2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 已知i为虚数单位，则(cos75°+isin75°)(cos15°+isin15°)=(    )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是(    )
A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的
C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同
3. 有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为(    )
A. 37 B. 67 C. 78 D. 716
4. 已知点A的坐标为(1, 3)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到OB，则点B的横坐标为(    )
A. - 3 B. -1 C. 3 D. 1
5. 某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图.根据图中(35岁以上含35岁)的信息，关于该样本的结论不一定正确的是(    )


A. 男性比女性更关注地铁建设
B. 关注地铁建设的女性多数是35岁以上
C. 35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D. 35岁以上的人对地铁建设关注度更高
6. 已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是(    )
A. 若l⊥α，l⊥m，则m//α
B. 若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l//m，则m//n
C. 若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m
D. l⊂α，l⊥m，l⊥n，m//β，n//β，则α//β
7. 设平面向量|a|=1，|b|=2，b在a方向上的投影向量为c，则(    )
A. a⋅c=c⋅b B. a⋅b=a⋅c
C. |a⋅c|≤2 D. a⋅c=|a|⋅|c|
8. 已知锐角α，β满足sinα-cosα=15，tanα+tanβ+ 3tanαtanβ= 3，则α与β的大小关系为(    )
A. α<π4<β B. β<π4<α C. π4<α<β D. π4<β<α
9. 下列关于复数z=21-i的四个命题，其中为真命题的是(    )
A. 在复平面内z对应的点Z在第一象限
B. z2=2i
C. z的共轭复数为-1+i
D. z是关于x的方程x2-2x+2=0的一个根
10. 对于一个事件E，用n(E)表示事件E中样本点的个数.在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n(Ω)=100，n(A)=60，n(B)=40，n(C)=20，n(D)=10，n(A∪B)=100，n(A∩C)=12，n(A∪D)=70，则(    )
A. A与D不互斥 B. A与B互为对立 C. A与C相互独立 D. B与C相互独立
11. 在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是(    )
A. 甲组中位数为2，极差为5 B. 乙组平均数为2，众数为2
C. 丙组平均数为1，方差大于0 D. 丁组平均数为2，方差为3
12. 如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E，F分别是棱AA'，CC'的中点，过直线EF的平面分别与棱BB'，DD'交于点M，N，以下四个命题中正确的是(    )
A. 四边形EMFN一定为菱形
B. 平面EMFN⊥平面DBB'D'
C. 四棱锥A-MENF体积为16
D. 四边形EMFN的周长最小值为2 5
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13. 已知函数f(x)=cos(2x+φ)(x∈R)的图象关于点(23π,0)中心对称，则|φ|的最小值为______ ．
14. 如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，PA=AB=2.现有以下命题：
①BC⊥PC；
②当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B-PC-A会逐步增大；
③当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，三棱锥B-PAC的体积的最大值为23．
其中正确的命题序号为______ ．


15. 在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样本方差是15，则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为______ ，方差为______ ．
16. 在三棱锥V-ABC中，AB，AC，AV两两垂直，AB=AV=4，AC=2，P为棱AB上一点，AH⊥VP于点H，则△VHC.面积的最大值为        ；此时，三棱锥A-VCP的外接球表面积为        ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π3，P是圆弧上一点(不与A，B重合)，过P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，N为垂足．
(1)若|PM|=12，求PN的长；
(2)设∠AOP=x，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．

18. 柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为a1，a2，记第2双鞋左右脚编号为b1，b2，记第3双鞋左右脚编号为c1，c2.如果从中随机取出4只，那么
(1)写出试验的样本空间Ω，并求恰好取到两双鞋的概率；(若取到a1，b1，c1，c2，则样本点记为a1b1c1c2，其余同理记之.)
(2)求事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率．
19. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E=BF=13AA1．
(1)证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；
(2)若AC=AE=2，求二面角C1-CF-E的正弦值．

20. 在平面凸四边形(每个内角都小于180°)ABCD中，∠A+∠C=180°，AB=AD=2，BC= 2，CD= 6．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)若M，N为边AB，CD的中点，求(AB+CD)⋅MN的值．
21. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c)，当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值．

