2023永州高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2023永州高一下学期期末数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

永州市2023年上期高一期末质量监测试卷
数 学
命题人：
审题人：
注意事项：
1．全卷满分150分，时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
4．袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个球，则取出的2个球都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（ ）

A． B． C． D．
7．已知，，均为单位向量，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，BD平分，且BD交AC于D，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现点数为奇数”，事件“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若复数，则复数z在复平面内所对应的点在第四象限
B．若两个复数的积是实数，则它们一定互为共轭复数
C．若向量，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为
D．若，且，则A，B，C三点共线
11．在直三棱柱中，点D是的中点，，，，点P为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ）

A． B．点到平面的距离是
C．直线BC与平面所成角的正弦值是 D．线段BP长的最小值是
12．在中，，，，，，则（ ）
A．线段AN的长度为
B．
C．
D．存在点P在线段AB的延长线上，使得的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是________．
14．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
15．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是________．
16．在矩形中，，，点E，F分别为BC，AD的中点，点H为AE的中点，将沿直线AE翻折至的位置，当时，三棱锥的外接球的体积是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若与共线，求的值．
18．（本题满分12分）锦绣潇湘·大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人次，同比大幅增长．当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：，，，，，，绘制如图所示频率分布直方图．

（1）已知样本中分数在的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；
（2）已知样本中男游客与女游客比例为，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差．
参考公式：分层抽样中两组数据x，y的抽样比例是，则总样本方差，其中为总样本平均数．
19．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，点O为BD的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为4的等边三角形，点E为AD中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

20．（本题满分12分）一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响．设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．
（1）记“”为事件A，求的值．
（2）记“函数，在区间上单调递增”为事件B，求的值．
（函数的单调性只需判断，不要求证明）
21．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，线段PC上是否存在一点F，使平面？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分）

22．（本题满分12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点D，P为平面内两动点，，点N是BC的中点，DN与AC相交于点M（点M异于点A，C），点O为内切圆圆心，且．
（1）求角A和的值；
（2）设，，求的最小值．


永州市2023年上期高一期末质量监测试卷
数学参考答案及评分标准

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
C
D
C
D
D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得2分）
题号
9
10
11
12
答案
AD
ACD
ACD
BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．168 14． 15． 16．
部分小题解答过程：
8．D
解：在，设，
则，
，
，


整理得


当且仅当，即时，取得最小值
此时的最小值为．
12．BCD
解：对于A选项，，
，，故A错误.
对于B选项，，故B正确.
对于C选项，,又由于
所以
因为，，得，得
所以，故C正确.
对于D选项，如图，过点M和点C分别作AB延长线的垂线，垂足分别为D，H
①当点P与点H重合时，MH=MB，
；
②当点P在BH的延长线上时，设,设 ，
则，

故
③当点P在HB线段上时，易知
综上所述，存在点P，使得的最大值为，故D正确
16．
解：如图，点F为的外心，过点F作直线l，使l⊥平面ABCD．
又H点为的外心，过H点作⊥平面．
交l于O点，即点O为球心．
易知，则，
在中：．
所以球的体积为．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解析：
（1） …………………………………1分
…………………………………2分
由，得 ………………………3分
即 …………………………………………………4分
解得 ……………………………………………………………5分
（2） …………… ………………………………6分
……………………………………………7分
由与共线，得 …………………8分
化简得 ………………………………………………………9分
故 ………………………………………………………10分
18. 解析：
（1）由频率分布直方图可知分数在内的频率为
………… …….…………………………. 1分
故分数在内的人数为 ……………………………2分
所以分数小于80分的人数为 ……………………………3分
由题意可设第75百分位数为x， ……………………………4分
则 ……………………………………………………………5分
解得
故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94 ……………6分
（2）由已知可得总样本平均值为 ……………………………7分
…………………8分
又由
…………………10分
………………………………………………………11分
所以用样本估计总体，总体的方差约为 ………………………12分
19. 解析：
（1）证明：AB=AD，点O为BD中点
AO⊥BD ……………………………………………………………. 1分
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD,平面ABD，
AO⊥平面BCD ………………………………………………….2分
又平面BCD ………………………………………………… 3分
AO⊥BC ……………………………………………………………4分
（2）过点E作EF∥AO交BD于点F，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接EM
AO⊥平面BCD，EF//AO
EF⊥平面BCD …………………5分
又平面BCD
EF⊥BC．
FM⊥BC，
BC⊥平面EFM ………………………6分
又平面EFM
BC⊥EM …………………………………7分
二面角E-BC-D的平面角为
且 ……………………………8分
,为正三角形
为直角三角形，
FM∥CD，点F为BD的靠近点D四等分点………………………………………9分


……………………………………………………………10分
平面BCD …………………………………………………11分
……………………………12分

20．解析：
（1）由条件可知C的取值为，，1，3 ……………………………1分
当时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览 …2分
其概率为 ……………3分
当时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览 …4分
其概率为 …5分
故 ………………………6分
（2）当时，在上单调递增 ……………………………7分
当时，在上单调递增 ……………………………8分
当时，在上单调递增 ………………………9分
当时，在上不是单调递增 …………………10分
…………………………………11分
故 …………………………………12分
21．解析：
（1）证明：连接交于点，连接OE
四边形是正方形，
点是的中点 ………………1分
又点是的中点，
………………2分
平面，平面 …………………3分
平面 ………………………4分
（2）存在 ……………………………………………………………5分
理由如下：
过点A作AF⊥PC，垂足为点F，由（1）可知

平面，平面
………………………………………………………6分
四边形为正方形

又平面，平面，
平面
又平面ACP
…………………………………………………………………7分
又平面，平面BDE，，
平面 ………………………………………………………8分
，， ………9分
在中，由等面积法可得 ………10分
………………………11分
存在点F，使得平面， ………………………12分
22．解析：
（1）由已知，
根据正弦定理得 … 1分



因为，所以 ………………………………… 2分
则解得或 即或
又，故，则， ……………3分
所以是等边三角形，故内切圆圆心为的中心
以O点为原点建立如图所示平面坐标系xOy，设，，
， …………………………………………………4分
所以，
………………5分


故，的值为 ……………………………………6分
（2）设，，则
即，则 ………………………7分
……………………………8分
………………………………………9分
………10分
当且仅当即时取等号 ……………………………11分
故的最小值为 ……………………………………………12分