2022-2023学年上海市曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市曹杨二中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在复平面中，复数52+i(i为虚数单位)对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知a、b是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是(    )
A. 12a+12b B. 13a+23b C. 34a+14b D. −15a+65b
3. 对于给定的正整数n，定义集合An={sinkπn|k∈N,0≤k≤n}.若An恰有4个元素，则n的可能值有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 已知数列{an}满足：an+1=an2−12an,an≠0,0,an=0.对于任意实数a1，集合{n|an≤0,n∈N,n≥1}的元素个数是(    )
A. 0个 B. 非零有限个
C. 无穷多个 D. 不确定，与a1的取值有关
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. −1的平方根为______．
6. 设t∈R，向量a=(2,1)，b=(4,t)，若a/​/b，则t= ______ ．
7. 已知sin(α−π2)=35，则cosα= ______ ．
8. 函数y=sin2x的最小正周期T= ______ ．
9. 设k∈R，向量a=(3,4)，b=(k,−1).若b在a方向上的数量投影为1，则k= ______ ．
10. 已知tan(α+β)=2，tan(β+π4)=3，则tan(α−π4)= ______ ．
11. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且S99−S55=4，则a10= ______ ．
12. 在△ABC中，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=sinC+i⋅cosC(i为虚数单位)，则C= ______ ．
13. 设无穷数列{an}的前n项和为Sn.若Sn=2n+1+n−2，则i=1+∞ai4i= ______ ．
14. 函数y=|sinx|cosx+|cosx|sinx的值域为______ ．
15. 在△ABC中，AB=1，AC=2，D是BC边上一点.若AB⋅AD=13，AC⋅AD=23，则AB⋅AC= ______ ．
16. 设a∈R，i为虚数单位.若对于任意θ∈R，复数z=(a−cosθ)+(a−1−sinθ)i的模始终不大于2，则a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题14.0分)
在△ABC中，已知cosB−cosA+C2=0．
(1)求角B的大小；
(2)设角A、B、C的对边分别为a、b、c.若8a=3c，且AC边上的高为12 37，求△ABC的周长．
18. (本小题14.0分)
设m、n∈R，已知z1=1+ 2i(i为虚数单位)是方程x2+mx+n=0的一个根．
(1)求m、n的值；
(2)设方程的另一根为z2，复数z1、z2对应的向量分别是a、b.若向量ta+b与a+tb的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
19. (本小题14.0分)
某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月提高0.4%．
(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；(精确到1升)
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内？
20. (本小题18.0分)
已知f(x)=sinx+ 3cosx．
(1)求函数y=f(x)的单调增区间；
(2)设方程f(x)=12在[−π3,5π3)上的两解为α和β(α>β)，求cos(α−β)的值；
(3)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c= 3，f(C)=0，且sinA+sinB=2 10sinAsinB，求△ABC的面积．
21. (本小题18.0分)
已知无穷数列{an}的各项均为整数.设数列{an}的前n项和为Sn，记S1，S2，⋯，Sn中奇数的个数为bn．
(1)若an=−n，试写出数列{bn}的前5项；
(2)证明：“a1为奇数，且ai(i=2,3,4,⋯)为偶数”是“数列{bn}为严格增数列”的充分非必要条件；
(3)若ai=bi(i为正整数)，求数列{an}的通项公式．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i对应的点(2,−1)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：∵a⊥b，∴a⋅b=0，且|a|=|b|=1，
∴|12a+12b|= 14+14= 12，|13a+23b|= 19+49= 59，|34a+14b|= 916+116= 58，|−15a+65b|= 125+3625= 3725．
故选：D．
根据条件得出a⋅b=0,|a|=|b|=1，然后根据向量长度的求法及数量积的运算即可得出模最大的向量．
本题考查了向量垂直的充要条件，单位向量的定义，向量长度的求法，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：对于给定的正整数n，定义集合An={sinkπn|k∈N,0≤k≤n}，
sinkπn的值有0，sinπn，sin2πn，⋅⋅⋅，sin(n−1)πn，0，共计n+1个，
若An恰有4个元素，则0−sinπ，sinπn，sin2πn，⋅⋅⋅，sin(n−1)πn中共计有4个不同的非零值，
故n的可能值为6或7．
故选：B．
由题意，利用集合中元素的个数、元素的互异性，正弦函数的值，求出n的值，可得结论．
本题主要考查集合中元素的个数，正弦函数的值，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：当a1=0时，根据题意，则a2=a3=a4=...=0，则集合的元素有无数个；
当a1=±1时，则a2=0，根据题意，则a3=a4=...=0，则集合的元素有无数个；
当a1≠±1且a1≠0时，an+1=12×(an−1an)，
若an>1，则an+1>0；
若0 若−10；
若an<−1，则an+1<0，
而an+1−an=12×(an−1an)−an=−12(an+1an)，
则an>0时，数列递减且无下限①，
an<0时，数列递增且无上限②，
(1)若a1>1，则an+1−an>0，根据①可知，在求解a1，a2，…的迭代过程中，总有一项会首次小于0，不妨设为ak(k>1,k∈Z)；
(2)若ak<−1，则ak+1<0；
①若ak+1<−1，则ak+2<0，接下来进入(2)或(3)；
②若−1 (3)若−10，接下来进入(1)或(4)；
(4)若0 若0 若−1 若a1<−1，则进入①，如此会无限循环下去，会出现无限个负数项，
综上：集合{n|an≤0,n∈N,n≥1}的元素个数是无数个．
故选：C．
讨论a1=0，a1=±1和a1≠±1且a1≠0三种情况，根据题意可得到：若an>1，则an+1>0；若00；若an<−1，则an+1<0，不妨从a1>1开始讨论，得到a2，a3，a4，…的符号，最后得到答案．
本题比较复杂，注意对a1的四种情况进行分类，然后从某一种开始进行推理，其他情况类推，属难题．

