2023年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的相反数是(    )
A. −3 B. −13 C. 3 D. 13
2. 下列计算正确的是(    )
A. a4+a2=a6 B. 2a⋅4a=8a C. a5÷a2=a3 D. (a2)3=a5
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
4. 如图，下列由多个同样的小正方体组合而成的几何体中，主视图如右图的是(    )


A. B.
C. D.
5. 抛物线y=−3(x−4)2−5的最大值为(    )
A. 4 B. −4 C. 5 D. −5
6. 方程2x−1=3x+1的解为(    )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B是切点，AC交⊙O于点D，∠C=50°，则∠DOB的度数为(    )
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
8. 某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x，可列方程(    )
A. 100(1−x)2=81 B. 81(1+x)2=100
C. 100(1+x)=81×2 D. 2×100(1−x)=81
9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上运动(不与B、C重合)，AF交DE于点G，则下列等式错误的是(    )
A. BC=2DE
B. BF=2DG
C. AF=2AG
D. EG=2DG
10. 甲、乙两人沿同一路线去10km外的某地学习，他们所走的路程S(km)与时间t(分)之间的函数图象如图所示，则以下说法中不正确的是(    )

A. 甲比乙晚到12分钟 B. 乙的速度是甲的速度的4倍
C. 乙出发时，甲已经走了4km D. 乙出发6分钟后追上甲
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 哈尔滨冰雪大世界接待游客约210000人，将210000用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=1x−1中，自变量x的取值范围是______．
13. 计算4 12− 18= ______ ．
14. 把多项式ax2−4ax+4a因式分解的结果是______ ．
15. 不等式组1−x<02x−1≥2的解集为______ ．
16. 若点A(−2,4)在反比例函数y=1−kx的图象上，则k的值为______ ．
17. 一个布袋里面装有3个球，其中2个红球，1个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出两个球，都是红球的概率是______ ．
18. 一个扇形的面积是3π cm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是______ cm．
19. 在△ABC中，CD是AB上的高，AB=AC，∠ACD=40°，则∠ABC的度数是______ 度.
20. 如图，在▱ABCD中，CE⊥AB垂足为E，CD=9，AD=6，∠ACD=2∠BCE，则▱ABCD的面积为______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式(x+2x2−2x−x−2x2−4x+4)÷1x的值，其x=4sin60°+2tan45°．
22. (本小题7.0分)
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画△ABE，点E在小正方形的顶点上，使得△ABE是一个轴对称图形，且面积为3；
(2)在方格纸中画四边形CDFG，点F、G均在小正方形的顶点上，连接EF，使得四边形CDFG是中心对称图形，且EF⊥AE，并直接写出线段EF的长．

23. (本小题8.0分)
某校从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行每周上网时间调查，将上网时间(1)分成以下四组：A.t≤1小时；B.1小时7小时，并将统计结果制成了如下两幅统计图，请根据图中信息解答下列问题

(1)求参加调查的学生的人数；
(2)请将条形统计图补全；
(3)请估计全校上网不超过7小时的学生人数．
24. (本小题8.0分)
在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点B作BO⊥AE，垂足为点O，交AD边于点F，连接EF．
(1)如图1，求证：四边形ABEF是菱形；
(2)如图2，若∠ABC=90°，AB= 2FD，连接OC、OD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形(不包括以BE或AB为一边的三角形)．


25. (本小题10.0分)
某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元；
(1)求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
(2)该商店准备用不超过1615元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？
26. (本小题10.0分)
如图，已知：四边形ABCD内接于⊙O，弦DE⊥AB垂足为F，∠ADC=90°
(1)如图1，求证：DE/​/BC；
(2)如图2，连接FC，点G在FC上，连接AG并延长交⊙O于点H，连接CH，若AG=GH，∠HGC=∠HCB，求证：GC=2GF；
(3)在(2)的条件下，连接GO并延长交DE于点N，AH与BC交于点K，若GK=GN，CK=5时，如图3，求线段DC的长．


27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，A(−1,0)，B(5,0)．

(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)点P在第二象限的抛物线上，连接PB、PC、BC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为s，如图2，求s与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，点Q在第一象限的抛物线上，连接PQ交y轴于点D，过点Q作QP的垂线，交x轴于点E，连接QC，射线QC沿直线QP翻折所得射线与x轴交于点F，过点Q作QH⊥x轴垂足为H，当HE=CD，QE=QD，2HF=3CD时，如图3，求s值．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C．
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求解即可．
本题考查了相反数的定义，属于基础题．

2.【答案】C 
【解析】解：A、a4+a2，无法计算，故此选项错误；
B、2a⋅4a=8a2，
C、a5÷a2=a3，正确；
D、(a2)3=a6，故此选项错误；
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则求出即可．
此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A、此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此图既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A、主视图为：，不符合题意；
B、主视图为：，不符合题意；
C、主视图为：，不符合题意；
D、主视图为：，符合题意．
故选：D．
根据从正面看得到的图形是主视图可得答案．
本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．

