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安徽省合肥市六校联考中考数学模拟试卷（一）
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这是一份安徽省合肥市六校联考中考数学模拟试卷（一），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省合肥市六校联考中考数学模拟试卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−2|的相反数为( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 安徽省2023年《政府工作报告》指出去年粮食产量达到亿斤，其中亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下图中，不是右图所示物体从正面、左面和上面三个方向看到的图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算中正确的是( )
A. a2+a2=2a4 B. a6÷a2=a3
C. (−2a2b)3=−8a6b3 D. (a−b)2=a2−b2
5. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点E在AB上，BC//EF，则∠1的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
6. 下列定理中，没有逆定理的是( )
A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 直角三角形的两锐角互余
C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 同位角相等，两直线平行
7. 已知：△ABC中，∠C=45°，D为BC边上一点，AD=AB，BD=2，BH⊥AD于H，BH延长线交AC于E，则CE的长为( )
A. 2
B. 45
C. 3
D. 1
8. 在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm，且方差分别为s甲 2=3.1，s乙2=2.9，s丙2=2.3，s丁2=1.8，则这四队女演员的身高最整齐的是( )
A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 丁队
9. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=ax与二次函数y=ax2−a的图象可能是( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形ABCD一边AB在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，AB=2PA=4，E为边AD上一动点，过点P，E的直线与正方形ABCD的边交于点F，连接BE，BF，若设DE=x，△BEF的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a−b|−|a+c|的值为______．
12. 如果y= x−2+ 2−x+5，那么yx的值是______．
13. 已知某直线经过点A(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2.则该直线的一次函数表达式是______ ．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足，则线段BP的最小值是______ ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：．
16. (本小题8.0分)
某项工程，甲工程队单独施工10天后，为加快进度，乙工程队也加入一起施工，这样共用30天完成了任务，已知乙工程队单独施工需要40天完成，求甲工程队单独完成此项工程所需的天数．
17. (本小题8.0分)
如图，在边长为1个单位的小正方形组成的12×12网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC，并建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△DEF(点A，B，C的对应点分别为D，E，F)；
(2)将△DEF向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到△GHI(点D，E，F的对应点分别为G，H，I)，画出平移后的△GHI，并写出点I的坐标．
18. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：21×23−13=11；
第2个等式：22×34−14=12；
第3个等式：23×45−15=13；
第4个等式：24×56−16=14；
…
按照以上规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式 ；
(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．
19. (本小题10.0分)
为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCD，培育绿植销售，空地南北边界AB//CD，西边界BC⊥AB，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，在点D的北偏东48°方向，BC=780米，求空地南北边界AB和CD的长(结果保留整数，参考数据：tan48°≈1.1，tan58°≈1.6)．
20. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tanB=12，⊙O的半径为5，求线段CF的长．
21. (本小题12.0分)
皖丰果园随机在园中选取20棵苹果树，并统计每棵苹果树结果的个数如下：
32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
51 36 44 46 40 53 37 47 45 46
(1)求前10棵苹果树每棵结果个数的中位数和众数；
(2)若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图；
