安徽省淮南市西部地区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份安徽省淮南市西部地区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题（本大题共78分等内容，欢迎下载使用。
安徽省淮南市西部地区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本题共10个小题，每题4分，共40分）
1．（4分）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
3．（4分）某校关注学生的用眼健康，从九年级400名学生中随机抽取了30名学生进行视力检查，发现有12名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是（　　）
A．140 B．160 C．180 D．200
4．（4分）中央网信办等五部门印发《2023年数字乡村发展工作要点》，提出到2023年底，农杆宽带接入用户数超过190000000，190000000这个数用科学记数法可表示为（　　）
A．1.9×107 B．19×107 C．1.9×108 D．0.19×109
5．（4分）在以下四点中，哪一点与点（﹣3，4）所连的线段与x轴和y轴都不相交（　　）
A．（﹣5，1） B．（3，﹣3） C．（2，2） D．（﹣2，﹣1）
6．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝53°16'，则∠2的大小是（　　）

A．53°16' B．36°44' C．27°44' D．26°44'
7．（4分）方程组的解满足的关系是（　　）
A．x﹣2y＝2 B．x+2y＝2 C．x+y＝﹣3 D．x﹣y＝3
8．（4分）已知点P（a+1，﹣）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了（　　）张．

A．5 B．6
C．7 D．前三个答案都不对
10．（4分）有如下一组点的坐标：（1，2），（3，﹣4），（5，8），（7，﹣16），（9，32），（11，﹣64），…，根据这个规律，第2023个点的坐标为（　　）
A．（4045，22023） B．（4045，﹣22023）
C．（2023，﹣22023） D．（2023，22023）
二、填空题（本题共8个小题，每题4分，共32分)
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣3）在第　 　象限．
12．（4分）如图是一家灯泡生产厂商的广告图，请从统计学角度判断广告语是否合适，并说明理由；　 　．

13．（4分）若关于x的方程2x﹣1＝x+a的解是正数，则a的取值范围是 　 　．
14．（4分）如图，△ABC的边BC长为6．将△ABC向上平移2个单位长度到△A'B'C'，且BB'⊥BC则阴影部分的面积为 　 　．

15．（4分）关于x、y的二元一次方程组，小蕊用加减消元法消去未知数y，按照她的思路，用②×5+①得到的方程是 　 　．
16．（4分）将点A（x，﹣2）向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点B（1，y），则 x＝　 　．
17．（4分）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 　 　．

18．（4分）雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人在五个方面评价值的雷达图，则下列说法正确的是 　 　．（填序号）

①甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同；
②甲在沟通、运动、创新三个方面的表现优于乙；
③在领导力方面，甲的评价值只有乙的评价值的一半．
三、解答题（本大题共78分
19．（16分）（1）解方程组；
（2）解不等式组
20．（10分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，求a，b的取值．
21．（12分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点△ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别是（﹣1，1），（0，3）．
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系：
（2）把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（3）y轴上是否存在点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的2倍，若存在直接写出点P的坐标是 　 　；若不存在说明理由．

22．（12分）某区教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，为了解具体情况，校保卫科开展了一次全校性竞赛活动，现抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图．

请根据所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图：
（3）该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获良好及良好以上成绩的学生人数为多少．
23．（14分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
24．（14分）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出∠AOB＝60°，
（1）①如图1，点O在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝　 　°；
②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；
（2）在图3中，小明作射线OC，使得∠COB＝45°．记OA与图中一条格线形成的锐角为α，OC与图中另一条格线形成的锐角为β，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．