5.【答案】D 
【解析】解：∵抛物线y=a(x+h)2+k的最大值是k，
∴抛物线y=−3(x−4)2−5的最大值为−5．
故选：D．
所给抛物线是顶点式，可直接得出抛物线的对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解：去分母得：2(x+1)=3(x−1)，
解得：x=5，
检验：把x=5代入得：(x+1)(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=5．
故选：A．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

7.【答案】C 
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠B=90°，
∵∠C=50°，
∴∠A=90°−50°=40°，
∴∠DOB=2∠A=80°，
故选：C．
根据切线的性质和圆周角定理余角三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
100×(1−x)2=81
故选：A．
此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的(1−x)，那么第二次降价后的单价是原来的(1−x)2，根据题意列方程解答即可．
本题考查的是平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)时间=增长后的量．

9.【答案】D 
【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC，故A正确；
∴DG/​/BF，
∴AG=FG，
∴DG是△ABF的中位线，AF=2AG，故C正确；
∴BF=2DG，故B正确；
不能判定EG=2DG，
故选：D．
根据三角形的中位线定理和平行线等分线段定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，平行线等分线段定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：根据图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示路程，
由图象可知甲从出发到第40分钟到达终点，乙是从甲出发18分钟后开始出发，到第28分钟到达终点，所以甲比乙晚到40−28=12分钟，故A正确；
根据图象甲走完全程用时间是40分钟，行程10千米，所以甲的速度等于10÷40=0.25千米/分钟，乙走完全程用时间为28−18=10分钟，全程10千米，所以乙的速度为10÷10=1千米/分钟，∵1=0.25×4，所以乙的速度是甲的速度的4倍，故B正确；
根据图象知：乙是在甲出发18分钟之后才开始出发，因为加的速度为0.25千米/分钟，此时家走的路程为18×0.25=4.5千米，故C错误；
设乙出发x分钟后与甲相遇，根据题意得1×x=0.25(x+18)，解得：x=6，故D正确．
故答案选：C．
观察函数图象可知函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义进行解答．
本题考察了从函数的图象获取信息，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通过图象得到函数是随自变量的变化，知道函数值是增大还是减小．

11.【答案】2.1×105 
【解析】解：210000=2.1×105．
故答案为：2.1×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12.【答案】x≠1 
【解析】解：由题意得，x−1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13.【答案】− 2 
【解析】解：原式=4× 22−3 2
=2 2−3 2
=− 2．
故答案为：− 2．
直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

14.【答案】a(x−2)2 
【解析】解：ax2−4ax+4a
=a(x2−4x+4)
=a(x−2)2．
故答案为：a(x−2)2．
直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

15.【答案】x≥32 
【解析】解：由1−x<0得：x>1，
由2x−1≥2得：x≥32，
则不等式组的解集为x≥32，
故答案为：x≥32．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16.【答案】9 
【解析】解：∵点A(−2,4)在反比例函数y=1−kx的图象上，
∴4=1−k−2，
解得k=9．
故答案为：9．
直接把点A(−2,4)代入反比例函数y=1−kx，求出k的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

17.【答案】13 
【解析】解：列表如下：

红
红
白
红

(红，红)
(白，红)
红
(红，红)

(白，红)
白
(红，白)
(红，白)

由表知，共有6种等可能结果，其中摸出的都是红球的有2种结果，
所以都是红球的概率为26=13，
故答案为：13．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

18.【答案】3 
【解析】解：设此扇形的半径为r cm，
根据题意得120×π×r2360=3π，
解得r=3．
即此扇形的半径为3cm．
故答案为3．
设此扇形的半径为rcm，利用扇形的面积公式得到120×π×r2360=3π，然后解关于r的方程即可．
本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长)．

19.【答案】65或25 
【解析】解：如图①，当D在线段AB上时，

∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
又∵∠ACD=40°，
∴∠A=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴2∠B=180°−∠A=180°−50°=130°，
∴∠B=65°；
如图②，当D在线段BA的延长线上时，

∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
又∵∠ACD=40°，
∴∠DAC=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，
∴2∠B=50°，
∴∠B=25°，
综上所述，∠B的度数为65°或25°．
故答案为：65或25．
分两种情况：当D在线段AB上和D在线段AB延长线上，先由直角三角形两锐角互余求出∠BAC或∠CAD，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出结果．
本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．