22. 如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．
(1)求证：BD1//平面C1EF；
(2)线段BF上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为3 2222，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：(cos75°+isin75°)(cos15°+isin15°)
=(sin15°+icos15°)(cos15°+isin15°)
=sin15°cos15°+icos215°+isin215°+i2sin15°cos15°
=sin15°cos15°+i(cos215°+sin215°)-sin15°cos15°
=i．
故选：D．
根据诱导公式以及复数的乘法运算即可化简求值．
本题主要考查复数的运算，诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相差很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的教，可能不止一个，当然可以和中位数相同，
因此只有B项错误，
故选：B．
利用平均数、中位数、众数的定义求解．
本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，
故两人离开电梯的所有可能情况有7×7=49种，
而两人在同一层电梯的可能情况有7×1=7，
所以两人在同一层离开电梯的概率为749=17，
所以两人在不同层离开电梯的概率为1-17=67．
故选：B．
由古典概型的概率公式与对立事件的概率公式求解即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．

4.【答案】A 
【解析】解：设点A是α终边上一点，设点B的横坐标为x0，则|OA|=|OB|= 3+1=2，
所以sinα= 32,cosα=12，
所以x0=2cos(α+π2)=-2sinα=-2× 32=- 3．
故选：A．
由任意角的三角函数的定义求解即可．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：由等高条形图可得：
对于选项A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，所以男性比女性更关注地铁建设，故A正确；
对于选项B：由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，
从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；
对于选项C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女性人数的比例少，
所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；
对于选项D：由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．
故选：C．
由等高条形图一一分析即可．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：若l⊥α，l⊥m，则m//α或m⊂α，故A错误；
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l//m，则由线面平行的判定定理与性质定理易得m//n.故B正确；
若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l与m不一定垂直，故C错误；
若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m//β，n//β，则不能得到α//β.故D错误．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．

7.【答案】BC 
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量数量积的定义和运算，也考查了投影向量及其应用，属于基础题．
根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解．
【解答】
解：
设b与a的夹角为θ，
对于A，当θ为锐角时，a⋅c=|a|⋅|c|=|c|,c⋅b=|c|⋅|b|cosθ=|c|2，不一定相等，故A错误，
对于B.当θ为锐角时，a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=|b|cosθ=a⋅c=|a|⋅|c|=|c|，成立，
当θ为钝角时，a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=|b|cosθ=a⋅c=-|a|⋅|c|=-|c|，成立，
当θ为直角时，a⋅b=a⋅c=0成立，故正确；
对于C，|a⋅c|=|a|⋅|c|=|c|≤|b|=2，故C正确，
对于D，a⋅c=|a|⋅|c|cosθ，故D错误．
故选：BC．
  
8.【答案】A 
【解析】解：∵sinβ-cosβ=15>0，
∴sinβ>cosβ，
∴β>π4，
∵tanα+tanβ+ 3tanαtanβ= 3，
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ= 3，
∴α+β=π3，
∴α<π4<β．
故选：A．
根据已知第一个等式右边大于0，得到sinβ>cosβ，确定出锐角β范围，利用两角和与差的正切函数公式列出关系式，将已知第二个等式变形后代入求出tan(α+β)的值，确定出α+β的度数，即可得出α与β的大小关系．
此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

9.【答案】ABD 
【解析】由z=21-i可得z=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i，
对于A，点Z为(1,1)，故在第一象限，A正确，
对于B，z2=(1+i)2=2i，故B正确，
对于C，z的共轭复数为1-i，故C错误，
对于D，(1+i)2-2(1+i)+2=2i-2-2i+2=0，故D正确．
故选：ABD．
根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

