2023年湖北省鄂州市中考数学试卷【含答案】

这是一份2023年湖北省鄂州市中考数学试卷【含答案】，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）实数10的相反数等于（　　）
A．﹣10 B．+10 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a2÷a3＝a5 D．（a2）3＝a5
3．（3分）中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种．3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（　　）
A．14×107 B．1.4×108 C．0.14×109 D．1.4×109
4．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是（　　）
A．60° B．30° C．40° D．70°
6．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2023
7．（3分）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）

A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π
9．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
二、填空题
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是 　 　．
13．（3分）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则+＝　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是 　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 　 　．

16．（3分）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，则的值是 　 　．

三、解答题
17．（8分）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
18．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
19．（8分）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．

（1）九（1）班共有 　 　名学生；并补全图1折线统计图；
（2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
20．（8分）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB＝；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．

（1）求自动扶梯AD的长度；（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
21．（8分）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．

23． 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中 PF＝PN，FH＝2OF＝．
24．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．

（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB 时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足＝2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当＝时，请直接写出点B的坐标．
1．A
2．B
3．B
4．D
5．B
6．B
7．A
8．C
9．D
10．D
11．4．12．90．13．．14．（3，1）．15．．16．．
17．原式＝
＝
＝，当a＝2时，原式＝＝．
18．（1）如图所示；

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，
∴∠DAF＝∠AFC，
∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AFC，∴EA＝EF，
∵AE＝AD，∴AD＝EF，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
19．（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：
故答案为：50；
（2）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，∴D所对应的扇形圆心角的度数为：108°；
（3）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种，
∴小林和小峰选择相同主题的概率为＝．
20．（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，

在Rt△ADH中，AH＝15米，tan∠DAB＝，∴DH＝AH•tan∠DAB＝15×＝20（米），
∴AD＝＝＝25（米），∴自动扶梯AD的长度为25米；
（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，

由题意得：DC＝HM＝45米，DH＝CM＝20米，
∵DC∥AB，∴∠DCG＝∠B＝45°，在Rt△CMB中，BM＝＝20（米），
∵AF＝30米，AH＝15米，∴BF＝AF+AH+HM+BM＝30+15+45+20＝110（米），
在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，∴EF＝AF•tan30°＝30×＝10（米），
在Rt△GFB中，GF＝BF•tan45°＝110（米），∴GE＝GF﹣EF＝（110﹣10）米，
∴大型条幅GE的长度为（110﹣10）米．
21．（1）∵1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．当x＝20时，两球相遇，
y1＝10+x＝10+20＝30，∴b＝30，
设2号探测气球解析式为y2＝20+ax，
∵y2＝20+ax过（20，30），∴30＝20+20a，
解得a＝0.5，∴y2＝20+0.5x，故答案为：0.5，30；
（2）根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y1＝10+x，
2号探测气球所在位置的海拔：y2＝20+0.5x；
（3）分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（20+0.5x）﹣（x+10）＝5，解得x＝10；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（x+10）﹣（0.5x+20）＝5，解得x＝30．
综上所述，上升了10或30min后这两个气球相距5m．
22．（1）证明：连接OC，

∵点C为的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，
即OC⊥DF，
又OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，BC，

由（1）知CD是⊙O的切线，
∴CD2＝DE•AD，
∵DE＝1，DC＝2，
∴AD＝4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
∵点C是的中点，
∴，
∴EC＝BC＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得，
∴⊙O的半径长是2.5．
23．（1）∵抛物线y＝x2中a＝，
∴＝1，﹣＝﹣1，
∴抛物线y＝x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，
故答案为：（0，1），y＝﹣1；
（2）由（1）知抛物线y＝x2的焦点F的坐标为（0，1），
∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，
又∵y0＝，
∴4＝8+2y0﹣1，
解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），
∴x0＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图：

