第05讲 五种直线方程（九大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第05讲 五种直线方程
【题型归纳目录】
题型一：点斜式直线方程
题型二：斜截式直线方程
题型三：两点式直线方程
题型四：截距式直线方程
题型五：中点坐标公式
题型六：直线的一般式方程
题型七：直线方程的综合应用
题型八：判断动直线所过定点
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
【知识点梳理】
知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
知识点诠释：
1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2、当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．
4、表示直线去掉一个点；表示一条直线．
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
知识点诠释：
1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．
4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．
5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．
知识点三：直线的两点式方程
经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．
知识点诠释：
1、这个方程由直线上两点确定；
2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．
3、直线方程的表示与选择的顺序无关．
4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．
知识点诠释：
1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．
2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．
知识点五：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
知识点六：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程．
知识点七：直线方程的不同形式间的关系
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式

是直线上一定点，是斜率
不垂直于轴
斜截式

是斜率，是直线在y轴上的截距
不垂直于轴
两点式

，是直线上两定点
不垂直于轴和轴
截距式

是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距
不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式

、、为系数
任何位置的直线
直线方程的五种形式的比较如下表：
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
【典例例题】
题型一：点斜式直线方程
【例1】（2023·高二课时练习）一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为______．
【答案】
【解析】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为，
所以所求直线的倾斜角为，斜率为，
所以所求直线的点斜式方程为
故答案为：.
【对点训练1】（2023·山东青岛·高二校考阶段练习）过点斜率为3的直线的点斜式方程是______.
【答案】
【解析】因为直线斜率为3，点为，
所以直线点斜式方程为：
故答案为：.
【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为______．
【答案】
【解析】因为，，所以，故，
又直线l经过点，故直线l的点斜式方程为.
故答案为：.
题型二：斜截式直线方程
【例2】（2023·高二课时练习）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，
所以直线的方程，即.
故答案为：.
【对点训练3】（2023·天津北辰·高二统考期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
故答案为：.
【对点训练4】（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．
【答案】或
【解析】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为，
令，得，令，得，
故所围三角形面积为，即，
当时，上式可化为，解得或；
当时，上式可化为，方程无解；
综上：直线的斜截式方程是或.
故答案为：或.
题型三：两点式直线方程
【例3】（2023·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为__．
【答案】
【解析】当直线过两点，时，其两点式方程为，
则直线的两点式方程为，
故答案为：.
【对点训练5】（2023·高二课时练习）过点，直线的两点式方程为______．
【答案】
【解析】过点，直线的两点式方程为
故答案为：
【对点训练6】（2023·高二课时练习）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为______．
【答案】
【解析】易得直线过，故l的斜率为.
故答案为：
题型四：截距式直线方程
【例4】（2023·高二课时练习）过两点，的截距式方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于直线过，两点，
所以直线在x轴，y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为．
故选：D
【对点训练7】（2023·高二课时练习）直线的截距式方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，即，
所以直线的截距式方程为．
故选：B.
【对点训练8】（2023·全国·高二专题练习）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为三顶点坐标为，
又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：，
则直线的两点式方程为：，故截距式方程为.
故选：A．
题型五：中点坐标公式
【例5】（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】设点､，
由中点坐标公式得：，
解得：，，
由直线过点､，
直线的方程为：，
即.
故答案为：.
【对点训练9】（2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为______.
【答案】
【解析】因为点，，线段PQ的中点为，
所以，所以，
所以，
所以直线PQ的方程为，即，
故答案为：.
题型六：直线的一般式方程
【例6】（2023·高二课时练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．
【答案】或
【解析】当直线过原点时，设，过点，则，即；
当直线不过原点时，设，过点，则，即；
综上所述：直线方程为或.
故答案为：或.
【对点训练10】（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期末）过点的直线方程（一般式）为 _____．
【答案】
【解析】因为过点的直线的斜率为，
所以直线方程为，
化为一般式为，
故答案为： ．
【对点训练11】（2023·上海浦东新·高二校考期末）经过点且斜率为2的直线的一般式方程为__．
【答案】
【解析】因为直线过点且斜率为2，
所以，直线的方程为，即．
故答案为：
题型七：直线方程的综合应用
【例7】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.
【解析】把坐标代入直线和直线，
得,，
∴，
过点和点的直线的方程是：，
∴，则，
∵，
∴，
∴所求直线方程为．
【对点训练12】（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边所在直线的点斜式方程.
【解析】（1）如图所示，

  
直线过点，，可得直线与轴平行，
故边所在直线的方程为
（2）由可得直线的倾斜角为，
故斜率，
故所在直线的方程为．
【对点训练13】（2023·江西九江·高二校考阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，求边上的中线所在直线的方程．
【解析】,，
的中点为，
又，
由斜率公式可知，边上的中线所在直线的斜率，
边上的中线所在直线的方程为，
即直线的方程为：.
题型八：判断动直线所过定点
【例8】（2023·高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把直线方程整理为，
令，故，所以直线恒过定点为.
故选：C.
【对点训练14】（2023·高二课时练习）不论m取何值，直线都过定点（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，整理得，
令，解得，
所以直线过定点.
故选：B.
【对点训练15】（2023·高二课时练习）直线恒过定点（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将变形为：，令且，解得，
所以直线恒过定点.
故选：A
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
【例9】（2023·江苏·高二假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程.
【解析】由题意知，直线在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线的方程为，
由已知可得，解得或，
所以或，
故直线的方程为或．
【对点训练16】（2023·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知直线的方程为：.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程.
【解析】（1）证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
【对点训练17】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【解析】（1）证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
（2）设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．


