江苏省扬州市宝应县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份江苏省扬州市宝应县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省扬州市宝应县八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列剪纸图形中，是中心对称图形的有(    )


A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
2. 观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为(    )


A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是(    )
A. 2+xx-y B. 2xx-y C. x-y D. y2x-y
4. 下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是(    )
A. 18 B. 13 C. 24 D. 0.3
5. 一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是(    )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
6. 下列各式计算正确的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 4 3-3 3=1 C. 2× 3= 6 D. 12÷2= 6
7. 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，且x1<0 A. y1+y2<0 B. y1+y2>0 C. y1y2
8. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若菱形ABCD的面积为32 3，则OH的长为(    )

A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是          (填“全面调查”或“抽样调查”)．
10. 使分式2x+1有意义的x的取值范围是______ ．
11. ▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠A=______．
12. 若无理数x与 8的积是一个正整数，则x的最小值是______ ．
13. 若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值是______．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为          ．





15. 已知反比例函数的图象经过点(2,3)，则该函数表达式为          ．
16. 若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1，x2，则x1+x2-x1⋅x2的值是______ ．
17. 设函数y=x-4与y=3x的图象的交点坐标为(m,n)，则1m-1n的值为______．
18. 如图，点A在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，以OA为一边作等腰Rt△OAB，其中∠OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是______ ．


三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
化简或计算：
(1) 54-|5- 6|+13( 2)2；
(2) ab3⋅(-32 a3b)÷ ba．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x2-1x÷(x+2x+1x2)，其中x= 2-1．
21. (本小题8.0分)
为落实国家“双减”政策，某学校在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生共有______ 人；
(2)条形统计图中m的值为______ ，扇形统计图中α的度数为______ °；
(3)根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的约有多少人？
22. (本小题8.0分)
观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)．
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
23. (本小题10.0分)
第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．





24. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
(1)求证：DF=CF；
(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．

25. (本小题10.0分)
小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1200米、300米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
26. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象交于点A(2,n)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(-4,0)．
(1)求k与m的值；
(2)P(a,0)为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值．





27. (本小题12.0分)
如图，正方形ABPD的边长为1，△DPC是一个直角边长为1的等腰直角三角形，把正方形ABPD和△DPC拼成一个如图所示的直角梯形，E、F分别为线段DP、CP上两个动点(不与D、P、C重合)，且DE=CF，BE的延长线分别交DF、DC于H、G．
(1)求证：
①△BPE≌△DPF；
②BG⊥DF．
(2)设DE=x，试问：是否存在这样x的值，使得DF和EG互相垂直平分，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

28. (本小题12.0分)
【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数y=x+1x时，提出了如下问题：
(1)初步思考：自变量x的取值范围是______ ；
(2)探索发现：当x>0时，y>0，当x<0时，y<0.由此我们可猜想，该函数图象在第______ 象限；
(3)深入思考：当x>0时，y=x+1x=( x)2+(1 x)2=( x-1 x)2+2≥2.于是，当 x-1 x=0时，即x=1时，y有最小值是2.请仿照上述过程，求当x<0时，y的最大值．
【实际应用】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：①是中心对称图形，故本选项符合题意；
②是中心对称图形，故本选项符合题意；
③是中心对称图形，故本选项符合题意；
④不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】D 
【解析】解：由直方图可得，
组界为99.5～124.5这一组的频数是20-3-5-4=8，
故选：D．
根据直方图中的数据，可以得到组界为99.5～124.5这一组的频数．
本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：由题意，x变成2x，y变成2y，
对于A选项，2+2x2x-2y=2(1+x)2(x-y)=1+xx-y≠2+xx-y．
∴A选项错误，不符合题意．
对于B选项，2×2x2x-2y=2×2x2(x-y)=2xx-y．
∴B选项正确，符合题意．
对于C选项，2x-2y=2(x-y)≠x-y．
∴C选项错误，不符合题意．
对于D选项，(2y)22x-2y=4y22(x-y)=2y2x-y≠y2x-y．
∴D选项错误，不符合题意．
故选：B．
依据题意，由分式的基本性质逐项分析即可得解．
本题主要考查了分式的基本性质的应用，解题时要能理解题意并学会转化是关键．

