第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系
【题型归纳目录】
题型一：直线与椭圆的位置关系
题型二：椭圆的弦
题型三：椭圆的综合问题
题型四：直线与双曲线的位置关系
题型五：双曲线的弦
题型六：双曲线的综合问题
题型七：直线与抛物线的位置关系
题型八：抛物线的弦
题型九：抛物线的综合问题
【知识点梳理】
知识点一：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y），
若点M（x，y）在椭圆上，则有；
若点M（x，y）在椭圆内，则有；
若点M（x，y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则

==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：


知识点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则

==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：


双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
知识点四、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则

==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：


抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
① 焦点弦长
②
③ ②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
【典例例题】
题型一：直线与椭圆的位置关系
【例1】（2023·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（     ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】联立，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
【对点训练1】（2023·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】对于直线，整理得，
令，解得，
故直线过定点.
∵，则点在椭圆C的内部，
所以直线l与椭圆C相交.
故选：A.
【对点训练2】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，
则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，
又表示焦点在轴上的椭圆，故，，
故选：C.
【对点训练3】（2023·湖北·高二统考期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0),
当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分，
其一条渐近线方程为：，故直线与无交点，
曲线与直线的公共点的个数为.
故选：B
题型二：椭圆的弦
【例2】（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考开学考试）过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______
【答案】/
【解析】由椭圆：，可得右焦点.
设此直线与椭圆相交于点，
直线方程为：.
联立，
可得，
，.
.
故答案为：.
【对点训练4】（2023·内蒙古包头·高二包头市第六中学校考期末）已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则__________．
【答案】
【解析】已知椭圆，，则，
所以椭圆的左焦点为,
因为直线倾斜角为，所以直线的斜率，则直线的方程为.
联立，消去，整理得，
解得．．
故答案为：.
【对点训练5】（2023·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）是过椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为______
【答案】/
【解析】由题可知，的坐标为，
若直线的斜率为零，易知；
若直线的斜率不为零，设其为，联立椭圆方程，
可得：，显然，
设两点的坐标分别为，
则，
则
，
因为，则，，
，即当直线的斜率不为零时，；
综上所述，，故弦长的最小值为.
故答案为：.
【对点训练6】（2023·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长_____．
【答案】
【解析】椭圆方程为，所以，
所以，所以直线的方程为，
由消去并化简得，
设，所以，
所以.
故答案为：
【对点训练7】（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）已知椭圆被直线截得的弦长为6，则直线①②③④⑤中被椭圆截得的弦长也是6的直线有__________.（填上直线的代号）
【答案】①③⑤
【解析】因为椭圆被直线截得的弦长为6，
根据题意可画出椭圆与直线的大致图象，

根据椭圆的对称性结合图象可得，，，被椭圆截得的弦长也是6，
，被椭圆截得的弦长不是6，
即①③⑤适合题意.
故答案为：①③⑤.
题型三：椭圆的综合问题
【例3】（2023·江苏·高二专题练习）设椭圆过点.
(1)求C的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线l与C交于M，N两点，求线段中点P的坐标.
【解析】（1）因椭圆过点，
则有，解得，
所以椭圆C的标准方程为：.
（2）依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，
显然，设，则，
因此线段中点P的横坐标，其纵坐标，
所以线段中点P的坐标为.
【对点训练8】（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆，一组平行直线的斜率是1．
(1)这组直线与椭圆有公共点时纵截距的取值范围；
(2)当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程．
【解析】（1）设平行直线的方程为，
将代入，整理得：，
因为直线与椭圆有公共点，
所以，解得：；
（2）令交点坐标分别为，由（1）知：，
而，所以线段中点坐标为，
又知当时，中点为坐标原点，故直线的斜率为，
∴所在的直线方程：.
【对点训练9】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二校考期中）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.
【解析】（1）由题意得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设，则，即
，
因为的对称轴为，所以在为减函数，
所以当时，的最大值为的最大值为.
【对点训练10】（2023·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，
【解析】（1）由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．
（2）由题意，可设、，
则有，又点坐标为，所以，，
所以
，
又，所以，
所以的取值范围是．
【对点训练11】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知椭圆.
(1)若直线与椭圆相交于两点，椭圆内一点是线段的中点，求直线的方程；
(2)已知分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，求直线的斜率与直线的斜率之积.
【解析】（1）设，
由题意得，两式相减得，
即，
所以直线的斜率.
因为点是线段的中点，则，
所以，
所以直线的方程为，即.
（2）设，则，所以，
∵，所以
所以直线与直线的斜率之积为定值.
【对点训练12】（2023·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
【解析】（1）由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆C的标准方程为.
（2）由(1)知，.
设，则，
直线的方程为，
令，则，即，
直线的方程为，
令，则，即