【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高二校考课时练习）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数的值为（    ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】由直线，令，可得；令，可得，
因为直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，
所以，可得，解得.
故选：C.
2．（2023·高二校考课时练习）若直线l的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，且直线l经过点,则直线l的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线的斜率为1,所以其倾斜角等于45°,于是直线l的倾斜角等于90°,则其斜率不存在.又直线l过点(2,4),所以直线l的方程为.
故选：C
3．（2023·四川泸州·高二统考期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设直线l的斜率为，则方程为，
令，解得，
故直线l在x轴上的截距为，
∵在x轴上的截距的取值范围是，
∴，解得或.
故选：C.
4．（2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知直线方程：，若不经过第二象限，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得.
当时，，此时不经过第二象限，
所以.
当时，若不经过第二象限，则，解得.
所以，的取值范围为.
故选：C
5．（2023·上海浦东新·高二统考期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线l的方程为，整理得，故C正确；
对于A：由整理得，故A正确；
对于B：由整理得，故B正确；
对于D：由整理得，故D错误；
故选：D.
6．（2023·河南平顶山·高二统考期末）已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（    ）
A． B．1 C． D．5
【答案】A
【解析】因为直线的方向向量为，所以直线斜率，
又直线过点，所以直线方程为，即，
令，得，所以在x轴上的截距为-1.
故选：A
7．（2023·上海·高二专题练习）如果且，那么直线不经过第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【解析】∵且，则
∴，，
∴直线，即直线的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，
故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
8．（2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
即，
所以点的轨迹方程为，
显然不论取何值，总有满足方程，
即点的轨迹过定点，
故选：A
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）过点，且斜率的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】根据直线方程的点斜式可得，，即.
故选：CD.
10．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（    ）
A．直线恒过定点
B．直线斜率必定存在
C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
D．时直线的倾斜角为
【答案】BD
【解析】对于A，直线：恒过定点，A正确；
对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在，B错误；
对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点，
此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确；
对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误.
故选：BD
11．（2023·山东日照·高二校考阶段练习）下面说法中错误的是（　　）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示
【答案】ABC
【解析】对A，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故A错误；
对B，经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故B错误；
对C，不仅过原点的直线不可以用方程表示，
而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程表示，故C错误；
对D，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为，即，
当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程，
所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故D正确.
故选：ABC.
12．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知直线，其中为实常数，则（    ）
A．直线过一定点
B．无论m取何值，直线不经过原点
C．当时，直线与轴交于它的负半轴
D．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是
【答案】ABD
【解析】对于，因为直线的方程为，令，
解得：，所以直线过定点，故选项正确；
对于，若直线l经过原点，则，所以无论m取何值，直线不经过原点，故选项正确；
对于，令可得：，当时，，直线与轴交于负半轴；当时，直线与轴没有交点；当时，直线与轴交于正半轴，故选项错误；
对于，当时，直线的方程为：，与两坐标轴的交点分别为，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是，故选项正确，
故选：.
三、填空题
13．（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为________________.
【答案】或.
【解析】设直线方程的截距式为.
则，解得或，
则直线方程是或，
即或.
故答案为：或.
14．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 ________.
【答案】/-0.5
【解析】令，得，令，得．
由于直线在轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，
故，解得．
故答案为：
15．（2023·高二课时练习）已知直线经过点，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为__________．
【答案】
【解析】若直线的斜率不存在，则方程为，显然它在x轴上的截距为1，符合题意；
若直线的斜率存在，设为，则方程为，
代入可得，不成立；
综上所述：直线的方程为.
故答案为：.
16．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为_______.
【答案】
【解析】因为直线与直线和的交点分别为，
设，
因为点是线段的中点，由中点公式可得，
解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.
【解析】依题意，直线的斜率，
直线的方程为，即，当时，，
所以直线的方程为，直线l在y轴上的截距为.
18．（2023·江苏·高二假期作业）如图，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，过点作直线AB分别与OA，OB交于点A、B，当AB的中点为P时，求直线AB的方程.
  
【解析】由题意得，射线所在直线的方程为，射线所在直线的方程为，
设，
因为的中点为，所以，解得，
所以，
即直线的方程为.
19．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限的中，，，，，求直线BC的点斜式方程.
【解析】如图：

  
因为，所以，
故直线BC的点斜式方程为.
20．（2023·江苏·高二假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解析】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.
（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，
故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2.
（3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝．
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，
故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
21．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程.
【解析】因为直线为水平直线，
所以，
故边所在直线的点斜式方程为.
22．（2023·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直线的方程为．
(1)求直线过的定点P 的坐标；
(2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程；
【解析】（1）由题意，直线的方程可化为，
联立方程组解得，
所以直线过的定点．
（2）设直线 ，则，
由 （1） 知，直线 过的定点，可得，
因为，
所以，解得，
当且仅当且即时，等号成立，
所以面积为 ，
此时对应的直线方程为，即．