第09讲 圆的方程（七大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第09讲 圆的方程
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：轨迹问题
题型五：二元二次曲线与圆的关系
题型六：圆过定点
题型七：与圆有关的对称问题
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径．
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
知识点诠释：
由方程得
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3、求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【典例例题】
题型一：圆的标准方程
【例1】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（    ）
A．
B．
C．
D．

【对点训练1】（2023·福建漳州·高二校联考期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

【对点训练3】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ）
A． B．
C． D．

题型二：圆的一般方程
【例2】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（    ）
A． B．
C． D．

【对点训练4】（2023·高二课时练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ）
A． B．
C． D．

【对点训练5】（2023·高二课时练习）当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（   ）
A． B．
C． D．

题型三：点与圆的位置关系
【例3】（2023·高二课时练习）点与圆的位置关系是（    ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定

【对点训练6】（2023·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（    ）．
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定

题型四：轨迹问题
【例4】（2023·高二课时练习）已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．




【对点训练7】（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.




【对点训练8】（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
  




【对点训练9】（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线C.
(1)求此曲线的方程.
(2)若点Q在直线：上，点为曲线C上的动点，求的最小值.




题型五：二元二次曲线与圆的关系
【例5】（2023·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ）
A． B．2 C．0 D．

【对点训练10】（2023·陕西·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【对点训练11】（2023·上海·高二专题练习）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

题型六：圆过定点
【例6】（2023·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ）
A．和 B．和 C．和 D．和

【对点训练12】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．

【对点训练13】（2023·全国·高二专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______

题型七：与圆有关的对称问题
【例7】（2023·广东广州·高二校考期末）已知圆关于直线对称，则___________.

【对点训练14】（2023·湖北十堰·高二校联考期中）点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的半径是__________.

【对点训练15】（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______．

【对点训练16】（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）圆关于直线对称，则实数________．


【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·高二课时练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高二课时练习）两圆和的圆心连线方程为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·高二课时练习）若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点P在圆 上，则点P到x轴的距离的最大值为（    ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2023·高二单元测试）圆关于直线对称的圆是（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023·云南·高二校联考阶段练习）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（    ）
A．7 B．8 C．9 D．12
8．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知点，，，点P在圆上运动，则的最大值为（    ）
A．88 B．77 C．66 D．55
二、多选题
9．（2023·高二课时练习）下列方程不是圆的一般方程的有（    ）
A． B．
C． D．
10．（2023·广东惠州·高二惠州一中校考阶段练习）设有一组圆，下列说法正确的是（    ）
A．这组圆的半径均为1
B．直线平分所有的圆
C．存在直线被所有的圆，截得的弦长相等
D．存在一个圆与x轴和y轴均相切
11．（2023·湖南郴州·高二校考期中）圆（　　）
A．关于点对称 B．半径为
C．关于直线对称 D．关于直线对称
12．（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）已知圆和点，，若C上存在点P，使得，则m的可能值是（    ）
A．4 B．7 C．2 D．8
三、填空题
13．（2023·四川成都·高二校联考期末）曲线所围成平面区域的面积为______．
14．（2023·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______.
15．（2023·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是______．
16．（2023·高二课时练习）过圆外一点作圆的两条切线，切点A、B，则的外接圆的方程是________．
四、解答题
17．（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？




18．（2023·高二课时练习）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程.




19．（2023·高二单元测试）已知圆C过点.
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C关于直线对称圆的方程.




20．（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线上，且过点的圆；
(2)过三点的圆.




21．（2023·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，且被直线平分.
(1)求圆的一般方程；
(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.




22．（2023·江西宜春·高二校考阶段练习）已知方程表示圆，其圆心为.
(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；
(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.