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
个数分组
28≤x<36
36≤x<44
44≤x<52
52≤x<60
60≤x<68
个数
2
4
2
(3)若从第一组和第五组中随机选取两棵树进行细化研究，求选取的两棵树恰巧属于不同组别的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M.DE⊥BC于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段DE长度的最大值；
(3)连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23. (本小题14.0分)
在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，
且CF=DF．
(1)求证：△ACD∽△BCF；
(2)如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．
①求证：∠PMN=135°；
②若AD=2 2，求△PMN的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−2|=2，
2的相反数是−2，
所以|−2|的相反数是−2．
故选：B．
先根据绝对值的意义求出−2的绝对值，再根据相反数的定义写出它的相反数即可．
本题考查了绝对值、相反数的理解与运算能力，掌握负数的绝对值是它的相反数是关键．
2.【答案】C
【解析】解：亿．
故选：C．
根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法：a×10n(1≤|a|<10)，n为整数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：这个组合体的三视图如下：
故选：B．
画出这个组合体的三视图，再进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确判断的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2+a2=2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2=a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、(−2a2b)3=−8a6b3，原计算正确，故此选项符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意，
故选：C．
先根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示：
由题意得：∠3=45°，
∵BC//EF，
∴∠2=∠C=30°，
．
故选：D．
根据平行线的性质和直角三角板的性质可得∠2=∠C，∠3=45°，再利用三角形的外角性质即可求解．
本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
6.【答案】C
【解析】解：A、逆定理是两直线平行，同旁内角互补；
B、逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形；
C、逆命题是绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，故没有逆定理；
D、逆定理是两直线平行，同位角相等；
故选：C．
根据逆命题的定义写出各命题的逆命题，然后进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】A
【解析】解：过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，
∵AB=AD，AM⊥BC，
∴∠BAM=∠DAM，BM=DM，
∵BH⊥AD，
∴∠HBD+∠HDB=90°，
又∵∠HDB+∠MAD=90°，
∴∠HBD=∠MAD，
∴∠HBD=∠BAM=∠MAD，
∵∠C=45°，
∴∠MAC=∠FEC=45°，
∵∠AEB=∠C+∠EBC=45°+∠EBC，∠BAC=∠MAC+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠AEB=∠BAC，
∴AB=BE，
在△ABM和△BEF中，
∠AMB=∠EFB∠BAM=∠EBFAB=BE，
∴△ABM≌△BEF(AAS)，
∴EF=BM=1，
∴CE= 2EF= 2，
故选：A．
过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质得出∠BAM=∠DAM，BM=DM，证出AB=BE，证明△ABM≌△BEF(AAS)，由全等三角形的性质得出EF=BM=1，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明△ABM≌△BEF是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵S甲2=3.1，S乙2=2.9，S丙2=2.3，S丁2=1.8，丁队的方差最小，
∴这四队女演员的身高最整齐的是丁队，
故选：D．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9.【答案】A
【解析】解：A、由反比例函数的图象可知，a<0，由二次函数的图象可知a<0，两结论一致，符合题意；
B、由反比例函数的图象可知，a<0，由二次函数的图象可知a>0，两结论矛盾，不符合题意；
C、由反比例函数的图象可知，a>0，由二次函数的图象可知a>0，抛物线顶点坐标应在y轴负半轴，不符合题意；
D、由反比例函数的图象可知，a<0，由二次函数的图象可知a<0，故−a>0，抛物线顶点坐标应在y轴正半轴，不符合题意．
故选：A．
分别根据反比例函数的图象与系数的关系及二次函数的图象与系数的关系逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：AB=2PA=4，
∴AB=4，AP=2，PB=4+2=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=4，
点F在边CD上时，DE=x，AE=4−x，
∴S=S△BPF−S△BPE=12×6×4−12×6(4−x)=3x，
点F与点C重合时时，