，即.
题型四：直线与双曲线的位置关系
【例4】（2023·安徽合肥·高二校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【解析】联立，消y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为.
故选：D．
【对点训练13】（2023·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【解析】直线，即恒过点，
又双曲线的渐近线方程为，
则点在其中一条渐近线上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，
即满足条件的直线有条.
故选：C
【对点训练14】（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】的斜率分别是；
对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误；
对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误；
对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确；
对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，
又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误.
故选：C.
【对点训练15】（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【解析】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.
【解答过程】由得  整理得，；
所以，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线的渐近线方程为：
与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.
所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B
题型五：双曲线的弦
【例5】（2023·江苏连云港·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是________．
【答案】25
【解析】设，，双曲线的左焦点为，
则直线的方程为，由得，，
，，则．
故答案为：25.
【对点训练16】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
【对点训练17】（2023·高二课时练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
【答案】10
【解析】由条件可知：且，从而求出的值，从而求出双曲线方程，则可设直线的方程，联立直线与双曲线，利用弦长公式即可求出弦长的值.∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
故答案为：10.
【对点训练18】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有____条．
【答案】1
【解析】求得过右焦点的通径，得到交点都在右支上的弦长最小值，根据方程求得实轴长得到交点在两支上的弦长最小值，由此可以作出判定.依题意得右焦点，所以过F且垂直x轴的直线是，代入，得，所以此时弦长为;
当不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长．因为两顶点间距离为，
即左右两支上的点的最短距离是，
所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条．
故答案为：1.
【对点训练19】（2023·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为______.
【答案】2
【解析】
当直线不存在斜率时，直线方程为，此时把代入双曲线方程中可得：，此时，这样有两条直线过左焦点作弦只与双曲线左支相交，使；
直线与双曲线左右两支都相交时，弦的最小值为，所以过左焦点作弦与左右两支都相交，使的直线是不存在的.
故答案为：2
题型六：双曲线的综合问题
【例6】（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.
【解析】（1）∵椭圆的焦点为，  ∴
∵一条准线方程为，，解得，∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设弦的两端分别为，．则有：
．
弦中点为，．
故直线的斜率．
则所求直线方程为：．
【对点训练20】（2023·全国·高二专题练习）已知定点，，动点到两定点、距离之差的绝对值为．
（1）求动点对应曲线的轨迹方程；
（2）过点作直线与曲线交于、两点，若点恰为的中点，求直线的方程．
【解析】（1）由题意知：，
故动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，，
∴，故曲线的方程为：；
（2）设，，满足，
两式相减得，即，
因为点为的中点，故，
∴，即直线的斜率为，又过点，
故直线的方程为：，即．
【对点训练21】（2023·湖北武汉·高二统考期中）已知双曲线，双曲线的渐近线过点，且双曲线过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左右顶点分别为，，点在上且直线斜率的取值范围是，求直线的斜率的取值范围．
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，且，
解得，，
即有双曲线的方程为；
（2）双曲线的左右顶点分别为，，
设，则，
由
，
则，因为，所以，所以，所以，即直线的斜率的取值范围为．
【对点训练22】（2023·全国·高二假期作业）已知双曲线，是上的任意点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.
【解析】（1）设，写出点到渐近线的距离的乘积，利用点在双曲线上化简，得到常数；（2） ，根据 化简，转化为二次函数求最小值.
试题解析：（1）设，到两准线的距离记为、，
∵两准线为，，
∴，
又∵点在曲线上，∴，得（常数）
即点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 .
（2）设，由平面内两点距离公式得，
，
∵，可得，∴，
又∵点在双曲线上，满足，∴当时，有最小值，.
【对点训练23】（2023·新疆喀什·高二校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4.
(1)求动点M的轨迹C的方程：
(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值.
【解析】（1）由椭圆知：

所以左、右焦点分别为
因为动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4
所以动点在以为焦点的双曲线上，
设动点设方程为：
由双曲线的定义得：
所以
所以动点设方程为：
（2）设
则
由