5.【答案】±i 
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
由z2=(a+bi)2=(a2−b2)−2abi=−1，
得a2−b2=−12ab=0，即a=0b=1或a=0b=−1．
∴−1的平方根为±i．
故答案为：±i．
设z=a+bi(a,b∈R)，由z2=−1列式求得a，b的值，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．

6.【答案】2 
【解析】解：a=(2,1)，b=(4,t)，a/​/b，
则2t=1×4，解得t=2．
故答案为：2．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．

7.【答案】−35 
【解析】解：因为sin(α−π2)=−cosα=35，
所以cosα=−35．
故答案为：−35．
由已知利用诱导公式即可求解．
本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

8.【答案】π 
【解析】解：y=sin2x可变形为y=1−cos2x2=12cos2x+12，
∴最小正周期T=2π2=π
故答案为π
先利用降幂公式把y=sin2x化简为y=12cos2x+12，因为函数y=Acos(ωx+⌀)+h的周期为2πw，把ω的值代入即可．
本题主要考查应用降幂公式化简三角函数式，以及y=Acos(ωx+⌀)+h类型函数的周期的求法．

9.【答案】3 
【解析】解：由向量a=(3,4)，b=(k,−1)，可得b在a方向上的数量投影为：
|b|cos=|b|⋅a⋅b|a||b|=a⋅b|a|=3k−45=1，解得k=3．
故答案为：3．
由数量投影的概念，表示出b在a方向上的数量投影，代入坐标求解即可．
本题考查投影的概念，向量的坐标运算，属基础题．

10.【答案】−17 
【解析】解：tan(α−π4)=tan[(α+β)−(β+π4)]=tan(α+β)−tan(β+π4)1+tan(α+β)tan(β+π4)=2−31+2×3=−17．
故答案为：−17．
根据两角差的正切公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角差的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．