S=12×4×4=8，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴PAPB=AEBC，
∴26=4−x4，解得x=83，
点F在边BC上时，
∵AD//BC，
∴PAPB=AEBF，即26=4−xBF，
∴BF=12−3x，
∴S=12×4(12−3x)=24−6x，
∴当x<83时，S=3x，当x=83时，S=8，当83
故选：B．
分别求出点F在边CD上时，点F与点C重合时时，点F在边BC上时，S与x之间的函数关系式，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键．
11.【答案】b+c
【解析】解：根据数轴上点的位置得：c<0
则原式=−(a−b)+(a+c)=−a+b+a+c=b+c．
故答案为：b+c．
根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
本题考查数轴、绝对值等知识，解题的关键是记住绝对值的性质：数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
12.【答案】25
【解析】解：∵x−2≥0，2−x≥0，
∴x=2，
∴y=5，
∴yx=52=25．
故答案为：25．
根据二次根式的被开方数是非负数求出x的值，进而得到y的值，代入代数式求值即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13.【答案】y=x+2或y=−x+2
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是(−bk,0)；与y轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
设直线解析式为y=kx+b，先把(0,2)代入得b=2，再确定直线与x轴的交点坐标为(−2k,0)，然后根据三角形的面积公式得到12×2×|−2k|=2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式．
【解答】
解：设直线解析式为y=kx+b，
把(0,2)代入得b=2，
所以y=kx+2，
把y=0代入得x=−2k，
所以12×2×|−2k|=2，
解得：k=1或−1，
所以直线解析式为y=x+2或y=−x+2．
故答案为：y=x+2或y=−x+2．
14.【答案】2 3
【解析】
解：(1)∵四边形ABCD矩形，
∴∠BCD=90°，
，
，
∴∠PDC+∠PCD=90°，
∴∠CPD=90°，
以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．
，
∴OB=5，
，
(2)作OF//BC交DE于F，
∵OC=OD，
∴DF=EF，
∴OF=12CE，
，
，
∴CE=3．
故答案为：2；3．
通过辅助圆找到点P的位置，即可解决问题．
本题考查几何中的最值问题，关键是通过辅助圆得到PB最小时的点P．
15.【答案】解：原式=1−( 3−1)−2+6 33
= 3．
【解析】根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊三角函数值的代入，分母有理化即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，分母有理化和特殊三角函数值，本题属于基础题型．
16.【答案】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
根据题意得：30x+30−1040=1，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天．
【解析】设甲工程队单独完成此项工程需要x天，利用甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程款=总工程量，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示：△DEF即为所求；
(2)如图所示：△GHI即为所求，点I的坐标为(3,−1)．
【解析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置得出答案；
(2)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18.【答案】25×67−17=15 2n×n+1n+2−1n+2=1n
【解析】解：(1)由题意得：第5个等式为：25×67−17=15；
故答案为：25×67−17=15；
(2)猜想：2n×n+1n+2−1n+2=1n，
证明：等式左边=2n+2n(n+2)−nn(n+2)
=2n+2−nn(n+2)
=n+2n(n+2)
=1n
=右边，
故猜想成立．
故答案为：2n×n+1n+2−1n+2=1n．
(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；
(2)分析所给的等式的形式，不难得到第n个等式为：2n×n+1n+2−1n+2=1n，再把等式左边的式子进行整理即可证明．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚等式中的数字与序号之间的关系．
19.【答案】解：由题意可知：∠BCA=58°，∠ADE=48°，
过D作于DE⊥AB于点E，
∵AB//CD，BC⊥AB，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=780米，
在Rt△ABC中，tan58°=ABBC，
∵BC=780米，tan58°≈1.6，
∴AB≈780×1.6≈1248(米)，
在Rt△ADE中，tan48°=AEDE，
∵DE=BC=780米，tan48°≈1.1，
∴AE≈780×1.1≈858(米)，
∴CD≈1248−858≈390(米)，
答：AB的长和CD的长分别约为1248米和390米．
【解析】由题意可知：∠BCA=58°∠ADE=48°，过D作于DE⊥AB于E，易得四边形BCDE为矩形，从而可知DE=BC，然后根据锐角三角函数的定义分别求出AB与AE的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出AE与CD的长度，本题属于基础题型．
20.【答案】(1)证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∵AB=10，
∴AC=AB=10，
