07充分条件与必要条件、命题的真假判断与应用-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编

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07充分条件与必要条件、命题的真假判断与应用-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
一．选择题（共14小题）
1．（2023•海淀区一模）已知等比数列{an}的公比为q，且q≠1，记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，3，…），则“a1＞0且q＞1”是“{Tn}为递增数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023•天津模拟）已知非零向量，则“与共线”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023•朝阳区一模）已知函数f（x）＝x3+x，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023•平谷区一模）已知{an}为等比数列，a1＞0，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023•石景山区一模）设x＞0，y＞0，则“x+y＝2”是“xy≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023•房山区一模）“”是“tanx＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023•密云区三模）设数列{an}的前n项和为Sn，则“对任意n∈N*，an＞0”是“数列{Sn}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不是充分也不是必要条件
8．（2023•延庆区一模）若m∈R，则“m＝1”是“复数z＝m2（1+i）+m（i﹣1）是纯虚数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023•丰台区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：
①三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为；
②A1D+DB的最小值为；
③点D到直线C1E的距离的最小值为．
其中所有正确结论的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2023•禅城区模拟）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，且满足a⊂α，b⊂β，α⋂β＝l，a∥l，则“a与b异面”是“直线b与l相交”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2023•东城区一模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，α∥β，则“m⊥n”是“n⊥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2023•石景山区一模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点P总满足PD1⊥DC1，则动点P的轨迹是一条直线；
②若点P到直线BB1与到平面CDD1C1的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；
③若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆．
其中正确的命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2023•西城区一模）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2023•顺义区一模）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝（2k+1）π+β”是“cosα+cosβ＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二．填空题（共9小题）
15．（2023•海淀区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将△BEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥P﹣ACFE，如图所示，给出下列四个结论：
①AC∥平面PEF；
②△PEC不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得PD⊥AE；
④当四棱锥P﹣ACFE的体积最大时，AE＝．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

16．（2023•房山区一模）能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 　 　．
17．（2023•通州区一模）两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如φ（1）＝1，φ（4）＝2．
关于欧拉函数给出下面四个结论：
①φ（7）＝6；
②∀n∈N*，恒有φ（n+1）≥φ（n）；
③若m，n（m≠n）都是素数，则φ（mn）＝φ（m）φ（n）；
④若n＝pk（n，k∈N*），其中p为素数，则φ（n）＝（p﹣1）pk﹣1．
（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）
则所有正确结论的序号为 　 　．
18．（2023•顺义区一模）如果函数f（x）满足对任意s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＜f（s）+f（t），则称f（x）为优函数．给出下列四个结论：
①g（x）＝ln（1+x）（x＞0）为优函数；
②若f（x）为优函数，则f（2023）＜2023f（1）；
③若f（x）为优函数，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
④若在（0，+∞）上单调递减，则f（x）为优函数．
其中，所有正确结论的序号是 　 　．
19．（2023•房山区一模）设函数给出下列四个结论：①函数f（x）的值域是R；②∀a＞1，方程f（x）＝a恰有3个实数根；③，使得f（﹣x0）﹣f（x0）＝0；④若实数x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）．则（x1+x2）（x3﹣x4）的最大值为．其中所有正确结论的序号是 　 　．
20．（2023•石景山区一模）项数为k（k∈N*，k≥2）的有限数列{an}的各项均不小于﹣1的整数，满足，其中a1≠0．给出下列四个结论：
①若k＝2，则a2＝2；
②若k＝3，则满足条件的数列{an}有4个；
③存在a1＝1的数列{an}；
④所有满足条件的数列{an}中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
21．（2023•东城区一模）已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A'，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则λ＝　 　．

给出下列四个结论：
①；
②图2中，；
③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；
④图2中，S是△A'BC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
22．（2023•西城区一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AD1和B1C1上．
出下列四个结论：
①MN的最小值为2；
②四面体NMBC的体积为；
③有且仅有一条直线MN与AD1垂直；
④存在点M，N，使△MBN为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