所以



所以.
【对点训练24】（2023·四川·高二四川省科学城第一中学校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点
(1)求双曲线方程；
(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）由题意，可设双曲线方程为，
又双曲线过点，
所以，即，
故双曲线方程为；
（2）由题知，设直线MN的方程为，且，
则由，得 ，
故  ，
故直线MT和直线NT的斜率乘积即可表示为：

，
即，
故直线MT和直线NT的斜率乘积为定值且该定值为.
【对点训练25】（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）如图，设，与的内切圆分别交于G，H两点，
则
，
所以，则，
则双曲线C的方程为．

（2）由题意得，切线l的斜率存在．
设切线l的方程为，，．
因为l与圆相切，所以，即．
联立消去y并整理得，
所以，．
又




．
又



，
将代入上式得．
综上所述，为定值，且．

题型七：直线与抛物线的位置关系
【例7】（2023·高二课时练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ）
A．1条 B．2条 C．3条
D．1条、2条或3条
【答案】C
【解析】联立直线和抛物线方程可得，
整理可得，
直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当时，方程为仅有一解，符合题意；
当时，一元二次方程仅有一解，
即，解得，
所以满足题意得直线有三条，即，和.
故选：C
【对点训练26】（2023·高二校考单元测试）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（    ）
A．有且只有一条
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有且只有四条
【答案】B
【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为，设，
若直线的斜率不存在，则，不符合题意，
若直线的斜率存在，设直线方程为，
联立，可得，
由题意得，解得，
所以此时有两条直线满足题意，
综上所述，符合题意得直线有且只有两条.
故选：B.
【对点训练27】（2023·江西·高二统考期中）已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】设，由对称性，可知，故，代入中，解得，
故抛物线：，
易知直线：，直线：与抛物线仅有1个交点；
联立得，则，故直线与抛物线仅有1个交点，
故选：D
【对点训练28】（2023·陕西榆林·高二校考期中）直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（    ）
A．1 B．9 C．1或0 D．1或3
【答案】C
【解析】由，得，
所以，
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以或，
解得，或，
故选：C.
【对点训练29】（2023·河北邯郸·高二校考期中）过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，

符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，
故选：D
题型八：抛物线的弦
【例8】（2023·高二课时练习）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作弦AB，其所在直线的倾斜角为，则|AB|等于（　　）
A． B．4p C．6p D．8p
【答案】D
【解析】因为过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，
所以由抛物线的焦点弦公式得|AB|＝＝＝8p．
故选：D
【对点训练30】（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线方程知：为抛物线的焦点；
设，
线段中点的横坐标为，，
直线过抛物线的焦点，.
故选：B.
【对点训练31】（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点，
所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为，
设，
联立，整理得，
所以
所以，
因为线段中点的横坐标为，
所以，所以，
所以，
故选：B.
【对点训练32】（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知抛物线焦点为，是上一点，为坐标原点，若的面积为，则（    ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】由已知抛物线焦点为，
设，则，所以，
则，解得，于是.
故选：A
【对点训练33】（2023·广西南宁·高二校考阶段练习）过点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，则（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由题意直线的方程为，设，
联立，消得，
则，，
则.
故选：B.
【对点训练34】（2023·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考阶段练习）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（    ）
A．32 B． C． D．8
【答案】A
【解析】因为抛物线，
所以，，
所以直线的方程为，
由，得，
显然，
设
则有，
所以，
由抛物线定义可知.
故选：A.
【对点训练35】（2023·陕西西安·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A（点A在第二象限），两点，则（    ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】抛物线方程为，故焦点坐标为，则直线方程为，
与联立得：，
即，
设，
则，，
，
则，，
所以.
故选：A
题型九：抛物线的综合问题
【例9】（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期末）已知抛物线C：的焦点为F，第四象限的一点，且．
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直线l交C于A，B两点，且线段中点的坐标为，求直线l的方程
【解析】（1）由抛物线的定义可知，，解得，
所以抛物线C的方程为，则，
因为点在第四象限，所以，解得；
所以C的方程为，.
（2）设，，则，
两式相减可得，，
所以，又因为线段中点的坐标为，
则有，
则由点斜式可得，直线l的方程为，即．
【对点训练36】（2023·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程为，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为.
(1)求实数p的值；
(2)求的面积.
【解析】(1)由准线方程为知，，故.
(2)由（1）知，抛物线方程为，
设直线的方程为，，
联立抛物线方程，化简得.
则，
由线段的中点为，知，
，代入韦达定理知，
，解得，
故直线的方程为.
所以，
因此的面积.
【对点训练37】（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
【解析】（1）设，，线段中点设为，则，
由题意，抛物线的焦点为，，
根据抛物线的定义得；

（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，，得，
所以.