∴∠B=∠C，
在Rt△ADC中，tanB=tanC=AD DC=12，
∴AD2+(2AD)2=102，
∴AD=2 5，
∴CD=4 5，
在Rt△CED中，tanC=DECE=12，
∴DE2+(2DE)2=(4 5)2，
∴DE=4，
∴CE=8，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA=90°，
∵DE⊥AC，
∴DE//BF，
∴EF=CE=8，
∴CF=16．
【解析】(1)根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD//AC，根据平行线的性质得到DE⊥AC；
(2)连接AD，BF，根据余弦的定义求出CD，进而求出CE，根据平行线分线段成比例定理得到FE=CE，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将前10个数从小到大依次排列为：
28 32 39 41 45 54 55 56 60 60
第5个和第6个数分别为45和54，它们两个数的平均数为49.5，所以中位数为49.5，
出现次数最多的是60，出现了两次，所以众数为60；
(2)补全频数分布表如下：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
个数分组
28≤x<36
36≤x<44
44≤x<52
52≤x<60
60≤x<68
个数
2
5
7
4
2
补全频数分布直方图(如下)
(3)设第一组的两棵树分别为A、B，第二组的两棵树分别为C、D，
画树状图为：
共用12种等可能的结果，其中选取的两棵树恰巧属于不同组别的结果数为8，
所以选取的两棵树恰巧属于不同组别的概率=812=23．
【解析】(1)根据求中位数和众数的方法即可求解；
(2)利用20个频数即可补全第三组和第四组的频数，再补全直方图；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选取的两棵树恰巧属于不同组别的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,3)代入，得：a×(0+1)×(0−3)=3，
解得a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设D(m,−m2+2m+3)，且0
在Rt△BOC中，BO=3，OC=3，BC= 32+32=3 2，
设直线BC的解析式为y=kx+n，将B(3,0)，C(0,3)代入，
得3k+n=0n=3，
解得k=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∴M(m,−m+3)，
∴DM=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEM=∠BOC=90°，
∵DQ⊥x轴，
∴DQ//y轴，
∴∠DME=∠BCO，
∴△DME∽△BCO，
∴DEDM=BOBC，即DE−m2+3m=33 2，
∴DE=− 22m2+3 22m=− 22(m−32)2+9 28，
∴当m=32时，DE取得最大值，最大值是9 28；
(3)存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等．
∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OC=OB=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵DQ⊥x轴，
∴∠BMQ=∠DME=45°，
∵DE⊥BC，
∴ME=DE，
设D(m,−m2+2m+3)，且0
由(2)知DE=− 22m2+3 22m，
∴CE= 2m−(− 22m2+3 22m)= 22m2− 22m，
①若∠DCE=∠CAO，
∴tan∠DCE=tan∠CAO=OCOA=3，
∵tan∠DCE=DECE=3，
∴DE=3CE，
∴− 22m2+3 22m=3( 22m2− 22m)，
解得m=32或0(舍去)，
∴点D的坐标为(32,154)；
②若∠CDE=∠CAO，
则tan∠CDE=tan∠CAO=3，
∵tan∠CDE=CEDE=3，
∴CE=3DE，
∴3(− 22m2+3 22m)= 22m2− 22m，
解得m=52或0(舍去)，
∴点D的坐标为(52,74)；
综上，存在，点D的坐标为(32,154)或(52,74).
【解析】(1)根据题意可得y=a(x+1)(x−3)，将C(0,3)代入y=a(x+1)(x−3)，解方程即可；
(2)设D(m,−m2+2m+3)，先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；
(3)△CDE中有一个角与∠CAO相等，分两种情况：①若∠DCE=∠CAO，②若∠CDE=∠CAO，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC、△CDF都是等腰直角三角形，
∴∠BCF=45°+∠ECF，∠ACD=45°+∠ECF，
∴∠ACD=∠BCF，
∵BC：AC=CF：CD=1： 2，
∴BC：CF=AC：CD，
∴△ACD∽△BCF；
(2)①证明：∵△ACD∽△BCF，
∴∠ADC=∠BFC=90°，
∵∠CDF=45°，
∴∠ADB=45°，
如图，作PM延长线，交AD于点H，
∵点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，
∴MH//DN、MN//DH，
∴四边形MNDH为平行四边形，
∴∠HMN=∠ADB=45°，
∴∠PMN=135°；
②如图，作PG⊥NM，交NM延长线于点G，
∵△ACD∽△BCF，
∴ADBF=CDCF= 2，
∴BF=AD 2=2，
∵PM为△ABF中位线，
∴PM=12BF=1，
同理MN=12AD= 2，
又∵∠PMN=135°，
∴∠PMG=180°−135°=45°，
∴PG=PM 2= 22，
∴S△PMN=12⋅MN⋅PG=12× 2× 22=12．
【解析】(1)根据两边成比例夹角相等，两三角形相似证明即可；
(2)①如图中，延长PM交AD于H，证明四边形MNDH是平行四边形，推出∠HMN=∠ADB=45°，推出∠PMN=135°；
②如图，延长MN，作PG⊥MN交于点G，由△ACD∽△BCF，得出BF=2，由PM为△ABF中位线，得出PM=1，同理得出MN= 2，再判断出△PMG为等腰直角三角形，得出PG= 22，最后根据三角形面积公式即可求出面积．
