2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）月考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  最接近(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

4.  已知、都是锐角，且，，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而流芳后世如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  已知锐角，，，则边上的高的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知向量，，满足，，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，有，则的最大值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若复数为虚数单位，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D.

10.  在正方体中，为中点，为中点，为线段上一动点不含过，，的正方体的截面记为，则下列判断正确的是(    )

A. 当为中点时，截面为六边形
B. 当时，截面为五边形
C. 当截面为四边形时，它一定是等腰梯形
D. 设中点为，三棱锥的体积为定值
 

11.  设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量以点为旋转中心逆时针旋转直角得到若为零向量，规定也是零向量对平面向量、、，下列说法正确的是(    )

A.
B. 对任意，
C. 若、为不共线向量，满足，则，
D.

12.  假设，且当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是(    )

A. 设，则
B. 设，若，则
C. 设，若，则
D. 设，若与的夹角为，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，则 ______ ．

14.  已知，为非零不共线向量，向量与共线，则 ______ ．

15.  如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点当底面水平放置时，液面高为______ ．

16.  在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：

求下部四棱台的侧面积；
求奖杯的体积尺寸如图，单位：，取

18.  本小题分
如图，已知棱长为的正方体中
证明：平面；
求三棱锥的体积．

19.  本小题分
已知的内角，，，的对边为，，，且．
求；
若的面积为为内角的角平分线，交边于点，求线段长的最大值．

20.  本小题分
设是边长为的正三角形，点、、四等分线段如图所示．
求的值；
为线段上一点，若，求实数的值；
在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值．

21.  本小题分
如图，某小区有一块空地，其中，，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上不与，重合，且在，之间，且．
若，求的值；
为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值．

22.  本小题分
已知函数，其中为参数．
证明：，；
设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有个根．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，
其中，又，
而较，离更近，
综上，最接近．
故选：．
先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；
对于：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误．
故选：．
根据几何体的结构特征逐项分析判断．
本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，为锐角，且，，
可得，，且，
，
故
故选：．
由题意求出，，然后求出，求的值，确定的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数，考查计算能力，推理能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意，在中，，
在中，，，
，由正弦定理，
得，
又在中，．
故选：．
先在中求出的长度，然后再求出中的，，利用正弦定理求出，最后在中利用三角函数的定义求出的长度即可．
本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为为锐角三角形，，设边上的高为，
所以，解得
由正弦定理可得，
所以，，因为，
所以

因为，所以，所以，
所以，
所以边上的高的取值范围为．
故选：．
设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，函数思想，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，又，，
所以，
解得，因为，
而，所以，解得，
作，令，
则，，
于是点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示，

由图象可得，当且仅当点，都在直线上，且方向相反，
即点与重合，点与重合时取等号，即，解得，
当且仅当点，都在直线上，且方向相同，
若点与重合，点与重合时，，
若点与重合，点与重合时，，因此，
所以的取值范围是．
故选：．
利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性质求解作答．
本题主要考查平面向量数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
又，，
，
，即，
由余弦定理得，当且仅当即时等号成立，
在中，为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，
，即的最大值是．
故选：．
利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对于，，A正确；
对于，由虚部定义知：的虚部为，B正确；
对于，为纯虚数，C正确；
对于，由共轭复数定义知：，D错误．
故选：．
根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，，
因为为中点，为中点，所以，
同理，又因为，所以，
同理，，所以，，，，，共面，
此时六边形为截面，
所以截面为六边形，故A正确；
对，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，
连接交于，此时截面为五边形，

因为，所以∽，
所以，即，
所以当时，截面为五边形，故B错误；
对，当截面为四边形时，点与点重合，如图，

由得，，所以四边形即为截面，
设正方体的棱长为，则，，所以，
所以四边形是等腰梯形，故C正确．
对，设为到平面的距离，
延长，交于一点，连接与交于一点，
所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，
三棱锥的体积：，
因为为定值，为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，
所以三棱锥的体积为不为定值，故D不正确．

