(新高考)高考物理一轮复习课时加练第2章　微专题14　平衡中的临界极值问题 (含解析)

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微专题14　平衡中的临界极值问题
1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.2.多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．
1.如图所示，一质量为2 kg的物块甲放在水平台面上，与水平台面之间的动摩擦因数为0.6.三根轻质细绳OA、OB、OC一端结于O点，绳OA另一端固定在天花板上，与竖直方向的夹角为θ＝37°，且绳OA能承受的最大拉力为22 N，绳OB的另一端水平连接在物块甲上，绳OC竖直悬挂另一物块乙．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若要使O点静止不动，则悬挂的物块乙的质量不能超过(　　)

A．1.2 kg B．1.6 kg
C．2.0 kg D．2.2 kg
答案　B
解析　绳子OB的最大拉力为FOB＝μm甲g＝12 N，假设O点静止不动，绳OA能承受的最大拉力为22 N时，根据平衡，绳子OB的拉力为FOB′＝FOAsin 37°，解得FOB′＝13.2 N，假设矛盾，则绳子OB达到最大拉力时，O点静止不动，绳子OC的拉力最大，根据平衡条件得，FOC＝＝16 N，则悬挂的物块乙的质量m乙＝，解得m乙＝1.6 kg，故选B.
2．用一根轻质细绳将一幅质量为1 kg的画框对称悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5 m，已知绳能承受的最大张力为10 N，为使细绳不断裂，轻质细绳的长度至少为(　　)

A. m B. m
C. m D．1 m
答案　C
解析　以画框为研究对象，受力分析如图所示，

受到重力mg和两个大小相等的细绳拉力F的作用而处于静止状态，当F＝Fmax＝10 N，对应于细绳不被拉断的最小长度L，作细绳拉力的合力F合，由平衡条件得F合＝mg＝10 N，所以两绳拉力的夹角是120°，绳子的最小长度L＝＝＝ m，故选C.
3.用细绳AC、BC吊一重物，两绳子能承受的最大力均为100 N，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，如图所示．若使绳子不断，最多能悬挂重物的重力为(　　)


A. N B. N
C．100 N D．200 N
答案　B
解析　以重物为研究对象，受力如图所示，

由平衡条件得：FTACsin 30°＝FTBCsin 60°①
FTACcos 30°＋FTBCcos 60°＝G②
由①式可知：FTAC＝FTBC
当FTBC＝100 N时，FTAC＝100 N>100 N，AC将断；
当FTAC＝100 N时，FTBC＝ N<100 N，BC不断；
故当FTAC＝100 N时悬挂重物的重量最大，将FTAC＝100 N，代入②式，解得G＝ N，综上分析，最多能悬挂重物的重力为G＝ N，A、C、D错误，B正确．
4.(2023·广西柳州市模拟)如图，某同学通过一细绳拉动木箱，使木箱沿水平面运动，细绳与水平方向的夹角为α.已知细绳能承受的最大拉力为100 N，木箱和地面的动摩擦因数为μ＝0.5，则木箱的质量不能超过(木箱可视为质点，sin α＝0.6，重力加速度g＝10 m/s2)(　　)

A．10 kg B．16 kg
C．22 kg D．28 kg
答案　C
解析　若要满足木箱沿水平面运动，对木箱受力分析可得：水平方向FTcos α＝μFN，竖直方向：FTsin α＋FN＝mg，解得FN＝160 N，m＝22 kg，故选C.
5.重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点(如图所示)，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为(　　)

A.G B.G
C．G D.G
答案　A
解析　对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0.对B球受力分析如图所示，则当F与O、B间绳垂直时F最小Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝＝，则Fmin＝G，故A项正确.

6．(多选)如图所示，质量为m＝5 kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是(　　)

A．牵引力F的最小值为25 N
B．牵引力F的最小值为 N
C．牵引力F与水平面的夹角为45°
D．牵引力F与水平面的夹角为30°
答案　AD
解析　物体受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff和拉力F的共同作用，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示．由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有Fcos θ＝μFN，在竖直方向上有Fsin θ＋FN＝mg，联立解得F＝，设tan φ＝μ，则cos φ＝，所以有F＝·，当cos(θ－φ)＝1，即θ－φ＝0时，F取到最小值Fmin＝ ＝25 N，tan φ＝μ＝，所以解得φ＝30°，θ＝30°，故A、D正确．

7.如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，设物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝，则这一临界角α的大小为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．75°
答案　C
解析　设斜面倾角为α时， 无论F多大都不能推动物体．受力情况如图所示．对物体进行受力分析，建立沿斜面方向与垂直于斜面方向的直角坐标系，沿斜面方向，有Fcos α＝mgsin α＋Ff，垂直于斜面有FN＝mgcos α＋Fsin α，又Ff＝μFN，联立解得F＝，故当cos α＝μsin α时，分式趋于无穷大，此时μ＝，又因μ＝，解得α＝60°，故C正确．

8.如图所示，质量为m1＝4 kg的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量最大不能超过多少？
答案　(1)50 N　30 N　(2)30N　水平向左　(3)24 kg
解析　(1)以结点O为研究对象，建立直角坐标系，将FOA分解，如图所示，由平衡条件得：

FOB－FOAsin θ＝0
FOAcos θ－m1g＝0
代入数据解得：FOA＝50 N，FOB＝30 N
(2)对人受力分析，如图所示，由平衡条件得：Ff＝FOB＝30 N
方向水平向左

(3)当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值，则有：Ffm＝μm2g
由平衡条件得：FOBm＝Ffm
又FOBm＝m1mgtan θ＝m1mg
代入数据解得：m1m＝24 kg.
9.如图，在粗糙的水平地面放置一重力为50 N的劈形木块，在劈形木块斜面上有一个重力为100 N的光滑小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为30°，斜面倾角为30°，整个装置处于静止状态．则：

(1)斜面对小球支持力的大小为多少？
(2)地面与木块间的动摩擦因数至少多大？
(3)若在小球上施加一个外力F，让小球脱离劈形木块，这个外力的最小值为多少？
答案　(1) N　(2)　(3)50 N
解析　(1)以小球为研究对象，受力分析如图所示

由平衡条件得
FNsin 30°＝FTsin 30°
FNcos 30°＋FTcos 30°＝G
联立解得FN＝FT＝ N
(2)以木块和小球为研究对象，由平衡条件得
FN′＋FTcos 30°＝G＋G′
μFN′≥FTsin 30°
联立解得μ≥
(3)要能够把小球拉离斜面，当所用的拉力与轻绳垂直斜向左上方时拉力最小，根据平衡条件可得拉力的最小值为Fmin＝Gsin 30°＝50 N.