【对点训练38】（2023·江苏·高二专题练习）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．

(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【解析】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，

因为，所以，
即，所以，
因为，所以；
因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
【对点训练39】（2023·重庆·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为、为抛物线上两个不同的动点，当过且与轴平行时的面积为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）分别过作垂直于轴，若，求与轴的交点的横轴标的取值范围．
【解析】（1）当过且与轴平行时，
，
抛物线的方程为
（2）设 ，与轴的焦点设为，由抛物线的几何图形可知无论，位于轴的同侧或异侧，都有，

，，        
又时三角形不存在
且
与轴的交点的横轴标的取值范围是

【对点训练40】（2023·江苏苏州·高二统考期末）已知抛物线，记其焦点为.设直线：，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线的距离为，且.

(1)求的方程；
(2)如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若分别交于两点，交抛物线于、两点，证明：为定值.
【解析】（1）抛物线的准线的方程为，
则可知，解得，
所以的方程为.
（2）作于，于.
由抛物线定义，，，
又因为，，
所以，，
由此，，，
所以，，
所以，为定值.

【对点训练41】（2023·河南濮阳·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【解析】（1）根据题意，，则，故抛物线方程为：.
（2）显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，
联立抛物线方程可得：，时，
设两点的坐标分别为，则，，
由题可知，，即，解得，此时满足，
故直线恒过轴上的定点.


【过关测试】
一、单选题
1．（2023·湖北恩施·高二校联考期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，为的中点，则到轴的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的方程可得，准线方程为：，
设，，，，
则由可得：，
所以，解得，
则到轴的距离为，
故选：C．
2．（2023·河南信阳·高二统考期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【答案】A
【解析】设直线l：，由，
得，（※）
设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在.
故选：A
3．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（    ）
A． B．8 C．8或 D．
【答案】B
【解析】由得：，
由题意知直线与抛物线无交点，
所以，
设抛物线上任一点为，
则点到直线的距离为：
，
因为，所以，
所以，
所以当时，，
解得：，
故选：B.
4．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以为中点，
设，
因为在椭圆上，所以，
两式相减得，即
，即，
因为直线过点，所以，
所以，经检验C、D不满足，
A、B选项均满足，但在椭圆外，不符合条件，
故选：A.
5．（2023·四川达州·高二统考期末）直线上两点到直线的距离分别等于它们到的距离，则（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】根据抛物线的定义可知，到直线距离和到点的距离相等的点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，抛物线方程为，
所以点是直线与抛物线的两个交点，联立方程，
得，，
而.
故选：C
6．（2023·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（    ）
A．离心率 B．的最大值为
C．的面积的最大值为 D．的最小值为
【答案】C
【解析】椭圆，则，，所以，则离心率，故A正确；
由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得的最大值为，故B正确；
由，，设，
则，因为，所以，
当且仅当在上、下顶点时取最大值，故C错误；
因为，，
所以，
所以，
即的最小值为，当且仅当在上、下顶点时取最小值，故D正确；
故选：C
7．（2023·上海·高二专题练习）已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线方程为：，
所以，由左焦点为，
所以，由，
所以，
所以该双曲线的标准方程为：，
所以渐近线方程为：，
直线恒过点，
且，且过，
所以直线与渐近线平行，
故，
设直线l的倾斜角为，
则，
又，
所以，
故选：D.
8．（2023·福建莆田·高二莆田一中校考期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆上存在点，使得过点可作两条互相垂直的直线与椭圆相切，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，由于在圆，故两圆有交点即可，
故两圆的圆心距为，故，
故选：B
二、多选题
9．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（    ）
A．椭圆的离心率是
B．若是左，右端点，则的最大值为
C．若点坐标是，则过的的切线方程是
D．若过原点的直线交于两点，则
【答案】BD
【解析】的面积最大值是，则，椭圆方程.
，椭圆离心率，A选项错误；
若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；
点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，
代入椭圆方程消去y得，
由，解得，
则切线方程为，即，故C选项错误；
设，都在椭圆上，有和，
两式相减得，，，
，D选项正确.
故选:BD.
10．（2023·广西·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
【答案】AB
【解析】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得．，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，．
设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．
故选：AB