参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每题4分，共40分）
1．（4分）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据4，9，16是常见的平方数，可判断出不符合题意，而5不是平方数，所符合“面”的描述的数．
【解答】解：，所以A选项不符合题意；
，所以是符合“面”的描述的数，B选项符合题意；
，所以C选项不符合题意；
，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要是考查了二次根式的性质，能够熟记一些能够开方开的尽的二次根式是解答此题的关键．
2．（4分）不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【解答】解：∵﹣1处是空心圆点，且折线向右，
∴x＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
3．（4分）某校关注学生的用眼健康，从九年级400名学生中随机抽取了30名学生进行视力检查，发现有12名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是（　　）
A．140 B．160 C．180 D．200
【分析】用总人数乘以近视眼的同学所占比例，列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：400×＝160（人），
即近视的学生人数约160人．
故选：B．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，根据总体近视眼的同学所占比例约等于样本近视眼的同学所占比例列出算式是解题的关键．
4．（4分）中央网信办等五部门印发《2023年数字乡村发展工作要点》，提出到2023年底，农杆宽带接入用户数超过190000000，190000000这个数用科学记数法可表示为（　　）
A．1.9×107 B．19×107 C．1.9×108 D．0.19×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：190000000＝1.9×108．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
5．（4分）在以下四点中，哪一点与点（﹣3，4）所连的线段与x轴和y轴都不相交（　　）
A．（﹣5，1） B．（3，﹣3） C．（2，2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据题意只要判断哪个点与（﹣3，4）在同一象限内即可．
【解答】解：点（﹣3，4）在第二象限，点（﹣5，1）也在第二象限，两点的连接线段与x轴，y轴都不相交．
故选：A．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，第一象限为（+，+），第二象限为（﹣，+），第三象限为（﹣，﹣），第四象限为（+，﹣），解题的关键在于弄清怎样的两个点连接的线段与x轴，y轴都不相交，即两个点在同一象限内才可．
6．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝53°16'，则∠2的大小是（　　）

A．53°16' B．36°44' C．27°44' D．26°44'
【分析】根据平行线的性质得出∠1+∠ADB+∠2＝180°，根据垂直的定义得出∠ADB＝90°，进而即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，AD⊥BD，
∴∠1+∠ADB+∠2＝180°，∠ADB＝90°，
∵∠1＝53°16'，
∴∠2＝90°﹣53°16'＝36°44'，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（4分）方程组的解满足的关系是（　　）
A．x﹣2y＝2 B．x+2y＝2 C．x+y＝﹣3 D．x﹣y＝3
【分析】先求出方程组的解，再把求出的x、y的值代入每个方程，看看方程两边是否相等即可．
【解答】解：，
①+②，得3x＝12，
解得：x＝4，
把x＝4代入②，得4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是，
A．把代入x﹣2y＝2得：左边＝4﹣2×（﹣1）＝4+2＝6，右边＝2，左边≠右边，
所以不满足方程x﹣2y＝2，故本选项不符合题意；
B．把代入x+2y＝2得：左边＝4+2×（﹣1）＝4﹣2＝2，右边＝2，左边＝右边，
所以满足方程x+2y＝2，故本选项符合题意；
C．把代入x+y＝﹣3得：左边＝4+（﹣1）＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，
所以不满足方程x+y＝﹣3，故本选项不符合题意；
D．把代入x﹣y＝3得：左边＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5，右边＝3，左边≠右边，
所以不满足方程x﹣y＝3，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和二元一次方程的解等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
8．（4分）已知点P（a+1，﹣）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标，再利用第四象限点的坐标性质得出答案．
【解答】解：∵点P（a+1，﹣）关于原点的对称点坐标为：（﹣a﹣1，），该对称点在第四象限，
∴，
解得：a＜﹣1，
则a的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法，正确得出关于a的不等式组是解题关键．
9．（4分）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了（　　）张．