10.【答案】BCD 
【解析】解：因为n(A)+n(D)=n(A∪D)，所以A与D互斥，即选项A错误；
因为n(A)+n(B)=n(A∪B)=n(Ω)，所以A与B互斥且对立，即选项B正确；
由题意知，P(A)=n(A)n(Ω)=60100=35，P(B)=n(B)n(Ω)=40100=25，P(C)=n(C)n(Ω)=20100=15，P(A∩C)=n(A∩C)n(Ω)=12100=325，
所以P(A∩C)=P(A)⋅P(C)，即A与C相互独立，所以选项C正确；
因为n(A∩C)=12，n(C)=20，且A与B互为对立，
所以n(B∩C)=20-12=8，
所以P(B∩C)=n(B∩C)n(Ω)=8100=225=P(B)⋅P(C)，
所以B与C相互独立，即选项D正确．
故选：BCD．
根据互斥事件与对立事件的概率公式，可判断选项A和B；先利用古典概型，求得P(A)，P(B)，P(C)，P(A∩C)和P(B∩C)，再由相互独立事件的概率公式，可判断选项C和D．
本题考查互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断，熟练掌握这三种事件的定义及概率公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

11.【答案】AD 
【解析】解；对A，因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故A正确；
对B，如失分数据分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；
对C，如失分数据分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；
对D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于110×(8-2)2=3.6>3，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．
故选：AD．
结合中位数，平均数，众数，方差，极差的定义，分析判断每个选项．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．

12.【答案】ABC 
【解析】解：连接BD，B'D'，MN，AC，EF，显然AE//CF，且AE=CF，所以ACFE为平行四边形，
所以AC//EF，由题意得AC⊥BD，BB'⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB'⊥AC，
∵BD⋂BB'=B，BD，BB'⊂平面BDD'B'，所以AC⊥平面BDD'B'，则EF⊥平面BDD'B'，
EF⊂平面EMFN，所以平面EMFN⊥平面BDD'B'，故B正确；
由正方体的性质得平面BCC'B'//平面ADD'A'，
平面BCC'B'⋂平面EMFN=MF，平面ADD'A'⋂平面EMFN=EN，故MF//EN，
同理得ME//NF，又EF⊥平面BDD'B'，MN⊂平面BDD'B'，EF⊥MN，
∴四边形EMFN为菱形，故A正确；
对于C，四棱锥A-MENF的体积为：
VA-MENF=VM-AEF+VN-AEF=13DB⋅S△AEF=13× 2× 24=16，故C正确；
对于D，∵四边形EMFN是菱形，
∴四边形EMFN的周长l=4 MN24+EF24=4⋅ MN2+22=2 MN2+2，
∴当点M，N分别为BB'，DD'的中点时，四边形EMFN的周长最小，
此时MN=EF= 2，即周长的最小值为4，故D错误．
故选：ABC．
对于A，由正方体的性质得平面BCC'B'//平面ADD'A'，从而MF//EN，同理得ME//NF，再由EF⊥MN，得四边形MENF为菱形；对于B，连接BD，B'D'，MN，推导出EF⊥BD，EF⊥BB'，从而得到平面EMFN⊥平面DBB'D'；对于C，求出四棱锥A-MENF的体积进行判断；对于D，四边形MENF是菱形，当点M，N分别为BB'，DD'的中点时，四边形MENF的周长最小．
本题考查正方体中截面问题，面面垂直的证明，四棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．

13.【答案】π6 
【解析】解：因为函数f(x)=cos(2x+φ)(x∈R)的图象关于点(23π,0)中心对称，
所以2×2π3+φ=π2+kπ,k∈Z，所以φ=-5π6+kπ,k∈Z，
则当k=1时，|φ|的最小值为π6．
故答案为：π6．
由余弦函数的性质可得的φ=-5π6+kπ,k∈Z，即可求出答案．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．

14.【答案】①③ 
【解析】解：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC，
又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故①正确；
因为BC⊥平面PAC，而BC⊂平面BPC，所以平面BPC⊥平面PAC，
故当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B-PC-A恒为90°，故②不正确；
因为PA=AB=2，
所以三棱锥B-PAC的体积VB-PAC=VP-ABC=13⋅S△ABC⋅PA=23⋅S△ABC，
过点C作CH⊥AB交AB于点H，

所以S△ABC=12AB⋅CH=CH，
所以VP-ABC=23⋅CH，
所以求三棱锥B-PAC的体积的最大值，即求CH的最大值，
当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，当H为AB中点时，CH最大，且CH的最大值为1，
所以三棱锥B-PAC的体积的最大值为23，故③正确；
故答案为：①③．
由线面垂直的判定定理可判断①；由面面垂直的判定定理可判断②；由等体积法可判断③．
本题考查了锥体的体积问题，考查了空间中的垂直关系的判定以及二面角的有关计算，属于中档题．

