由(1)可知,平面的法向量为
设平面的法向量为,
,令,可得
故二面角的正弦值为
22、答案:(1)见解析
(2)见解析
解析:(1)偶函数,证明如下:
证明:函数,定义域为R,关于原点对称,
所以函数为R上的偶函数.
(2)因为函数在R上只有一个零点,
所以关于x的方程有唯一的实数解,
即方程有唯一的实数解,
即有唯一的实数解,
化简得,
令,
下面研究关于t的方程何时仅有一个正根.
①当时,,符合题意;
②当时,则,
当时,,当时,(舍)
当,即时,,方程有异号的两个实根,符合题意;
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