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是正确寻找相似三角形解决问题．
安徽省合肥市六校联考中考数学模拟试卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−2|的相反数为( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 安徽省2023年《政府工作报告》指出去年粮食产量达到亿斤，其中亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下图中，不是右图所示物体从正面、左面和上面三个方向看到的图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算中正确的是( )
A. a2+a2=2a4 B. a6÷a2=a3
C. (−2a2b)3=−8a6b3 D. (a−b)2=a2−b2
5. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点E在AB上，BC//EF，则∠1的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
6. 下列定理中，没有逆定理的是( )
A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 直角三角形的两锐角互余
C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 同位角相等，两直线平行
7. 已知：△ABC中，∠C=45°，D为BC边上一点，AD=AB，BD=2，BH⊥AD于H，BH延长线交AC于E，则CE的长为( )
A. 2
B. 45
C. 3
D. 1
8. 在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm，且方差分别为s甲 2=3.1，s乙2=2.9，s丙2=2.3，s丁2=1.8，则这四队女演员的身高最整齐的是( )
A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 丁队
9. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=ax与二次函数y=ax2−a的图象可能是( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形ABCD一边AB在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，AB=2PA=4，E为边AD上一动点，过点P，E的直线与正方形ABCD的边交于点F，连接BE，BF，若设DE=x，△BEF的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a−b|−|a+c|的值为______．
12. 如果y= x−2+ 2−x+5，那么yx的值是______．
13. 已知某直线经过点A(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2.则该直线的一次函数表达式是______ ．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足，则线段BP的最小值是______ ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：．
16. (本小题8.0分)
某项工程，甲工程队单独施工10天后，为加快进度，乙工程队也加入一起施工，这样共用30天完成了任务，已知乙工程队单独施工需要40天完成，求甲工程队单独完成此项工程所需的天数．
17. (本小题8.0分)
如图，在边长为1个单位的小正方形组成的12×12网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC，并建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△DEF(点A，B，C的对应点分别为D，E，F)；
(2)将△DEF向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到△GHI(点D，E，F的对应点分别为G，H，I)，画出平移后的△GHI，并写出点I的坐标．
18. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：21×23−13=11；
第2个等式：22×34−14=12；
第3个等式：23×45−15=13；
第4个等式：24×56−16=14；
…
按照以上规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式 ；
(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．
19. (本小题10.0分)
为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCD，培育绿植销售，空地南北边界AB//CD，西边界BC⊥AB，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，在点D的北偏东48°方向，BC=780米，求空地南北边界AB和CD的长(结果保留整数，参考数据：tan48°≈1.1，tan58°≈1.6)．
20. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tanB=12，⊙O的半径为5，求线段CF的长．
21. (本小题12.0分)
皖丰果园随机在园中选取20棵苹果树，并统计每棵苹果树结果的个数如下：
32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
51 36 44 46 40 53 37 47 45 46
(1)求前10棵苹果树每棵结果个数的中位数和众数；
(2)若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图；
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
个数分组
28≤x<36
36≤x<44
44≤x<52
52≤x<60
60≤x<68
个数
2
4
2