故选：．
延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，，结合图形即可判断；延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断；当截面为四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断设为到平面的距离，三棱锥的体积：，不为定值，可判断．
本题考查空间几何体相关运算，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，
设，则，
同理可得，
所以，，
则，故A错；
对任意的，由选项可知，，
当、不共线时，，，故B对；
因为，所以，
所以，同理可得，故C错；
当、不共线时，由选项可知，，
所以，
所以，
任取两个向量、，对任意的实数，，
当、共线时，设存在使得，且，
所以，
综上所述，，故D对．
故选：．
利用平面向量数量积的坐标运算可判断选项；利用选项中的结论结合题中定义可判断选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断选项；对、是否共线进行分类讨论，结合题中定义可判断选项．
本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
对于：若，则，
可得，
所以，故A正确；
对于：，则，
若，则有：
当或时，则或，可得成立；
当且时，则存在唯一实数，使得，
则，可得，整理得；
综上所述：若，则，故B正确；
对于：，则，
可得，
若，则，故C错误；
对于：，
由选项A可得：，，
由选项C可得：，
若与的夹角为，则，
即，解得，
，则，故D正确；
故选：．
根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断．
本题考查向量数量积的基本运算，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
根据两角和的正切公式可求出结果．
本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，为非零不共线向量，所以，可以作为平面内的一组基底，
又向量与共线，所以，即，
所以，解得．
故答案为：．
依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可．
本题主要考查了两个向量共线的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设的面积为，底面水平放置时，液面高为，
侧面水平放置时，水的体积为，
当底面水平放置时，水的体积为，
于是，解得，
所以当底面水平放置时，液面高为．
故答案为：．
根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答．
本题考查棱柱的结构特征，训练了等体积法的应用，考查运算求解能力，属基础题．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，

整理得，
解得或舍去，
，
，或．
又点是的重心，
，
，
，整理得．
当时，，得，
此时，解得；
当时，，得，
此时，解得．
故答案为：或．
利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，解得，结合范围，可求的值，由题意，两边平方可得分类讨论即可解得，的值．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：奖杯底座的侧面上的斜高等于和．
故．



． 

【解析】根据题意直接运算求解即可；
根据相关体积公式分析运算．
本题主要考查根据三视图求几何体的面积和体积，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】证明：如图，由正方体的结构特征可知，，，
则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
平面；
解：三棱锥的体积
． 

【解析】由正方体的结构特征可得，再由直线与平面平行的判定可得平面；
直接利用棱锥的体积公式求解．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是基础题．
 

19.【答案】解：由正弦定理，得，
即，
故．
由知，
因为的面积为，
所以，解得，
又因为，
所以．
于是，
那么．
所以当且仅当时等号成立，
故AD的最大值为． 

【解析】利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；
根据面积公式求得，再根据等面积得，从而有，利用基本不等式即可求解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：是边长为的正三角形，点、、四等分线段，



；
设，
又，
由平面向量基本定理解得，解得；
设，，
，
又，
当时，即在处时，取得最小值． 

【解析】根据向量的线性运算和向量数量积的定义，即可得出答案；
根据平面向量基本定理，即可得出答案；
根据向量的数量积的定义和向量的加法，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积和基本定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可得，
设，则，，
在中，由余弦定理，
则，即，
由正弦定理可得，
可得，
即，，可得，
在中，，
，由正弦定理，
可得，
故EF故的值；
设，则，，
由正弦定理，
可得，
在中，由正弦定理，
可得，
故的面积，
，，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值为． 

【解析】本题考查正余弦定理，考查三角函数性质，属于难题．
在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；
利用正弦定理用表示，，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可．
 

22.【答案】解：依题意，，
，
，
所以；
解：由知，函数是周期函数，周期为，
对于每个正整数，都有，
若，由得在区间内若有根，则各有偶数个根，
于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，
如果，则，且，
当时，，
设，可知可化为，
于是，当时，方程在内有两个根，
当时，，
设，可知可化为，
于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，
从而方程在区间内有个解，由，得；
若，则，
当时，，
设，可知可化为，
于是，即只有一个解，
当时，，
设，可知可化为，
显然函数在上单调递增，，方程没有属于的根，
因此方程在内只有个根，从而方程在内有个根，于是；
若，则，
当时，，
设，结合，知可化为，此方程无解，
当时，，
设，结合，知可化为，
于是，即只有一个解，
因此方程在内只有个根，从而方程在内有个根，于是；
综上所述满足条件的为． 

【解析】根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答；
确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定个根推理计算作答．
本题主要考查了分段函数零点个数求参数范围问题，考查了转化思想，属于中档题．