若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小；
∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣x+b，
将F（0，1）代入解得：b＝1，
∴直线PE的解析式为y＝﹣x+1，
∵点P是直线PE和抛物线y＝x2的交点，
令x2＝﹣x+1，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
故点P的坐标为（﹣1，），
∴d1＝，
∵点E是直线PE和直线m的交点，
令﹣x+1＝x+3，解得：x＝4，
故点E的坐标为（4，﹣1），
∴d2＝＝，
∴d1+d2＝+＝2﹣1．
即d1+d2的最小值为2﹣1．
（4）∵抛物线y＝x2﹣1中a＝，
∴＝1，﹣＝﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，
过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图：

若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最小；如图：

∵点D的坐标为（1，），DG⊥准线l，
∴点P的横坐标为﹣1，代入y＝x2﹣1解得y＝﹣，
即P（﹣，﹣），OP＝+＝，
则△OPD的面积为××1＝．
24．（1）∵OA＝2，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为（0，2），
（2）∵∠ABO＝30°，直线∥y轴，OA＝2，
∴OB＝＝4，AB＝OB•cos∠ABO＝4•cos30°＝2，
∵点C为AB的中点，
∴BC＝，
又∵CP⊥AB，
∴QB＝＝2，
由折叠可知：∠PCD＝∠BCD，
∠PCD＝∠BCD＝45°，
如图2，过点D作DH⊥AB，

∴CH＝＝＝DH，BH＝＝DH，
∴BC＝BH+CH＝DH+DH，即DH+DH＝，
∴DH＝，
∴DB＝＝＝3﹣，
∴DQ＝BQ﹣BD＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
（3）∵＝2，OA＝2，
∴AB＝4，
又∵EF为△OAB的中位线，
∴BE＝2，EF＝1，EF∥OA，
∴∠BEF＝90°，
I．如图，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转90°，到如图所示位置时

∵BE⊥l，直线l⊥y轴，
∴BE∥OA，
又∵BE＝OA＝2，
∴四边形OABE是矩形，
∴点E、F恰好落在x轴，OE＝AB＝4，
此时直线EB与x轴交点的坐标为（4，0），
II．如图3，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，如图所示位置时

延长EB交x轴于点K，
∵∠BEF＝∠OAB＝90°，BE＝OA＝2，OB＝OB，
∴Rt△OAB≌Rt△BOE（HL），
∴∠ABO＝∠BOE，OE＝AB＝4，
∴OR＝RB，AR＝AB﹣RB＝4﹣RB，
在Rt△OAR中，OA2+AR2＝OR2，即：22+（4﹣RB）2＝RB2．
解得：RB＝，
∴AR＝，
∴cos∠ARO＝，
∵直线l⊥y轴，
直线l∥x轴，
∴∠ARO＝∠EOK，
在Rt△OEK中，OK＝，
∴OK＝＝＝，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为（，0），
综上所述：将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线EB与轴交点的坐标为（4，0）或（，0）；
（4）∵直线l⊥y轴，AD⊥OB于点D，
∴∠AOC+∠ACO＝90°，∠EOD+∠OED＝90°，
又∵OC平分∠AOB交AB于点C，即：∠AOC＝∠DOE，
∴∠ACO＝∠OED．
又∵∠AEC＝∠OED，
∴∠AEC＝∠ACO．
∴AE＝AC，
∵AF为△AEC的一条中线．
∴AF⊥EC，即：∠AFC＝90°，
∵∠ACO＝∠OED＝∠ACO，∠OAC＝∠ODE＝∠AFC＝90°，
∴△OAC∽△ODE∽△AFC，
∴设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．
∴，，
∵，
∴，
∴2AF+OD＝OA＝，
∴2AF＝﹣OD，
延长AF交OB于H点，如图4，

∵∠ACO＝∠OED，AFO＝∠HFO＝90°，OF＝OF，
∴△AFO≌△HFO（ASA），
∴OH＝OA＝2，AF＝FH，
∴AH＝2AF＝﹣OD，DH＝OH﹣OD＝2﹣OD，
∵AD2＝OA2﹣OD2，AD2＝AH2﹣DH2，
∴22﹣OD2＝（﹣OD）2﹣（2﹣OD）2，
解得：OD1＝﹣（不合题意，舍去），OD2＝，
∴AD＝＝，
∴tan∠AOD＝＝，
∴AB＝OA•tan∠AOB＝，
所以点B坐标为（，2）．