高考复习 第十一章微专题72 带电粒子在圆形边界磁场中的运动 试卷

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微专题72　带电粒子在圆形边界磁场中的运动
1．带电粒子进入圆形边界磁场，一般需要将磁场圆圆心与两圆交点(入射点与出射点)连线、将轨迹圆圆心与两交点连线、将轨迹圆与磁场圆圆心连线.2.带电粒子进入圆形边界磁场，轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象.3.沿磁场圆半径方向入射的粒子，将沿半径方向出射．
1.如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.氦核(He)和质子(H)先后从A点沿AO的方向射入磁场，均从C点射出磁场，OA与OC的夹角为106°.氦核(He)的质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力，sin 53°＝0.8，下列说法正确的是(　　)

A．质子与氦核在磁场中运动的时间相等
B．质子在磁场中运动的时间是氦核的2倍
C．氦核(He)的速度大小为
D．质子(H)的速度大小为
答案　C
解析　作出质子(H)和氦核(He)在磁场中的运动轨迹，如图所示

根据题意可知质子(H)和氦核(He)在磁场中运动的圆心角相等，运动周期为T＝，运动时间为t＝T，可知质子(H)和氦核(He)在磁场中运动的时间之比为＝，故A、B错误；对质子(H)和氦核(He)，根据几何关系可得tan 53°＝，又qvB＝m，可得氦核(He)的速度大小为v1＝，质子(H)的速度大小为v2＝，故C正确，故D错误．
2.(多选)(2023·河北张家口市高三模拟)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD＝60°.在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．则从A点射出的粒子的比荷可能是(　　)

A. B.
C. D.
答案　AD
解析　带电粒子从C点射出磁场时，轨迹如图所示

由几何关系得sin 30°＝，解得r1＝2R，带电粒子从D点射出磁场时，轨迹如图所示，

由几何关系得AODO2是菱形，所以粒子的轨迹半径r2＝R，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r2≤r≤r1，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得从A点射出的粒子的比荷满足≤≤，故选A、D.
3.(多选)如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．两个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从a点先后沿直径ac和弦ab方向射入磁场区域，ab和ac的夹角为30°，已知沿ac方向射入的粒子刚好从b点射出，沿ab方向射入的粒子刚好从O点正下方射出，不计粒子重力．则(　　)

A．沿ac方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为R
B．沿ab方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为(＋1)R
C．沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1
D．沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为
答案　BC
解析　沿ac方向射入的粒子在磁场中运动方向偏转60°，其轨迹所对的圆心角为60°，如图中轨迹1所示，由几何关系知其轨迹半径为r1＝＝R，故A错误；

沿ab方向射入磁场区域的粒子在磁场中运动轨迹如图中轨迹2所示，根据几何关系可知，该粒子的轨迹所对圆心角为30°，则轨迹半径r2满足＝，又sin 15°＝sin (45°－30°)，解得r2＝(＋1)R，故B正确；两粒子的质量和电荷量相同，根据T＝，可知在磁场中的运动周期相同，结合两粒子在磁场中的偏转角之比为2∶1，可知沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1，故C正确；根据qvB＝，可得v＝，则沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为，故D错误．
4.如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小和方向不变的基础上，需将粒子的入射点向上平移的距离d为(　　)

A.R B.R
C.R D.R
答案　B
解析　粒子运动轨迹如图甲所示，根据几何知识可得r＝，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．


由图乙可知sin θ＝，平移距离为d＝Rsin θ，解得d＝R，故B正确，A、C、D错误．
5.(多选)(2023·湖北省联考)如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等．圆心在(O，R)，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)．已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则(　　)

A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足45°≤θ≤135°
答案　AC
解析　由题意，初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv＝m，r＝R ，解得v＝ ，A正确；由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离原点的竖直高度最大值为2R，并不会垂直打在光屏上，B错误；如图甲，打在光屏上端的粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为π，

甲
根据周期公式T＝，可得t＝T＝T＝，C正确；粒子初速度方向与x轴夹角为θ 时，若能打在光屏下端，如图乙

乙
由几何关系可得圆心角为60°，即初速度与x轴夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屛上端时(如图甲)，初速度与x轴夹角为θ2＝120°，D错误．
6.如图所示，第一象限内有一圆形边界匀强磁场(图中未画出)．一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，以大小为v的速度沿＋x方向自磁场边界上的点P(L,3L)射入，从点Q(L,0)射出时速度方向与x轴负方向成60°角，粒子重力不计．求：

(1)磁感应强度的大小和方向；
(2)圆形有界磁场的最小面积．
答案　(1)　方向垂直于纸面向外　(2)πL2
解析　(1)由于PQ平行于y轴，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ上，由几何关系可得r＋＝3L
由牛顿第二定律可得qvB＝m
联立解得B＝
由左手定则可得，磁感应强度的方向垂直于纸面向外．

(2)设带电粒子从点F飞出后经过Q点，则以PF为直径的圆形有界磁场的面积最小，设圆形磁场的最小半径为R，由几何关系可得R＝rsin 60°＝L
则最小面积为S＝πR2＝πL2.
7.如图所示，圆形区域有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O.O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带正电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的2倍. 已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力．

(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角．
答案　(1)　(2)60°
解析　(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝m，则r＝.
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图甲所示，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，如图乙所示，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sin ＝＝，即φmax＝60°.

8.如图所示，真空中有两个以O为圆心的同心圆，内圆半径为R，外圆半径未知．内圆有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；内圆与外圆之间的环状区域内的匀强磁场垂直纸面向里，大小也为B.在内圆边界上有一粒子源S，所发出的粒子质量为m，电荷量为＋q，速度大小为v0.内圆边界上无磁场，外圆边界上存在磁场．不计粒子重力，求：

(1)若粒子源在纸面内向各个方向发射粒子，为了让粒子约束在外圆内运动，则外圆半径至少为多大？
(2)若发出的粒子初速度方向沿半径背离圆心．粒子运动了一段时间再次经过S，则v0应该满足什么条件(写出v0与m、q、B、R之间的关系)?
(3)在满足(2)问的条件下，粒子相邻两次经过S处的时间是多少？
答案　(1)R＋　(2)v0＝tan(n≥3，且取整数)　(3)见解析
解析　(1)粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，qv0B＝m
解得r＝
当粒子轨迹与外圆内切时外圆半径最小，如图

由图中几何关系得，外圆半径R1＝R＋2r
故外圆半径至少为R1＝R＋
(2)经分析得，带电粒子运动轨迹将内圆均分成n段圆弧(n≥3，且取整数)，如图

由图中几何关系得θ＝＝
且tan θ＝
故tan＝(n≥3，且取整数)
则v0应满足：v0＝tan (n≥3，且取整数)
(3)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝＝
粒子相邻两次经过内圆，在内圆外运动的时间t1＝T＝
粒子相邻两次经过内圆，在内圆内运动的时间t2＝T＝
当(2)中n为奇数时，粒子相邻两次经过S处的时间t＝(t1＋t2)＋t1＝(n≥3，且取奇数)
当(2)中n为偶数时，粒子相邻两次经过S处的时间t＝(t1＋t2)＝(n≥3，且取偶数)．