A．5 B．6
C．7 D．前三个答案都不对
【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解．
【解答】解：由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，则有方程4x+6y+9z＝55，x、y、z均为正整数，则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数；
当x＝0时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：6y+9z＝55，即3（2y+3z）＝55，55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片；
当z＝0时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：4x+6y＝55，即2（2x+3y）＝55，55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片；
从题目所求可知，不必讨论当y＝0时的情况，
综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张，
则有6y≤55﹣4×1﹣9×1＝42，即y≤7，
即B型纸张最多用了7张，
故选：C．
【点评】本题考了矩形的性质，解题关键是通过题中条件找到未知数的范围．
10．（4分）有如下一组点的坐标：（1，2），（3，﹣4），（5，8），（7，﹣16），（9，32），（11，﹣64），…，根据这个规律，第2023个点的坐标为（　　）
A．（4045，22023） B．（4045，﹣22023）
C．（2023，﹣22023） D．（2023，22023）
【分析】由题意可知：横坐标是连续的奇数，第n个点的横坐标是2n﹣1，纵坐标是2的n次方，奇数位置为正，偶数位置为负，第n个点的纵坐标是（﹣1）n﹣12n，由此求解即可．
【解答】解：第n个点的坐标是（2n﹣1，（﹣1）n﹣12n），
当n＝2023时，2n﹣1＝2×2023﹣1＝4045，（﹣1）2023﹣1×22023＝22023，
∴第2023个点坐标为（4045，22023），
故选：A．
【点评】此题考查点的坐标规律，找出横纵坐标的数字规律，利用规律解决问题．
二、填空题（本题共8个小题，每题4分，共32分)
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣3）在第　三　象限．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵点A（﹣1，﹣3），
∴A点横纵坐标都是负数，
∴A点在第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
12．（4分）如图是一家灯泡生产厂商的广告图，请从统计学角度判断广告语是否合适，并说明理由；　全面检查灯泡的使用寿命，具有破坏性，不适合　．

【分析】根据调查收集数据的过程与方法进行解答即可得出答案．
【解答】解：这个广告语是不合适，理由如下：
全面检查灯泡的使用寿命，具有破坏性，不适合．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
13．（4分）若关于x的方程2x﹣1＝x+a的解是正数，则a的取值范围是 　a＞﹣1　．
【分析】先用a表示出x的值，再由x为正数即可得出a的取值范围．
【解答】解：解方程2x﹣1＝x+a得，x＝a+1，
∵x为正数，
∴a+1＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
14．（4分）如图，△ABC的边BC长为6．将△ABC向上平移2个单位长度到△A'B'C'，且BB'⊥BC则阴影部分的面积为 　12　．

【分析】根据平移的性质，可知S△ABC＝S△A'B'C′，可得S阴影＝S矩形BB'C'C，进行求解即可．
【解答】解：三角形ABC的边BC的长为6．将三角形ABC向上平移2个单位得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，
则：S△ABC＝S△A'B'C′，四边形BCC′B′是长方形，BB'＝2，
∴阴影部分的面积＝矩形BB′C′C的面积＝BC•BB′＝6×2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟练掌握图形平移不变性的性质是解题的关键．
15．（4分）关于x、y的二元一次方程组，小蕊用加减消元法消去未知数y，按照她的思路，用②×5+①得到的方程是 　21x＝﹣72　．
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
【解答】解：解二元一次方程组时，小蕊用加减消元法消去未知数x，按照她的思路，用②×5+①得到的方程是：21x＝﹣72，
故答案为：21x＝﹣72．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
16．（4分）将点A（x，﹣2）向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点B（1，y），则 x＝　﹣2　．
【分析】根据点在坐标系内平移的规律解答即可．
【解答】解：∵点A（x，﹣2）向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点B（1，y），
∴x+3＝1，
解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．
17．（4分）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 　R　．

【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．
【解答】解：由图1可知：S＞P，
由图2可知：R+P＞Q+S，
∴R﹣Q＞S﹣P＞0，R﹣S＞Q﹣P
∴R＞Q，
由图3可知：R+Q＝S+P，
∴R﹣S＝P﹣Q，
∴P﹣Q＞Q﹣P，
∴P﹣Q＞0
∴R﹣S＞0
∴R＞S，
所以R最重，
故答案为：R．
【点评】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，体现了数形的结合的数学思维．
18．（4分）雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人在五个方面评价值的雷达图，则下列说法正确的是 　①②③　．（填序号）

①甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同；
②甲在沟通、运动、创新三个方面的表现优于乙；
③在领导力方面，甲的评价值只有乙的评价值的一半．
【分析】实线代表甲的能力数值，虚线代表乙的能力数值，越往外圈能力数值越大，分别比较甲乙两人在次要能力、沟通、运动、创新、领导力的数值情况即可得到答案．
【解答】解：从图中可以看出甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同；
甲在沟通、运动、创新三个方面的表现优于乙；
在领导力方面，甲的评价值（20）只有乙的评价值（40）的一半．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题，解题的关键是掌握相关知识．
三、解答题（本大题共78分
19．（16分）（1）解方程组；
（2）解不等式组
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
②﹣①×3，得7y＝15，
解得y＝，
把y＝代入①，得x＝，
故方程组的解为；
（2），
解①，得x＜1，
解②，得x≥5，
故原不等式组无解．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（10分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，求a，b的取值．
【分析】解出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集比较，可求出a的取值范围．
【解答】解：由3x﹣2＜a+1，得：x＜，
由6﹣2x＜b+2得：x＞，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
∴＝2，＝﹣1，
解得a＝3，b＝6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．（12分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点△ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别是（﹣1，1），（0，3）．
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系：
（2）把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（3）y轴上是否存在点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的2倍，若存在直接写出点P的坐标是 　（0，13）或（0，﹣7）　；若不存在说明理由．

【分析】（1）依据点B，C坐标分别为（﹣1，1），（0，3）即可得到原点的位置，进而得出直角坐标系；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到△A1B1C1；
（3）依据△PBC的面积等于△ABC的面积的2倍，即可得到点P的纵坐标的值，进一步解答即可得解．
【解答】解：（1）建坐标系如图所示：

（2）画出△A1B1C1如图所示．A1（0，3），B1（3，﹣1），C1（4，1）；
（3）y轴上存在点P，使△PBC的面积等于△ABC的面积的2倍，理由如下：
∵，
∴S△PBC＝2S△ABC＝10＝×2×CP，
∴CP＝10，
∵C（0，3），
∴P（0，13）或（0，﹣7）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．（12分）某区教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，为了解具体情况，校保卫科开展了一次全校性竞赛活动，现抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图．

请根据所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图：
（3）该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获良好及良好以上成绩的学生人数为多少．
【分析】（1）用优秀的人数除以其所占的百分比，即可求解；
（2）用调查总人数分别乘以中等和良好所占的百分比，即可求出中等和良好的人数；
（3）用该中学总人数乘以良好和优秀所占百分比的和，即可求解．
【解答】解：（1）32÷40%＝80（名），
答：在这次调查中，一共抽取了80名学生．

（2）中等的人数：80×15%＝12（名），
良好的人数：80×35%＝28（名），
条形统计图如图所示：


（3）1500×（35%+40%）＝1125（名），
答：估计此次竞赛该校获良好及良好以上成绩的学生人数为1125名．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息相关联，解题的关键是准确根据统计图得出相关信息和数据．
23．（14分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解之得：，
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．

（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；
由题意得：
解之得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
24．（14分）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出∠AOB＝60°，
（1）①如图1，点O在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝　40　°；
②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；
（2）在图3中，小明作射线OC，使得∠COB＝45°．记OA与图中一条格线形成的锐角为α，OC与图中另一条格线形成的锐角为β，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．

【分析】（1）①由平行线的性质∠1＝∠3＝20°，所以∠2＝∠4＝40°；
②作OP平行于格线，由平行线的性质得∠1+∠2＝60°；
（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）如图：

①如图1：∵格线都互相平行，
∴∠2＝∠4，∠1＝∠3＝20°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠4＝∠AOB﹣∠3＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°，
故答案为：40°；
②∠1+∠2＝60°，
证明：如图2：作OP平行于格线，
∵格线都互相平行，
∴∠1＝∠AOP，∠2＝∠BOP，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°
∴∠1+∠2＝60°；
（2）α+β＝105°或α﹣β＝15°，
理由：分两种情况：
当射线OC在∠AOB的内部，如图：

∵∠COB＝45°，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝15°，
∴∠AEF是△OEF的一个外角，
∴∠AEF＝∠AOC+∠EFO，
∵格线都互相平行，
∴∠EFO＝β，
∴α＝15°+β，
∴α﹣β＝15°；
当射线OC在∠AOB的外部，如图：

∵∠COB＝45°，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝105°，
∵∠AOC是△OMN的一个外角，
∴∠AOC＝∠OMB+∠ONM，
∵格线都互相平行，
∴∠OMB＝α，
∵∠ONM＝β，
∴α+β＝105°，
综上所述：α+β＝105°或α﹣β＝15°．



【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．