20.【答案】36 2 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=9，BC=AD=6，
在线段AB上取点F，使CF=CA，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=∠FCE，BE=EF，
∴∠BCF=2∠BCE，
∵∠ACD=2∠BCE，
∴∠BCF=∠ACD，
∵∠CBF=∠ACC，
∴△BCF∽△BAC，
∴BCAB=BFBC，
∴69=BF6，
∴BF=4，
∴BE=2，
在Rt△BCE中，CE= BC2−BE2= 62−22=4 2，
∴▱ABCD的面积=AB⋅CE=9×4 2=36 2．
故答案为：36 2．
根据平行四边形的性质得到AB=CD=9，BC=AD=6，在线段AB上取点F，使CF=CA，根据等腰三角形的性质得到∠BCE=∠FCE，BE=EF，根据相似三角形的性质求得BE=2，根据勾股定理得到CE= BC2−BE2= 62−22=4 2，根据平行四边形的面积公式得到▱ABCD的面积=AB⋅CE=9×4 2=36 2．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

21.【答案】解：(x+2x2−2x−x−2x2−4x+4)÷1x
=[x+2x(x−2)−x−2(x−2)2]⋅x
=[x+2x(x−2)−1x−2]⋅x
=x+2−xx(x−2)⋅x
=2x(x−2)⋅x
=2x−2，
当x=4sin60°+2tan45°=4× 32+2×1=2 3+2时，
原式=22 3+2−2
=22 3
= 33． 
【解析】分解因式后约分，再根据分式的减法法则进行计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x的值，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

22.【答案】解：(1)如图所示，△ABE即为所求；

(2)如图所示，四边形CDFG即为所求；
EF= 12+32= 10． 
【解析】(1)根据点E在小正方形的顶点上，△ABE是一个轴对称图形，且面积为3，画一个以AB为腰的等腰三角形；
(2)根据点F、G均在小正方形的顶点上，四边形CDFG是中心对称图形，且EF⊥AE，画平行四边形CDFG即可．
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形以及等腰三角形的性质．

23.【答案】解：(1)由题意得：20÷36360=200(名)，
答：本次活动一共抽取了200名学生．
(2)由题意得，C组的人数为：200−20−40−80=60(名)，
补全条形统计图如图所示：

(3)1200×20+80+60200=960(名)，
答：全校上网不超过7h的学生大约是960人． 
【解析】(1)用A的人数除以所占的百分比求出总人数；
(2)用总人数减去A、B、D的人数，可得C组人数，再画出即可；
(3)用总人数乘以全校上网不超过7小时的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAF=∠EAB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=∠FBE，∠AFB=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AF=BE，∵AF/​/BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．

(2)图2中的等腰三角形有△AOF，△EOF，△AEF，△OFD，△OEC，△ODC． 
【解析】(1)先证明△ABE是等腰三角形，再证明△ABF是等腰三角形，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、菱形的性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】解：(1)设A种进价为x元，B种进价为y元．由题意，得
5x+4y=3006x+8y=440，
解得：x=40y=25，
答：A种进价为40元，B种进价为25元．
(2)设购进A种商品a件，
根据题意，得40a+25(50−a)≤1615，
解得a≤2413，
答：购进A种商品最多24件． 
【解析】(1)设A种进价为x元，B种进价为y元．由购进A种商品5件和B种商品4件需300元和购进A种商品6件和B种商品8件需440元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；
(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(50−a)件．根据总金额不超过1615元建立不等式求出其解．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．

26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠B=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B，
∴DE/​/BC；
(2)如图2，取GC的中点T，连接HT，

∵∠B=∠AHC，
∴∠AHC=90°，
∴GC=2GT，HT=GT，
∴∠TGH=∠THG，
∵∠BCH=∠BAH，∠HGC=∠HCB，
∴∠FAG=∠CGH，
∵∠CGH=∠AGF，
∴∠FAG=∠AGF，
∴AF=FG，
∴∠FAG=∠GHT，
∵AG=GH，
∴△AFG≌△HTG(ASA)，
∴FG=GT，
∴GC=2GF；
(3)如图3，过点G作GM⊥DE于M，延长MG交BC于W，