15.【答案】74  36 
【解析】解：记30名男生得分记为x1，x2，……，x30，20名女生得分记y1，y2，……，y20，
所以男生得分平均分x-=x1+x2+...+x3030=70，则x1+x2+...+x30=2100，
所以女生得分平均分y-=y1+y2+...+y2020=80，则y1+y2+...+y20=1600，
所以总平均分m-=150(x1+x2+⋯+x30+y1+y2+⋯⋅+y20)=150(30×70+20×80)=74，
总方差为s2=150[30×10+30×(70-74)2+20×15+20×(80-74)2]=36，
所以此50人该次模拟考试成绩的平均分是74，方差是36．
故答案为：74；36．
根据平均数、方差公式计算可得．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．

16.【答案】5 148π5 
【解析】解：设AP=x，
∵AB，AC，AV两两垂直，∴VP= 16+x2，
∴12VP⋅AH=12VA⋅AP，∴AH=4x 16+x2，
由已知可得AC⊥平面VAB，∴AC⊥AH，
HC= 4+16x216+x2，
∵VH⊥AH，AH∩AC=A，∴VH⊥平面AHC，
∵HC⊂平面AHC，∴VH⊥HC，
∴VH= 16-16x216+x2，
∴S△VHC=12×VH×HC≤12×VH2+HC22=5，
当且仅当 4+16x216+x2= 16-16x216+x2，即x=4 155时取等号，

三棱锥A-VCP的外接球的半径为r，则(2r)2=AP2+AC2+AV2=16×1525+4+16=1485，
∴4πr2=1485π，
故答案为：5；1485π.
设AP=x，可求VP，AH，HC，进而可得S△VHC=12×VH×HC≤12×VH2+HC22=5，进而可求三棱锥A-VCP的外接球的半径，可求表面积．
本题考查求空间几何的外接的表面积，考查运算求解能力，属中档题．

17.【答案】解：(1)sin∠POM=12，∠POM∈(0,π3)，所以∠POM=π6，
所以∠PON=π3-π6=π6，所以|NP|=sin∠PON=12；
(2)∠POB=π3-x,y=sinx+sin(π3-x),x∈(0,π3)，
y=sinx+sin(π3-x)=sinx+ 32cosx-12sinx=sin(x+π3)，
x+π3∈(π3,2π3),sin(x+π3)∈( 32,1]，则y的取值范围为( 32,1]． 
【解析】(1)根据直角三角函数的定义可得∠POM=π6，从而求PN的长；(2)仿照第一问，将y表示出来，利用三角函数整体法思想求y的范围．
本题考查三角函数的应用，三角函数的性质，属于基础题．

18.【答案】解：(1)由题意得，试验的样本空间为：
Ω={a1a2b1b2,a1a2b1c1,a1a2b1c2,a1a2b2c1,a1a2b2c2,a1a2c1c2,a1b1b2c1,
a1b1b2c2，a1b1c1c2，a1b2c1c2，a2b1b2c1，a2b1b2c2，a2b1c1c2，a2b2c1c2，b1b2c1c2}，
设A表示事件“恰好取到两双鞋”，则A={a1a2b1b2,a1a2c1c2,b1b2c1c2}，
所以n(Ω)=15，n(A)=3，故事件“恰好取到两双鞋”的概率为P(A)=315=15；
(2)由(1)知，事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚”为：
M={a1a2b1b2,a1a2b1c1,a1a2b1c2,a1a2b2c1,a1a2c1c2,a1b1b2c1,a1b1b2c2,a1b1c1c2,a1b2c1c2,a2b1b2c1,a2b1c1c2,b1b2c1c2}，
所以n(Ω)=15，n(M)=12，故事件“取出的鞋子中至少有两只左脚”的概率为P(M)=1215=45． 
【解析】(1)根据题意可直接列出试验的样本空间，再由基本事件个数和古典概型计算公式求解即可；
(2)列出事件M的基本事件并计算个数，再由古典概型计算公式求解即可．
本题考查古典概型相关知识，属于中档题．