(3)若从第一组和第五组中随机选取两棵树进行细化研究，求选取的两棵树恰巧属于不同组别的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M.DE⊥BC于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段DE长度的最大值；
(3)连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23. (本小题14.0分)
在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，
且CF=DF．
(1)求证：△ACD∽△BCF；
(2)如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．
①求证：∠PMN=135°；
②若AD=2 2，求△PMN的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−2|=2，
2的相反数是−2，
所以|−2|的相反数是−2．
故选：B．
先根据绝对值的意义求出−2的绝对值，再根据相反数的定义写出它的相反数即可．
本题考查了绝对值、相反数的理解与运算能力，掌握负数的绝对值是它的相反数是关键．
2.【答案】C
【解析】解：亿．
故选：C．
根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法：a×10n(1≤|a|<10)，n为整数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：这个组合体的三视图如下：
故选：B．
画出这个组合体的三视图，再进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确判断的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2+a2=2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2=a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、(−2a2b)3=−8a6b3，原计算正确，故此选项符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意，
故选：C．
先根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示：
由题意得：∠3=45°，
∵BC//EF，
∴∠2=∠C=30°，
．
故选：D．
根据平行线的性质和直角三角板的性质可得∠2=∠C，∠3=45°，再利用三角形的外角性质即可求解．
本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
6.【答案】C
【解析】解：A、逆定理是两直线平行，同旁内角互补；
B、逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形；
C、逆命题是绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，故没有逆定理；
D、逆定理是两直线平行，同位角相等；
故选：C．
根据逆命题的定义写出各命题的逆命题，然后进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】A
【解析】解：过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，
∵AB=AD，AM⊥BC，
∴∠BAM=∠DAM，BM=DM，
∵BH⊥AD，
∴∠HBD+∠HDB=90°，
又∵∠HDB+∠MAD=90°，
∴∠HBD=∠MAD，
∴∠HBD=∠BAM=∠MAD，
∵∠C=45°，
∴∠MAC=∠FEC=45°，
∵∠AEB=∠C+∠EBC=45°+∠EBC，∠BAC=∠MAC+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠AEB=∠BAC，
∴AB=BE，
在△ABM和△BEF中，
∠AMB=∠EFB∠BAM=∠EBFAB=BE，
∴△ABM≌△BEF(AAS)，
∴EF=BM=1，
∴CE= 2EF= 2，
故选：A．
过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质得出∠BAM=∠DAM，BM=DM，证出AB=BE，证明△ABM≌△BEF(AAS)，由全等三角形的性质得出EF=BM=1，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明△ABM≌△BEF是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵S甲2=3.1，S乙2=2.9，S丙2=2.3，S丁2=1.8，丁队的方差最小，
∴这四队女演员的身高最整齐的是丁队，
故选：D．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9.【答案】A
【解析】解：A、由反比例函数的图象可知，a<0，由二次函数的图象可知a<0，两结论一致，符合题意；
B、由反比例函数的图象可知，a<0，由二次函数的图象可知a>0，两结论矛盾，不符合题意；
C、由反比例函数的图象可知，a>0，由二次函数的图象可知a>0，抛物线顶点坐标应在y轴负半轴，不符合题意；
D、由反比例函数的图象可知，a<0，由二次函数的图象可知a<0，故−a>0，抛物线顶点坐标应在y轴正半轴，不符合题意．
故选：A．
分别根据反比例函数的图象与系数的关系及二次函数的图象与系数的关系逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：AB=2PA=4，
∴AB=4，AP=2，PB=4+2=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=4，
点F在边CD上时，DE=x，AE=4−x，
∴S=S△BPF−S△BPE=12×6×4−12×6(4−x)=3x，
点F与点C重合时时，
S=12×4×4=8，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴PAPB=AEBC，
∴26=4−x4，解得x=83，
点F在边BC上时，
∵AD//BC，
∴PAPB=AEBF，即26=4−xBF，
∴BF=12−3x，