11.【答案】20 
【解析】解：因为等差数列{an}中，Snn=a1+n−12d，
因为a1=2，S99−S55=4，
4d−2d=4，
所以d=2，
则a10=a1+9d=20．
故答案为：20．
由已知结合等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及通项的应用，属于基础题．

12.【答案】π4 
【解析】解：(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)
=sinAsinB−cosAcosB+sinBcosAi+cosBsinAi
=−(cosAcosB−sinAsinB)+(sinBcosA+cosBsinA)i
=−cos(A+B)+sin(B+A)i
=−cos(π−C)+sin(π−C)i
=cosC+sinCi
=sinC+cosCi，
故sinC=cosC，即tanC=1，
∵C∈(0,π)，
∴C=π4．
故答案为：π4．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及三角函数的两角和公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及三角函数的两角和公式，属于基础题．

13.【答案】43 
【解析】解：由题意，当n=1时，a1=S1=22+1−2=3，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=2n+1+n−2−2n−(n−1)+2
=2n+1，
∵当n=1时，a1=3也满足上式，
∴an=2n+1，n∈N*，
∴i=1+∞ai4i=i=1+∞2i+14i
=i=1+∞(12i+14i)
=i=1+∞12i+i=1+∞14i
=121−12+141−14
=1+13
=43．
故答案为：43．
先根据题干已知条件并结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2即可计算出数列{an}的通项公式，然后代入i=1+∞ai4i进行计算并拆项，最后根据无穷递缩等比数列的求和公式即可计算出结果．
本题主要考查无穷递缩等比数列的求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，拆项法，无穷递缩等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．

14.【答案】[−1,1] 
【解析】解：当x∈[2kπ,π2+2kπ]时，k∈Z，y=2sinxcosx=sin2x，y∈[0,1]，
当x∈(π2+2kπ,π+2kπ]时，k∈Z，y=sinxcosx+(−cosxsinx)=0，
当x∈(π+2kπ,32π+2kπ]时，k∈Z，y=−sinxcosx−cosxsinx=−sin2x，y∈[−1,0]，
当x∈(32π+2kπ,2π+2kπ]时，k∈Z，y=−sinxcosx+cosxsinx=0，
综上，y∈[−1,1]．
故答案为：[−1,1]．
根据三角函数的性质，即可求出y的值域．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．

15.【答案】−1 
【解析】解：设AD=t，∠BAD=α，∠DAC=β，
由AB⋅AD=13，可得t×1×cosα=13，
由AC⋅AD=23，可得t×2×cosβ=23，
所以cosα=cosβ，又α，β∈(0,π)，故α=β，
由角平分线定理，DCBD=ACAB=2，所以DC=2BD，
又DC2=t2+4−4tcosβ，BD2=t2+1−2tcosα，且α=β，
所以4(t2+1−2tcosα)=t2+4−4tcosα，将tcosα=13代入．
整理可得：t2=49，即t=23，故cosα=12，∴cos2α=2cos2α−1=−12，
所以AB⋅AC=1×2×(−12)=−1．
故答案为：−1．
画出图形，结合已知条件推出α=β，进而求出AD的长度t，结合已知得出cosα，利用倍角公式得出cos2α，然后利用数量积定义求解即可．
本题考查了向量的数量积运算，解三角形，属中档题．

16.【答案】[0,1] 
【解析】解：|z|=|a+(a−1)i−(cosθ+isinθ)|≤|a+(a−1)i|+|cosθ+isinθ|= a2+(a−1)2+1≤2，
∴a2+(a−1)2≤1，∴0≤a≤1．
故答案为：[0,1]．
由复数模的几何意义及向量模的性质即可求出．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．

