长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十六）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业十六　简单几何体
【知识梳理】
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征

名称
棱柱
棱锥
棱台
图形



底面
互相__________
且__________
多边形
互相________
且________
侧棱
____________
相交于________，
但不一定相等
延长线交于________
侧面
形状
______________
__________
________

(2)旋转体的结构特征

名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形




母线
互相平行且相等，
________于底面
相交于________
延长线交于________

轴截面
________
__________
__________
________
侧面展
开图
________
________
________

2.直观图
(1)画法：常用____________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式


圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝______________
S圆锥侧＝__________
S圆台侧＝__________
4.柱、锥、台、球的表面积和体积

　　　名称


几何体　　
表面积
体积
柱体
S表＝S侧＋2S底
V＝______
锥体
S表＝S侧＋S底
V＝13S底h
台体
S表＝S侧＋S上＋S下
V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球
S表＝________
V＝43πR3

【专题训练】
一、单选题
1．(★)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　


A.2 B．42
C．82 D．22
2．(★)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2 B．22
C．4 D．42
3．(★★)在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A．(5＋2)π B．(4＋2)π
C．(5＋22)π D．(3＋2)π
4．(★★)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为(　　)

A.618 B.69
C.612 D.63
二、多选题
5．(★)下列说法错误的是(　　)
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
6．(★★)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是(　　)
A．圆面
B．矩形面
C．梯形面
D．椭圆面或部分椭圆面
7．(★★)下列命题不正确的是(　　)
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
三、填空题
8．(★)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
9．(★)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.


10．(★★)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

四、解答题
11．(★)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．

12.(★★)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，求它的体积．








13．(★★)如图，在正三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝3A1B1＝3.

(1)求三棱台ABC－A1B1C1的表面积；
(2)D，E分别是AA1，CC1的中点，F为BB1上一点，且B1F＝2FB，几何体A1B1C1DFE的体积记为V1，几何体ABCDFE的体积记为V2，求V1V2的值．



高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【知识梳理】
1．(1)平行　相等　平行　相似　平行且相等　一点　一点　平行四边形　三角形　梯形
(2)垂直　一点　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆
矩形　扇形　扇环
2．(1)斜二测画法
(2)垂直　分别平行于坐标轴　不变　一半
3．2πrl　πrl　π(r1＋r2)l
4．S底h　4πR2
【专题训练】
1．C　【解析】由S原图形＝22S直观图，得S原图形＝22×4＝82.
2．B　【解析】设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，所以2π×2＝πl，解得l＝22.
3．A　【解析】如图所示，梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，

∴该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12+12＝(5＋2)π.
4．B　【解析】取BC的中点G，连接EG，BD，取BD的中点O，连接EO，如图，由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为EG＝22−12＝3，高为EO＝3−1＝2，

则正八面体的体积为
V＝2×AB·BC·EO3＝2×2×2×23＝823，
其表面积为S＝8×EG·BC2＝8×3×22＝83，
∴此正八面体的体积与表面积之比为69.
5．ABC　【解析】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．
6．ABD　【解析】将圆柱桶竖放，水平面为圆面；将圆柱桶斜放，水平面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水平面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面．
7．ABC　【解析】A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；
B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；

C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．
8．1　【解析】如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，

则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，
∴r·l＝2.
又圆锥侧面展开图为半圆，∴12πl2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.
9．123－π2　【解析】螺帽的底面正六边形的面积
S＝6×12×22×sin 60°＝63(cm2)，
正六棱柱的体积V1＝63×2＝123(cm3)，
圆柱的体积V2＝π×0.52×2＝π2(cm3)，
所以此六角螺帽毛坯的体积V＝V1－V2＝123−π2cm3.
10．2＋22　【解析】DC＝ABsin 45°＝22，
BC＝ABcos 45°＋AD＝22＋1，
S梯形ABCD＝12(AD＋BC)·DC
＝122+22×22＝22＋14，
S＝42S梯形ABCD＝2＋22.
11．【解析】由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．
如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，过C作AB的垂线，垂足为F.

则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2，
CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝32+42＝5.
故圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R＝5，高h2＝4，母线长l2＝5.
圆锥底面半径r＝2，高h1＝2，母线长l1＝22.
所以圆台侧面积S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，
圆锥侧面积S2＝12×2πr×l1＝12×2π×2×22＝42π，
圆台下底面面积S3＝πR2＝25π.
故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝35π＋42π＋25π＝(60＋42)π.
12．【解析】如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．

则它的体积V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM
＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM
＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×1×1×3
＝5(立方丈)．
13．【解析】(1)S梯形ABB1A1＝42，S△ABC＝943，S△A1B1C1＝143，
所以S表＝3×42＋34＋934＝122＋532.
(2)取BB1中点H，连接DH，EH，
则△DEH是正三角形，边长为2，
设三棱台ABC－A1B1C1的高为h，
则三棱台DHE－A1B1C1和三棱台ABC－DHE的高均为ℎ2.
因为B1F＝2FB，所以三棱锥F－DHE的高为ℎ6，
V三棱台ABC－DHE＝13(934＋3＋274)ℎ2＝193ℎ24，
V三棱锥F－DHE＝13×3×ℎ6＝318h，
V三棱台DHE－A1B1C1＝13(34＋3＋34)ℎ2＝7324h，
所以V1V2＝7324ℎ+318ℎ19324ℎ−318ℎ＝2553.