∴S=12×4(12−3x)=24−6x，
∴当x<83时，S=3x，当x=83时，S=8，当83
故选：B．
分别求出点F在边CD上时，点F与点C重合时时，点F在边BC上时，S与x之间的函数关系式，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键．
11.【答案】b+c
【解析】解：根据数轴上点的位置得：c<0
则原式=−(a−b)+(a+c)=−a+b+a+c=b+c．
故答案为：b+c．
根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
本题考查数轴、绝对值等知识，解题的关键是记住绝对值的性质：数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
12.【答案】25
【解析】解：∵x−2≥0，2−x≥0，
∴x=2，
∴y=5，
∴yx=52=25．
故答案为：25．
根据二次根式的被开方数是非负数求出x的值，进而得到y的值，代入代数式求值即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13.【答案】y=x+2或y=−x+2
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是(−bk,0)；与y轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
设直线解析式为y=kx+b，先把(0,2)代入得b=2，再确定直线与x轴的交点坐标为(−2k,0)，然后根据三角形的面积公式得到12×2×|−2k|=2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式．
【解答】
解：设直线解析式为y=kx+b，
把(0,2)代入得b=2，
所以y=kx+2，
把y=0代入得x=−2k，
所以12×2×|−2k|=2，
解得：k=1或−1，
所以直线解析式为y=x+2或y=−x+2．
故答案为：y=x+2或y=−x+2．
14.【答案】2 3
【解析】
解：(1)∵四边形ABCD矩形，
∴∠BCD=90°，
，
，
∴∠PDC+∠PCD=90°，
∴∠CPD=90°，
以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．
，
∴OB=5，
，
(2)作OF//BC交DE于F，
∵OC=OD，
∴DF=EF，
∴OF=12CE，
，
，
∴CE=3．
故答案为：2；3．
通过辅助圆找到点P的位置，即可解决问题．
本题考查几何中的最值问题，关键是通过辅助圆得到PB最小时的点P．
15.【答案】解：原式=1−( 3−1)−2+6 33
= 3．
【解析】根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊三角函数值的代入，分母有理化即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，分母有理化和特殊三角函数值，本题属于基础题型．
16.【答案】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
根据题意得：30x+30−1040=1，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天．
【解析】设甲工程队单独完成此项工程需要x天，利用甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程款=总工程量，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示：△DEF即为所求；
(2)如图所示：△GHI即为所求，点I的坐标为(3,−1)．
【解析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置得出答案；
(2)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18.【答案】25×67−17=15 2n×n+1n+2−1n+2=1n
【解析】解：(1)由题意得：第5个等式为：25×67−17=15；
故答案为：25×67−17=15；
(2)猜想：2n×n+1n+2−1n+2=1n，
证明：等式左边=2n+2n(n+2)−nn(n+2)
=2n+2−nn(n+2)
=n+2n(n+2)
=1n
=右边，
故猜想成立．
故答案为：2n×n+1n+2−1n+2=1n．
(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；
(2)分析所给的等式的形式，不难得到第n个等式为：2n×n+1n+2−1n+2=1n，再把等式左边的式子进行整理即可证明．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚等式中的数字与序号之间的关系．
19.【答案】解：由题意可知：∠BCA=58°，∠ADE=48°，
过D作于DE⊥AB于点E，
∵AB//CD，BC⊥AB，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=780米，
在Rt△ABC中，tan58°=ABBC，
∵BC=780米，tan58°≈1.6，
∴AB≈780×1.6≈1248(米)，
在Rt△ADE中，tan48°=AEDE，
∵DE=BC=780米，tan48°≈1.1，
∴AE≈780×1.1≈858(米)，
∴CD≈1248−858≈390(米)，
答：AB的长和CD的长分别约为1248米和390米．
【解析】由题意可知：∠BCA=58°∠ADE=48°，过D作于DE⊥AB于E，易得四边形BCDE为矩形，从而可知DE=BC，然后根据锐角三角函数的定义分别求出AB与AE的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出AE与CD的长度，本题属于基础题型．
20.【答案】(1)证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∵AB=10，
∴AC=AB=10，
∴∠B=∠C，
在Rt△ADC中，tanB=tanC=AD DC=12，
∴AD2+(2AD)2=102，
∴AD=2 5，
∴CD=4 5，
在Rt△CED中，tanC=DECE=12，
∴DE2+(2DE)2=(4 5)2，
∴DE=4，