17.【答案】解：(1)∵cosB−cosA+C2=0，
∴cosB−cosπ−B2=0，
∴cosB−sinB2=0，
∴1−2sin2B2−sinB2=0，
∴sinB2=12或−1(舍)，
因为00，
则B2=π6，故B=π3；
(2)令c=8m(m>0)，则a=3m，
由三角形面积公式，得12acsinB=12b×12 37，所以b=7m2，
由余弦定理可，得b2=a2+c2−2accosB，
则49m4=49m2，解得m=1，
从而a=3，b=7，c=8，
故△ABC的周长为a+b+c=18． 
【解析】(1)利用诱导公式得到1−2sin2B2−sinB2=0，即可求解；
(2)令c=8m(m>0)，则a=3m，利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．

18.【答案】解：(1)∵z1=1+ 2i(i为虚数单位)是方程x2+mx+n=0的一个根，
∴(1+ 2i)2+m(1+ 2i)+n=0，
即(m+n−1)+(2 2+ 2m)i=0，
∴m+n−1=02 2+ 2m=0，∴m=−2n=3；
(2)∵z1=1+ 2i(i为虚数单位)是方程x2+mx+n=0的一个根，方程的另一根为z2，
∴z2=1− 2i，∴a=(1, 2)，b=(1,− 2)，
∴ta+b=(t+1, 2t− 2)，a+tb=(1+t, 2− 2t)，
∵向量ta+b与a+tb的夹角为锐角，
∴(ta+b)⋅(a+tb)>0且ta+b与a+tb不同向共线，
∴(t+1)2+( 2t− 2)( 2− 2t)>0，解得：3−2 2 当ta+b与a+tb共线时，(t+1)( 2− 2t)−( 2t− 2)(1+t)=0，∴t=±1，
当t=1时，ta+b与a+tb同向共线，∴t=1(舍去)，
∵−1∉(3−2 2,3+2 2)，
∴实数t的取值范围为：(3−2 2,1)∪(1,3+2 2)． 
【解析】(1)由条件和复数相等的概念即可求得；
(2)由复数的几何意义转化为向量问题求解即可．
本题考查复数的概念及其几何意义，向量的夹角等知识，属于中档题．

19.【答案】解：(1)设今年第n个月生产了an升消毒剂，则a1=1250，
an+1=(1+5%)an=1.05an(1≤n≤11,n∈N*)，
从而所求年产量为a1+a2+⋯+a12=1250×1−1.05121−1.05≈19896(升)．
故今年消毒剂的年产量为19896升；
(2)设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为bn升，
由题意，bn=an[10%−0.4%(n−1)]=1250×1.05n−1×(0.104−0.004n)，n∈N*，
则bn+1bn=1.05×0.1−0.004n0.104−0.004n=2120×25−n26−n，
由bn+1bn<1，得到n>5，
故当n≥6时，bn+1 而b12=1250×1.0511×(0.104−0.004×12)≈119.7>100，
b13=1250×1.0512×(0.104−0.004×13)≈93.4<100，
故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升．
故从第13个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内． 
【解析】(1)设今年第n个月生产了an升消毒剂，再根据an+1=(1+5%)an=1.05an，结合等比数列的求和公式求解即可；
(2)设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为bn升，由题意bn=1250×1.05n−1×(0.104−0.004n)，n∈N*，再分析bn的单调性，结合b12≈119.7>100>b13≈93.4，求解即可．
本题考查了等比数列的定义、通项公式及求和公式，属于中档题．