19.【答案】解：(1)证明：取BC的中点O，连接OA，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，不妨设AB=2a，AA1=3，
以O为坐标原点，OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则：C(-a,0,0)，A(0, 3a,0)，F(a,0,1)，E(0, 3a,2)
CF=(2a,0,1)，CE=(a, 3a,2)，CA=(a, 3a,0)，CC1=(0,0,3)，
设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CF=2ax+z=0n⋅CE=ax+ 3ay+2z=0，取x=-1，则y=- 3，z=2a，
∴平面CEF的一个法向量为n=(-1,- 3,2a)，
设平面ACC1A1的一个法向量为m=(m,n,e)，
则m⋅CA=am+ 3an=0m⋅CC1=3e=0，取n=-1，得m= 3，e=0，
∴平面ACC1A1的一个法向量为m=(-1, 3,0)，
因为m⋅n=- 3+ 3=0，所以平面CEF⊥平面ACC1A1；
(2)因为AC=AE=2，由(1)可得a=1，即n=(-1,- 3,2)，
易知平面CFC1的一个法向量为OA=(0, 3,0)，
∴cos=n⋅OA|n|⋅|OA|=-3 8× 3=- 64，
∴二面角C1-CF-E的余弦值为 64，
∴二面角C1-CF-E的正弦值为 104． 
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
(2)求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，属中档题．

20.【答案】解：(1)△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcosA=4+4-8cosA=8-8cosA，
在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC⋅CDcosC=2+6-2× 2× 6cosC=8-4 3cosC，
因为A+C=180°，
所以cosA=-cosC，所以8-8cosA=8+4 3cosA，
所以cosA=0，因为0° 所以S四边形ABCD=12×2×2+12× 2× 6=2+ 3．
(2)法1：因为MN=MB+BC+CN，又MN=MA+AD+DN，
所以MN=12(BC+AD)，
因为AB+CD=AD+DB+CD=AD+CB，
所以(AB+CD)⋅MN=12(BC+AD)⋅(AD-BC)=12(AD2-BC2)=12(4-2)=1． 
【解析】(1)根据余弦定理得到BD2=8-8cosA，BD2=8-4 3cosC，根据A+C=180°得到A=90°，C=90°，计算面积得到答案．
(2)确定MN=12(BC+AD)，AB+CD=AD+CB，代入数据计算得到答案．
本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题．

21.【答案】解：(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95 所以(c-95)×0.002=0.5%，解得：c=97.5，
q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=0.035=3.5%．
(2)当c∈[95,100]时，
f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02；
当c∈(100,105]时，
f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02，
故f(c)=-0.008c+0.82,95≤c≤1000.01c-0.98,100 所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02． 
【解析】(1)根据题意由第一个图可先求出c，再根据第二个图求出c≥97.5的矩形面积即可解出；
(2)根据题意确定分段点100，即可得出f(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．

22.【答案】解：(1)证明：因为OO1⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，DA-,OF,OO1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO1所成的角为45°，
则B(2,2,0)，D1(-1,-1, 2)，C1(-1,1, 2)，F(0,2,0)，E(-2,0,0)，A1(1,-1, 2)，
所以 BD1=(-3,-3, 2)，CE1=(-1,-1, 2)，EF=(2,2,0)，
设平面C1EF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅EF=x+y=0n⋅C1E=x+y+ 2z=0，令x=1，则n=(1,-1,0)，
因为BD1=(-3,-3, 2)，所以n⋅BD1=0，所以n⊥BD1，
又因为BD1⊂平面C1EF，所以BD1//平面C1EF；
(2)假设边BC上存在点M(x,2,0)满足条件，x∈[-2,2]，
则A1M=(x-1,3,- 2)，
设直线A1M与平面C1EFF所成角为θ，
由题意可得sinθ=|cos|=|A1M⋅n||A1M|⋅|n|=|x-4| 2⋅ x2-2x+12=3 2222，
化简得x2-35x+34=0，则x=1或x=34(舍去)，即存在点M符合题意，此时BM=1． 
【解析】(1)建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直即可证明线面平行；
(2)假设存在，列出方程求解即可．
本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，属中档题．