2023届高考一轮复习（老高考）第十章 微专题71　带电粒子在圆形边界磁场中的运动【解析版】

微专题71　带电粒子在圆形边界磁场中的运动

1．带电粒子进入圆形边界磁场，一般需要将磁场圆圆心与两圆交点(入射点与出射点)连线、轨迹圆圆心与两交点连线.2.带电粒子进入圆形边界磁场，轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象.3.沿磁场圆半径方向入射的粒子，将沿半径方向出射．

1.如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是(　　)

A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短

B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子

C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为

D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8

答案　C

解析　由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有

qvB＝m，T＝，解得T＝，

可知四种粒子在磁场中运动的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝T，可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误；

由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，B项错误；

设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝r，根据qBv＝m，可得＝＝，C项正确；

由上述分析可知，粒子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比，所以＝＝＝，D项错误．

2.如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC＝90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d.下列说法中正确的是(　　)

A．该粒子带正电

B．该粒子的比荷为

C．该粒子在磁场中运动时间为

D．直径AD长度为4d

答案　D

解析　带电粒子在半圆形磁场中向上偏转，由左手定则可判断，粒子带负电，A错误；过P点和C点做速度的垂线，交点即为轨迹圆圆心．如图，由几何关系可知，OCO′P为菱形

∠COP＝∠CO′P＝60°， ＝2d＝＝r

洛伦兹力提供向心力qvB＝m

r＝

＝，B错误；

粒子在磁场中运动时间为t＝＝×＝＝×＝，C错误；

直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，D正确．

3.如图所示，正方形PNMQ的边长为L，圆心在M，半径也为L的圆形区域MQN内有垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，G是QM边的中点．一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以相同的速度v＝沿既垂直于QM也垂直于磁场的方向从QM边射入磁场，下列说法正确的是(　　)

A．没有粒子到达P点

B．粒子在磁场中运动的最长时间为

C．从G、M之间射入的粒子皆可到达PN边

D．所有粒子将从磁场边界上同一点射出磁场

答案　B

解析　根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m解得R＝＝＝L，若粒子在磁场中恰好经过弧QN的中点K，如图：

则根据几何关系可知粒子的出射速度与水平方向成45°角，之后匀速直线运动正好到达P点，选项A错误；

经分析知从M点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，如图：

由几何关系可知粒子的偏转角为60°，则在磁场中运动的时间t＝×＝，选项B正确；

画出粒子从G点射入的轨迹如图：

由图知粒子从磁场中射出的点在K的下方，粒子不会打在PN边上，所以从G、M之间射入的粒子不能全部到达PN边，选项C错误；

由以上分析可知粒子将从磁场边界上不同的点射出磁场，选项D错误．

4.如图所示，比荷为k的带电粒子(不计重力)，从坐标原点O1以速度v0沿x轴正方向射入垂直纸面向里的匀强磁场中；在坐标平面内，半径为R的圆形边界(圆心在O2点)正好与y轴相切在O1，粒子从圆形边界的c点射出，磁场的磁感应强度大小为，下列说法正确的是(　　)

A．粒子做匀速圆周运动的半径为Rk2

B．c点的坐标为(R，R)

C．粒子从O1到c的运动时间为

D．若该粒子从圆形边界上的a点或b点，以平行于x轴的速度v0射入磁场，则粒子必不从c点射出圆形边界

答案　B

解析　设粒子做匀速圆周运动的半径为r，磁感应强度为B，由Bqv0＝m，得

r＝，代入B＝，＝k，联立可得r＝R，A错误；

圆形边界的半径与轨迹圆的半径相等，根据匀速圆周运动知识可知，轨迹圆的圆心O3在y轴上，如图所示，

O1O2cO3是边长为R的正方形，则c点的坐标为(R，R)，B正确；

粒子从O1到c运动时间t＝＝，C错误；

圆形边界的半径与轨迹圆的半径相同，满足磁聚焦原理，一组平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为R，则粒子将汇聚于同一点，即入射速度相同的粒子从圆形磁场边界上的O1、a、b点射入，必然从同一点c射出，D错误．

5．(多选)如图所示为一圆形区域，O为圆心，半径为R，P为边界上的一点，区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B.电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速率v＝射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ角，已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4，下列说法正确的是(　　)

A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r ＝R

B．θ＝60°

C．θ＝30°

D．a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角

答案　AC

解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r ＝，代入v＝，得r ＝ R，故A正确；因a正对圆心射入，又r ＝ R，故a粒子在磁场中的运动时间为T，运动圆弧对应的圆心角为90°，两粒子在磁场中运动的周期相等，即T ＝，故b粒子在磁场中的运动时间为T，即运动圆弧的圆心角为120°，运动圆弧对应的圆心与O、P三点的连线构成等边三角形，故θ＝30°，故B错误，C正确；a、b粒子离开磁场时的速度方向平行，是“磁发散”模型，故D错误．