4.【答案】B 
【解析】解：A． 18=3 2，与 3的被开方数不同，故不是同类二次根式；
B. 13= 33，与 3的被开方数相同，故是同类二次根式；
C. 24=2 6，与 3的被开方数不相同，不是同类二次根式；
D. 0.3= 310= 3010与 3的被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：B．
根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为6者即可．
本题考查了同类二次根式的定义，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．

5.【答案】A 
【解析】解：∵Δ=12-4×2×(-1)=1+8=9>0，
∴一元二次方程2x2+x-1=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
求出判别式Δ=b2-4ac，判断符号即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解： 2+ 3不能合并，故选项A错误，不符合题意；
4 3-3 3= 3，故选项B错误，不符合题意；
2× 3= 6，故选项C正确，符合题意；
12÷2=2 3÷2= 3，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类二次根式的方法可以判断A；根据二次根式的减法可以判断B；根据二次根式的乘法可以判断C；根据二次根式的除法可以判断D．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵k>0，
∴函数图象分布在一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵x1<0 ∴A(x1,y1)在三象限，B(x2,y2)在一象限，
∴y2>0>y1．
故选：C．
根据函数y=kx(k>0)的增减性判断即可．
本题考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数性质是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴H是AB的中点，
∴OH=12AB，
设AB=x，则DH= 32x，
∵S菱形=AB⋅DH=32 3，
∴ 32x2=32 3，
解得x=8或x=-8(舍去)，
OH=4．
故选：A．
根据菱形ABCD中∠BAD=60°可得△ABD是等边三角形，设AB=x，则DH= 32x，由面积可得x× 32x=32 3，计算得x=8，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半得OH=12AB=12×8=4．
本题考查了菱形性质，直角三角形性质．熟记等边三角形边与高的关系能快速提升做题速度．

9.【答案】抽样调查 
【解析】
【分析】
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此解答即可．
【解答】
解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．  
10.【答案】x≠-1 
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠-1，
故答案为：x≠-1．
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．

11.【答案】100° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°．
故答案是：100°．
根据平行四边形的对角相等，可得∠A=∠C，又由∠A+∠C=200°，可得∠A的度数．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心．

12.【答案】 24 
【解析】解：∵ 8=2 2，无理数x与 8的积是一个正整数，
∴x是含有 2的无理数，
∵最小的正整数是1，
∴x的最小值为：12 2= 24．
故答案为： 24．
由题意可得x是含有 2的无理数，再根据最小的正整数是1，从而可求x的值．
本题主要考查二次根式的乘除法，无理数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

13.【答案】9 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=62-4c=0，
解得c=9．
故答案为：9．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac=0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根是解题的关键．

14.【答案】10 
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
根据勾股定理得到BC= AB2+AC2=5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC=EA，AF=CF，推出AE=CE=12BC=2.5，根据平行四边形的性质得到AD=BC=5，CD=AB=3，∠ACD=∠BAC=90°，同理证得AF=CF=2.5，于是得到结论．
【解答】
解：∵AB⊥AC，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，AF=CF，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠B+∠ACB=∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠B=∠BAE，
∴AE=BE，
∴AE=CE=12BC=2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠ACD=∠BAC=90°，
同理证得AF=CF=2.5，
∴四边形AECF的周长=EC+EA+AF+CF=10，
故答案为：10．  
15.【答案】y=6x 
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．
利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．

【解答】
解：令反比例函数为y=kx(k≠0)，
∵反比例函数的图象经过点(2,3)，
∴3=k2，
k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x．
故答案为：y=6x．  
16.【答案】1 
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，
∴x1+x2=4，x1⋅x2=3，
∴x1+x2-x1⋅x2=4-3=1，
故答案为：1．
根据根与系数的关系直接可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．