20.【答案】解：(1)因为f(x)=sinx+ 3cosx=2sin(x+π3)，
所以单调递增区间满足−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[−56π+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z；
(2)因为f(x)=12在[−π3,5π3)上的两解为α和β(α>β)，可得sin(x+π3)=14，且x+π3∈[0,2π)，
所以sin(α+π3)=sin(β+π3)=14，因为α>β
所以cos(α+π3)=− 154，cos(β+π3)= 154，
所以cos(α−β)=cos[(α+π3)−(β+π3)]=cos(α+π3)⋅cos(β+π3)+sin(α+π3)sin(β+π3)=− 154⋅ 154+(14)2=−78；
(3)因为c= 3，f(C)=0，即2sin(C+π3)=0，可得C=23π，
由正弦定理可得csinC=asinA=bsinB，所以sinA=acsinC=12a，sinB=12b，
又因为sinA+sinB=2 10sinAsinB，所以12(a+b)=2 10⋅14ab，即a+b= 10ab，
由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−32ab=10(ab)2−2ab−32ab=−12，
整理可得10(ab)2−ab−3=0，解得ab=35或ab=−12(舍)，
所以S△ABC=12absinC=12⋅35⋅ 32=3 320． 
【解析】(1)由三角函数恒等变换可得函数f(x)的解析式，求出函数满足条件的表达式，进而求出函数的单调递增区间；
(2)由(1)及题意可得sin(α+π3)=sin(β+π3)=14，进而求出cos(α+π3)，cos(β+π3)的值，再由cos(α−β)=cos[(α+π3)−(β+π3)]展开可得它的值；
(3)由题意可得C角的大小，再由正弦定理可得sinA，sinB的表达式，由题意可得a+b与ab的关系，再由余弦定理可得ab的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积．
本题考查三角函数的恒等变换及余弦定理，正弦定理的应用，属于中档题．

21.【答案】解：(1)因为an=−n，则a1=−1，a2=−2，a3=−3，a4=−4，a5=−5，
可得S1=−1，S2=−3，S3=−6，S4=−10，S5=−15，
所以b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．
证明：(2)先证充分性：
因为a1为奇数，且ai(i=1,2,3...)为偶数，则有：
当n=1时，S1=a1为奇数，
当n≥2时，则a2+a3+...+an为偶数，可知Sn=a1+(a2+a3+...+an)为奇数，
综上所述：Sn为奇数，则bn=n，
又因为bn+1−bn=(n+1)−n=1>0，所以数列{bn为严格增数列；
说明非必要性：举反例an=0,n=11,n=22,n≥3，可得Sn=0,n=11,n=22n−3,n≥3，所以bn=0,n=1n−1,n≥2，
显然数列{bn}为严格增数列，但不满足“a1为奇数，且ai(i=2,3,4...)为偶数”，
综上所述：“a1为奇数，且ai(i=2,3,4...)为偶数”是“数列{bn}为严格增数列”的充分非必要条件．
解：(3)(ⅰ)当an为奇数时，Sn为偶数，
①若an+1是奇数，则Sn+1为奇数，可知bn+1=bn=an为偶数，与an+1=bn+1矛盾；
②若an+1为偶数，则Sn+1为偶数，可知bn+1=bn+1为奇数，与an+1=bn+1矛盾；
所以当ak为奇数时，Sn不能为偶数；
(ⅱ)当an为偶数，Sn为奇数，
①若an+1为奇数，则Sn+1为偶数，可知bn+1=bn=an为偶数，与an+1=bn+1矛盾，
②若an+1为偶数，则Sn+1为奇数，可知bn+1=bn+1为奇数，与an+1=bn+1矛盾，
所以当an为偶数时，Sn不能是奇数；
综上所述：an与Sn的奇偶性相同；
当an与Sn为奇数，
若an+1与Sn+1同为奇数，可知Sn+1=Sn+an+1为偶数，与Sn+1为奇数矛盾；
若an+1与Sn+1同为偶数，可知Sn+1=Sn+an+1为奇数，与Sn+1为偶数矛盾；
综上所述：an与Sn不能同为奇数，
所以对∀n∈N*，an与Sn为偶数，则bn=0，
所以an=0． 
【解析】(1)由an=−n，可得数列{an}的前5项，由此能写出数列{bn}的的前5项；
(2)先证充分性，推导出{bn}=n，从而数列{bn}是单调递增数列，再通过举反例说明不必要性；
(3)通过分类讨论可得：an与Sn的奇偶性相同，进而说明an与Sn只能同偶，结合题意即可得结果．
本题考查数列的应用，数列的函数性质，是中档题．