6.如图所示，在xOy平面内，有一线性粒子源沿＋x方向发射速率均为v的带正电粒子，形成宽为2R关于x轴对称的粒子流．粒子流射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向外，粒子经磁场偏转后均从P点射入下方的圆形匀强电场区域，电场方向平行于xOy平面，圆心O′坐标为(0，－2R)，半径为R，PQ、AC为圆的两直径，夹角为60°.已知从C点射出的粒子速率仍为v，沿PC方向射入的粒子恰好从Q点射出．不计粒子重力及它们间的相互作用．求：

(1)粒子的比荷；

(2)电场强度的大小和方向；

(3)粒子射出电场的最大速率．

答案　(1)　(2)，垂直PC向下

(3)v

解析　(1)分析沿O点入射的粒子知r＝R

由qvB＝

解得＝

(2)由题意知UPC＝0，即电场方向垂直PC向下，垂直电场方向射入的粒子满足

2Rsin 60°＝vt

2Rcos 60°＝at2

又qE＝ma

联立解得E＝

(3)粒子从图中D点射出时速率最大

qER(1＋cos 60°)＝mvm2－mv2

解得vm＝v.

7.如图，在xOy坐标系的第一象限内，直线y＝l－kx(k>0)的上方有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B.在P(0，l)点有一粒子源，能以不同速率沿与y轴正方向成60°角发射质量为m、电荷量为q(q>0)的相同粒子．这些粒子经磁场后都沿－y方向通过x轴，且速度最大的粒子通过x轴上的M点，速度最小的粒子通过x轴上的N点．已知速度最大的粒子通过x轴前一直在磁场内运动，NM＝l，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求：

(1)粒子最大速度的值与k的值；

(2)粒子从P点到穿过x轴经历的最长时间；

(3)有界磁场的最小面积．

答案　(1)　　(2)

(3)l2

解析　(1)设粒子的最大速度为v1，由于速度最大的粒子穿过x轴前一直在磁场内运动，过P点作速度的垂线交x轴于O1点，O1就是速度为v1的粒子做圆周运动的圆心，PO1即为半径R1，由几何关系可知R1sin 60°＝yP

解得R1＝l

由洛伦兹力提供向心力，则qv1B＝m

解得v1＝

由于所有粒子离开磁场时方向均沿y轴负方向，所以粒子在磁场中偏转的角度均相同．即从磁场射出的粒子，射出点一定在PM连线上，PM连线即为直线y＝l－kx，k＝＝

解得k＝

(2)所有粒子在磁场中运动的时间均相等，速度小的粒子离开磁场后再做匀速直线运动，速度最小的粒子在磁场外运动的位移最大，时间最长．设粒子在磁场中运动的时间为t1，T＝，t1＝T

设速度最小的粒子在磁场中运动的半径为R2，速度为v2，根据几何关系有＝，R2sin 30°＋R2＝ON＝OM－MN＝l

解得CN＝l，R2＝l

由洛伦兹力提供向心力，则qv2B＝m

解得v2＝

设最小速度的粒子离开磁场后运动的时间为t2，有t2＝

速度最小的粒子从离开P点到打在x轴上经历的时间t＝t1＋t2＝

(3)磁场的最小面积为图中PCM阴影部分面积S＝(πR12－R12sin 60°)－(πR22－R22sin 60°)

解得S＝l2.

8.如图所示，真空中有两个以O为圆心的同心圆，内圆半径为R，外圆半径未知．内圆有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；内圆与外圆之间的环状区域内的匀强磁场垂直纸面向里，大小也为B.在内圆边界上有一粒子源S，所发出的粒子质量为m，电荷量为＋q，速度大小为v0.内圆边界上无磁场，外圆边界上存在磁场．不计粒子重力，求：

(1)若粒子源在纸面内向各个方向发射粒子，为了让粒子约束在外圆内运动，则外圆半径至少为多大？

(2)若发出的粒子初速度方向沿半径背离圆心．粒子运动了一段时间再次经过S，则v0应该满足什么条件(写出v0与m、q、B、R之间的关系)?

(3)在满足(2)问的条件下，粒子相邻两次经过S处的时间是多少？

答案　(1)R＋　(2)v0＝tan(n≥3，且取整数)　(3)见解析

解析　(1)粒子在磁场中运动由洛伦兹力提供向心力qv0B＝m

解得r＝

当粒子轨道半径与外圆内切时外圆半径最小，如图

由图中几何关系得，外圆半径R1＝R＋2r

故外圆半径至少为R1＝R＋

(2)经分析得，带电粒子运动轨迹将小圆均分成n段圆弧(n≥3，且取整数)，如图

由图中几何关系得θ＝＝

且tan θ＝

故tan＝(n≥3，且取整数)

则v0应满足：v0＝tan(n≥3，且取整数)

(3)粒子在磁场做圆周运动的周期为T＝＝

粒子相邻两次经过小圆，在小圆外运动的时间t1＝T＝

粒子相邻两次经过小圆，在小圆内运动的时间t2＝T＝

当(2)中n为奇数时，粒子相邻两次经过S处的时间t＝(t1＋t2)＋t1＝(n≥3，且取奇数)

当(2)中n为偶数时，粒子相邻两次经过S处的时间t＝(t1＋t2)＝(n≥3，且取偶数)．