∵AG=GH，
∴GN⊥AH，
∴∠MGN+∠WGK=90°
∵GM⊥DE，BD//DE，
∴GW⊥BC，
∴∠WKG+∠WGK=90°，
∴∠WKG=∠MGN，
又∵∠NMG=∠GWK=90°，GK=GN，
∴△NGM≌△GKW(AAS)，
∴GM=WK，
∵DE/​/BC，
∴MGGW=GFGC=12，
∴MGGW=12，
∴tan∠WGK=12，
∵∠WGK=∠CGK=∠HCB，
∴tan∠CGK=tan∠HCB=12，
∴KHHC=HCGH=12，
∵KC=5，
∴KH= 5，HC=2 5，GH=4 5，GC=10，
∴FG=AF=5，GK=GH−KH=3 5，WK=3，GW=6，
∵GW//FB，
∴CGCF=WCBW，
∴105=8BW，
解得BW=4，BC=12，
过点C作CS⊥FD于S，
∴四边形BFSC是矩形，
∴FS=BC=12，
∵∠ADF+∠SDC=90°，∠SDC+∠SCD=90°，
∴∠ADF=∠SCD，
∴tan∠ADF=tan∠SCD，
设SD=a，
∴AFFD=SDSC，
∴512+a=aSC，
在Rt△BFC中，由勾股定理得BF= FC2−BC2=9，
∴CS=FB=9，
∴512+a=a9，
解得a1=3，a2=−15(舍)，
在Rt△SCD中，CD= CS2+SD2= 92+32=3 10． 
【解析】(1)根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数，结合DE⊥AB得到同位角相等，即可证明结论；
(2)取GC的中点T，连接HT，根据已知条件以及圆周角定理推出判定△AFG≌△HTG的条件，判定全等后得到FG=GT即可得证；
(3)过点G作GM⊥DE于M，延长MG交BC于W，判定△NGM≌△GKW，推出GW=WK，根据平行线分线段成比例定理和解直角三角形推出BW和BC的长，过点C作CS⊥FD于S，判定四边形BFSC是矩形，根据解直角三角形求出SC、SD的长，最后用勾股定理即可求出线段DC的长．
本题是圆的综合题，主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．

27.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A、B，A(−1,0)，B(5,0)．
∴a−b+4=025a+5b+4=0，
解得a=−45b=165
∴抛物线的解析式为y=−45x2+165x+4；
(2)连接PO，
∵点P在第二象限的抛物线上，
设P(t,−45t2−165t+4)，
∴S=S△OPC+S△OBC−S△POB
=12×4(−t)+12×4×5−12×5(−45t2−165t+4)=2t2−10t，
∵点P在第二象限的抛物线上，A(−1,0)，
∴−1 ∴S=2t2−10t(−1 (3)∵∠DQE+∠DOE=180°，

∴∠QDO+∠QEO=180°，
∵∠CDQ+∠QDO=180°，
∴∠CDQ=∠QEO，
∵CD=HE，QD=QE，
∴△QCD≌△QHE(SAS)，
∴QC=QH，∠CQD=∠EQH，∠QCD=∠QHE=90°，
可证四边形QCOH是正方形且边长为4，
∴Q(4,4)，
∵∠CQD=∠FQD，
∴∠CQF=2∠HQE，
∵QC/​/OB，
∴∠CQF=∠QFB，
∴∠QFB=2∠HQE，
设∠HQE=α，
∴∠QFB=2α，∠FOH=90°−2a
∴∠FQH=90°−2α+α=90°−a，
在Rt△QHE中，∠QHE=90°−a
∴∠FQE=∠QHE，
∴FQ=EF，
设CD=2m，
∴2HF=3CD，HF=3m，HB=CD=2m，
∴EF=5m=FQ，
在Rt△FQH中，勾股得(5m)2−(3m)2=42，
解得m=1(负值舍)，
∴CD=2m=2，
在Rt△CQD中，tan∠CQD=CDCQ=12，
过点P作PK⊥QH于K，可证PK//CQ，
∴∠QPK=∠CQD，
∴tan∠QPK=QKPK=12，
∴PK=2CQ，
即4−t=2[4−(−45t2−165t+4)]
解得：t=−85
当t=−58时，S=2×(−58)2−10×(−58)=22532． 
【解析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A、B，A(−1,0)，B(5,0)，把A、B代入得到方程组a−b+4=025a+5b+4=0，求得a、b的值，再代入函数解析式中即可求得抛物线的解析式；
(2)连接PO，设P(t,−45t2−165t+4)，则S=S△OPC+S△OBC−S△POB即可求解；
(3)先证△QCD≌△QHE(SAS)，可得QC=QH，进而得到四边形QCOH是正方形且边长为4，即Q(4,4)，再说明∠QFB=2∠HQE；设∠HQE=α，可得∠FQH=90°−2α+α=90°−a，在Rt△QHE中，∠QHE=90°−a，即∠FQE=∠QHE，则FQ=EF；设CD=2m，结合2HF=3CD，HF=3m，HB=CD=2m可得EF=5m=FQ；在Rt△FQH中运用勾股定理得(5m)2−(3m)2=42，解得m=1(负值舍)，即CD=2m=2，过点P作PK⊥QH于K，可证PK//CQ，由正切函数可得PK=2CQ，即4−t=2[4−(−45t2−165t+4)]，解得t=−85，最后代入(2)所对的解析式即可解答．
本题主要考查了求二次函数解析式、列函数关系式、正方形的判定与性质、勾股定理、正切函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．