17.【答案】-43 
【解析】解：∵函数y=x-4与y=3x的图象的交点坐标为(m,n)，
∴n-m=-4，mn=3，
∴1m-1n=n-mmn=-43=-43，
故答案为：-43．
由两函数的交点坐标为(m,n)，将(m,n)代入一次函数与反比例函数解析式中得到mn与n-m的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式的加减运算，求出mn与n-m的值是解本题的关键．

18.【答案】2 
【解析】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OA最小，
设A点坐标为(a,1a)，
∴OA= a2+1a2，
∵(a-1a)2≥0，
即：a2+1a2-2≥0，
∴a2+1a2≥2，
∵(a-1a)2≥0，
两边同时开平方得：a-1a=0，
∴当a=1a时，OA有最小值，
解得a1=1，a2=-1(舍去)，
∴A点坐标为(1,1)，
∴OA= 2，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OB= 2OA=2，
故答案为：2．
根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据完全平方公式解答即可．
本题主要考查了反比例函数，等腰直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

19.【答案】解：(1) 54-|5- 6|+13( 2)2
=3 6-(5- 6)+13×2
=3 6-5+ 6+26
=4 6+21；
(2) ab3⋅(-32 a3b)÷ ba
=-32 a4b4⋅ ab
=-32 a5b3
=-32a2|b| ab． 
【解析】(1)先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
(2)根据二次根式的乘除法计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20.【答案】解：原式=(x+1)(x-1)x÷x2+2x+1x2
=(x+1)(x-1)x⋅x2(x+1)2
=x2-xx+1，
把x= 2-1代入得：
原式=( 2-1)2-( 2-1) 2-1+1=3-2 2- 2+1 2=4-3 2 2=2 2-3． 
【解析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可．
本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．

21.【答案】60  11  90 
【解析】解：(1)24÷40%=60(人)，
故答案为：60；
(2)m=60-10-24-15=11，360°×1560=90°，
故答案为：11，90；
(3)1200×1060=200(人)，
答：该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的约有200人．
(1)从两个统计图可知，样本中选择B体育社团的有24人，占调查人数的40%，由频率=频数总数即可求出调查人数；
(2)由各组频数之和等于样本容量即可求出选择D美术社团的人数，确定m的值；求出选择C文学社团的学生占调查人数的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
(3)求出样本中选择A音乐社团所占的百分比，估计总体中选择A音乐社团所占的百分比，由频率=频数总数即可求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．

22.【答案】解：(1)观察规律可得：1n=1n+1+1n(n+1)；
(2)∵1n+1+1n(n+1)
=nn(n+1)+1n(n+1)
=n+1n(n+1)
=1n，
∴1n=1n+1+1n(n+1)． 
【解析】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．
(1)观察已知等式，可得规律，用含n的等式表达即可；
(2)先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到(1)中的等式．

23.【答案】解：(1)2022；
(2)依题意有：n2+4×n1+3×n0=120，
解得n1=9，n2=-13(舍去)．
故n的值是9． 
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程，因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
(1)根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；
(2)根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：(1)3746=3×83+7×82+4×81+6×80
=1536+448+32+6
=2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
(2)见答案．  
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，
∴OC=OD，
∴∠ACD=∠BDC，
∵∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD，
∴∠CDF=∠DCF，
∴DF=CF；
(2)解：由(1)可知，DF=CF，
∵∠CDF=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD=DF=6，
∵∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=6，
∴BD=2OD=12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BC= BD2-CD2= 122-62=6 3，
∴S矩形ABCD=BC⋅CD=6 3×6=36 3． 
【解析】(1)由矩形的性质得OC=OD，得∠ACD=∠BDC，再证∠CDF=∠DCF，即可得出结论；
(2)证△CDF是等边三角形，得CD=DF=6，再证△OCD是等边三角形，得OC=OD=6，则BD=2OD=12，然后由勾股定理得BC=6 3，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．