∴CE=8，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA=90°，
∵DE⊥AC，
∴DE//BF，
∴EF=CE=8，
∴CF=16．
【解析】(1)根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD//AC，根据平行线的性质得到DE⊥AC；
(2)连接AD，BF，根据余弦的定义求出CD，进而求出CE，根据平行线分线段成比例定理得到FE=CE，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将前10个数从小到大依次排列为：
28 32 39 41 45 54 55 56 60 60
第5个和第6个数分别为45和54，它们两个数的平均数为49.5，所以中位数为49.5，
出现次数最多的是60，出现了两次，所以众数为60；
(2)补全频数分布表如下：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
个数分组
28≤x<36
36≤x<44
44≤x<52
52≤x<60
60≤x<68
个数
2
5
7
4
2
补全频数分布直方图(如下)
(3)设第一组的两棵树分别为A、B，第二组的两棵树分别为C、D，
画树状图为：
共用12种等可能的结果，其中选取的两棵树恰巧属于不同组别的结果数为8，
所以选取的两棵树恰巧属于不同组别的概率=812=23．
【解析】(1)根据求中位数和众数的方法即可求解；
(2)利用20个频数即可补全第三组和第四组的频数，再补全直方图；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选取的两棵树恰巧属于不同组别的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,3)代入，得：a×(0+1)×(0−3)=3，
解得a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设D(m,−m2+2m+3)，且0
在Rt△BOC中，BO=3，OC=3，BC= 32+32=3 2，
设直线BC的解析式为y=kx+n，将B(3,0)，C(0,3)代入，
得3k+n=0n=3，
解得k=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∴M(m,−m+3)，
∴DM=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEM=∠BOC=90°，
∵DQ⊥x轴，
∴DQ//y轴，
∴∠DME=∠BCO，
∴△DME∽△BCO，
∴DEDM=BOBC，即DE−m2+3m=33 2，
∴DE=− 22m2+3 22m=− 22(m−32)2+9 28，
∴当m=32时，DE取得最大值，最大值是9 28；
(3)存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等．
∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OC=OB=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵DQ⊥x轴，
∴∠BMQ=∠DME=45°，
∵DE⊥BC，
∴ME=DE，
设D(m,−m2+2m+3)，且0
由(2)知DE=− 22m2+3 22m，
∴CE= 2m−(− 22m2+3 22m)= 22m2− 22m，
①若∠DCE=∠CAO，
∴tan∠DCE=tan∠CAO=OCOA=3，
∵tan∠DCE=DECE=3，
∴DE=3CE，
∴− 22m2+3 22m=3( 22m2− 22m)，
解得m=32或0(舍去)，
∴点D的坐标为(32,154)；
②若∠CDE=∠CAO，
则tan∠CDE=tan∠CAO=3，
∵tan∠CDE=CEDE=3，
∴CE=3DE，
∴3(− 22m2+3 22m)= 22m2− 22m，
解得m=52或0(舍去)，
∴点D的坐标为(52,74)；
综上，存在，点D的坐标为(32,154)或(52,74).
【解析】(1)根据题意可得y=a(x+1)(x−3)，将C(0,3)代入y=a(x+1)(x−3)，解方程即可；
(2)设D(m,−m2+2m+3)，先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；
(3)△CDE中有一个角与∠CAO相等，分两种情况：①若∠DCE=∠CAO，②若∠CDE=∠CAO，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC、△CDF都是等腰直角三角形，
∴∠BCF=45°+∠ECF，∠ACD=45°+∠ECF，
∴∠ACD=∠BCF，
∵BC：AC=CF：CD=1： 2，
∴BC：CF=AC：CD，
∴△ACD∽△BCF；
(2)①证明：∵△ACD∽△BCF，
∴∠ADC=∠BFC=90°，
∵∠CDF=45°，
∴∠ADB=45°，
如图，作PM延长线，交AD于点H，
∵点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，
∴MH//DN、MN//DH，
∴四边形MNDH为平行四边形，
∴∠HMN=∠ADB=45°，
∴∠PMN=135°；
②如图，作PG⊥NM，交NM延长线于点G，
∵△ACD∽△BCF，
∴ADBF=CDCF= 2，
∴BF=AD 2=2，
∵PM为△ABF中位线，
∴PM=12BF=1，
同理MN=12AD= 2，
又∵∠PMN=135°，
∴∠PMG=180°−135°=45°，
∴PG=PM 2= 22，
∴S△PMN=12⋅MN⋅PG=12× 2× 22=12．
【解析】(1)根据两边成比例夹角相等，两三角形相似证明即可；
(2)①如图中，延长PM交AD于H，证明四边形MNDH是平行四边形，推出∠HMN=∠ADB=45°，推出∠PMN=135°；
②如图，延长MN，作PG⊥MN交于点G，由△ACD∽△BCF，得出BF=2，由PM为△ABF中位线，得出PM=1，同理得出MN= 2，再判断出△PMG为等腰直角三角形，得出PG= 22，最后根据三角形面积公式即可求出面积．
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是正确寻找相似三角形解决问题．
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