  
11．（2023·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）设双曲线，其离心率为，虚轴长为，则（    ）
A．上任意一点到的距离之差的绝对值为定值
B．双曲线与双曲线：共渐近线
C．上的任意一点（不在轴上）与两顶点所成的直线的斜率之积为
D．过点作直线交于两点，不可能是弦中点
【答案】AB
【解析】双曲线的离心率为，虚轴长为，所以，解得，
所以双曲线，所以两焦点坐标分别为，
由双曲线定义知，故A正确；
双曲线的渐近线方程是，
双曲线：的渐近线方程也是，故B正确；
上的任意一点（不在轴上）设为，则，即，
又两顶点为，
所以斜率之积为，故C错误；
易知点在双曲线的右侧，
此区域内存在一条直线交于两点，使是弦中点，故D错误.
故选：AB
12．（2023·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（    ）
A．最小值为2 B．若，则
C．若，则 D．若点P不在x轴上，则
【答案】ABC
【解析】点，抛物线的准线方程为，
设，，
所以点P在横轴上时有最小值2，所以选项A正确；
若，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，
把代入中，得，，此时，
于是有，所以选项B正确；
因为，显然点P不在横轴上，
则有，
所以直线的方程为代入抛物线方程中，得
，设，
，
，所以选项C正确，
点P不在x轴上，由上可知：，，
，
而，显然，所以选项D不正确，
故选：ABC
三、填空题
13．（2023·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为，
联立方程，得，，
，.
所以.
故答案为：.
14．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】联立方程，消去x得：
所以，即，解得，
设，则可得，
取双曲线的左焦点为，连结，由对称性知四边形为平行四边形，
由可得，
∵，则，
∴，则
即，整理得，解得，
综上可得：.
故双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.

15．（2023·山东菏泽·高二统考期末）已知点分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，点在椭圆上，是面积为的等边三角形，则的值是___________.
【答案】
【解析】是面积为的等边三角形，



,
所以点P的坐标为
将点P代入椭圆方程有，
联立方程
联立解得
故答案为：.
16．（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则_____．
【答案】12
【解析】由题意双曲线，则半焦距，
又离心率为2，则，故，
则双曲线方程为，
过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，
则令，故，
故，
故答案为：12.
四、解答题
17．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.
【解析】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.
将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，
由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，
联立，可得，
，，，
所以.
18．（2023·四川凉山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程．
【解析】（1）由题意得，∴抛物线方程为：
（2）设，，由重心坐标公式得，∴CD中点坐标为，
两式相减得，
方程：，
，∴方程：.
19．（2023·四川凉山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点为抛物线内的一个定点，已知最小值为5．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程．
【解析】（1）过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，
，
∴抛物线方程为：.
（2）设，，
由重心坐标公式得，所以，
∴中点坐标为，
由两式相减可得，
所以方程：，
，
∴方程：.
20．（2023·四川广安·高二广安二中校考期中）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以则，
所以椭圆E的方程为.
（2）设，
联立可得，
因为直线与椭圆E交于A、B两点，
所以解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以

当且仅当即时取得等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
21．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，抛物线交双曲线的两条渐近线于O，A，B三点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求的面积．
【解析】（1）由题意．双曲线的渐近线为，所以，
所以双曲线的离心率．
（2）抛物线的准线方程为，所以，解得，所以的方程为，焦点为，不妨设A在左侧，B在右侧，
联立得，所以，直线的方程为，
所以点F到直线的距离为8，所以的面积为．
22．（2023·江苏南通·高二期末）抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，的面积为
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求面积S的最小值．
【解析】（1）由已知，直线AB的方程为，设，，
联立，可得，所以，
于是
，所以.
故抛物线C的方程为
（2）如下图，
设，，，切线l的方程为，
则有，，
由M，F，P三点共线，可知，即，
因为，化简可得
由，可得，
因为直线l与抛物线相切，故，故
所以直线PN的方程为：，即，
点M到直线PN的距离为，将代入可得，
联立，消可得，消x可得，，
所以，所以，，
故，
当且仅当时，等号成立，此时，面积S的最小值为