25.【答案】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
1200x-4=3003x，
解得：x=275，
经检验得：x=275是原方程的根，故3x=825，
答：小明的速度是275米/分钟，则小刚骑自行车的速度是825米/分钟． 
【解析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．

26.【答案】解：(1)把C(-4,0)代入y=kx+2，得k=12，
∴y=12x+2，
把A(2,n)代入y=12x+2，得n=3，
∴A(2,3)，
把A(2,3)代入y=mx，得m=6，
∴k=12，m=6；

(2)在y=12x+2中，当x=0时，y=2，
∴B(0,2)，
∵P(a,0)为x轴上的动点，
∴PC=|a+4|，
∴S△CBP=12⋅PC⋅OB=12×|a+4|×2=|a+4|，S△CAP=12PC⋅yA=12×|a+4|×3，
∵S△CAP=S△ABP+S△CBP，
∴32|a+4|=72+|a+4|，
∴a=3或-11． 
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
(1)把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
(2)根据S△CAP=S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．

27.【答案】(1)证明：①∵四边形ABPD是正方形，△DPC是等腰直角三角形，
∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，
又∵DE=CF，
∴PE=PF，
在△BPE和△DPF中，
BP=DP ∠BPE=∠DPF PE=PF ，
∴△BPE≌△DPF(SAS)；
②∵△BPE≌△DPF，
∴∠EBP=∠FDP，
∵∠DPF=90°，
∴∠FDP+∠BFH=90°，
∴∠EBP+∠BFH=90°，
∴∠BHF=90°，
∴BG⊥DF；
(2)解：存在，x=2- 2，理由如下：
如图，连接BD，

若直线BG垂直平分线段DF，
则BF=BD，
∵四边形ABPD是正方形，且AB=1，
∴BD= 2，
∴BF=BD= 2，
∴DE=x=CF=2- 2，
此时，∠FBH=∠DBG=12×45°=22.5°，
∴∠PBH=∠PDF=22.5°，
∵∠PDC=45°，
∴∠CDF=22.5°=∠PDF，
又∵BG⊥DF，
∴EH=GH，
∴直线DF垂直平分线段EG，
∴当x=2- 2时，DF和EG互相垂直平分． 
【解析】(1)①根据正方形和等腰直角三角形的性质得：BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，由DE=CF和等式的性质得：PE=PF，从而得△BPE≌△DPF(SAS)；
②先根据全等得出∠EBP=∠FDP，再由直角三角形的两锐角互余得到∠EBP+∠BFH=90°，则∠BHF=90°，所以BG⊥DF；
(2)如图2，存在，先假设直线BG垂直平分线段DF，连接BD，根据垂直平分线的性质得：BD=BF= 2，表示出x=FC=2- 2，再利用等腰三角形三线合一的性质证明EH=GH，所以DF也是EG的垂直平分线，此时
DF和EG互相垂直平分．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，熟练运用正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定是解题的关键．

28.【答案】x≠0  一、三 
【解析】解：【提出问题】(1)函数y=x+1x的自变量x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0；
(2)当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.由此可见，图象在第一、三象限，
故答案为：一、三；
(3)当x<0时，y=x+1x=-(-x-1x)=-( -x-1 -x)2-2≤-2，
当 -x=1 -x时，即x=-1时，y有最大值是-2．
∴当x<0时，即x=-1时，x+1x的最大值为-2；
【实际应用】设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，
∴x：9=4：S△AOD，
∴S△AOD=36x，
∴四边形ABCD面积=4+9+x+36x≥13+2 36=25，
∴当x=36x时，四边形ABCD面积有最小值，
∴当x=6时，四边形ABCD面积的最小值为25．
【提出问题】(1)根据函数关系式即可得自变量x的取值范围；
(2)根据当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.可得图象在第一、三象限；
(3)当x<0时，先将x+1x变形为-(-x-1x)，再根据公式a+b≥2 ab计算即可；
【实际应用】根据等高三角形的性质计算即可．
本题是反比例函数综合题，考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．