23．（2023•平谷区一模）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折，构成四棱锥B1﹣AMCD，N为B1D的中点，则在翻折过程中，
①对于任意一个位置总有CN∥平面AB1M；
②存在某个位置，使得CN⊥AB1；
③存在某个位置，使得AD⊥MB1；
④四棱锥B1﹣AMCD的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是 　 　．


07充分条件与必要条件、命题的真假判断与应用-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2023•海淀区一模）已知等比数列{an}的公比为q，且q≠1，记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，3，…），则“a1＞0且q＞1”是“{Tn}为递增数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：①当a1＝，q＝2时，则a2＝a1q＝1，T2＝a1a2＝T1，∴充分性不成立，
②若{Tn}为递增数列，则＝an＝a1•qn﹣1＞1（n≥2），则a1＞0，q＞0，
当a1＞0，0＜q＜1时，则0＜qn﹣1＜1，则a1•qn﹣1＜1可能成立，
当a1＞0，q＞1时，则qn﹣1＞1，则a1•qn﹣1＜1可能成立，
当a1＞1，0＜q＜1时，则0＜qn﹣1＜1，则a1•qn﹣1＜1可能成立，
当a1＞1，q＞1时，则qn﹣1＞1，则a1•qn﹣1＞1恒成立，
∴a1＞0且q＞1是{Tn}为递增数列的必要不充分条件．
故选：B．
2．（2023•天津模拟）已知非零向量，则“与共线”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：若与共线，取为方向相反的单位向量，则|﹣|＝2，|||﹣|||＝0，
，充分性不成立；
若，则（﹣）2≤（||﹣||）2，整理得到||||≤•，
若＝或＝，不等式成立，且与共线，
若≠且≠，设a，夹角为θ，则θ∈[0，π]，即||||≤||•||cosθ，即1≤cosθ，即θ＝0，故与共线，必要性成立．
综上所述，“与共线”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（2023•朝阳区一模）已知函数f（x）＝x3+x，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：因为f（x）＝x3+x定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，且f（x）为R上的增函数，
当x1+x2＝0时，x2＝﹣x1，所以f（x1）+f（x2）＝f（x1）+f（﹣x1）＝0，
即“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的充分条件，
当f（x1）+f（x2）＝0时，f（x1）＝﹣f（x2）＝f（﹣x2），由f（x）的单调性知，x1＝﹣x2，即x1+x2＝0，
所以“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”成立的必要条件．
综上，“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的充要条件．
故选：C．
4．（2023•平谷区一模）已知{an}为等比数列，a1＞0，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由题意得，，
若q＜0，因为1+q的符号不确定，所以无法判断a2n﹣1+a2n的符号；
反之，若a2n﹣1+a2n＜0，即，可得q＜﹣1＜0，
故“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件．
故选：B．
5．（2023•石景山区一模）设x＞0，y＞0，则“x+y＝2”是“xy≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：①当x+y＝2时，∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2，∴xy≤1，
当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤1，∴充分性成立，
②当xy≤1时，比如x＝1，y＝时，xy≤1成立，但x+y＝2不成立，
∴必要性不成立，
∴x+y＝2是xy≤1的充分不必要条件．
故选：A．
6．（2023•房山区一模）“”是“tanx＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：当时，tanx∈（0，1），满足tanx＜1，充分性；
取，满足tanx＝﹣1＜1，不满足，不必要性．
故“”是“tanx＜1”的充分而不必要条件．
故选：A．
7．（2023•密云区三模）设数列{an}的前n项和为Sn，则“对任意n∈N*，an＞0”是“数列{Sn}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不是充分也不是必要条件
【答案】A
【解答】解：数列{an}中，对任意n∈N*，an＞0，则Sn＝Sn﹣1+an＞Sn﹣1，n≥2；
所以数列{Sn}是递增数列，充分性成立；
当数列{Sn}为递增数列时，Sn＞Sn﹣1，n≥2；
即Sn﹣1+an＞Sn﹣1，所以an＞0，
如数列﹣1，2，2，2，…；不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意n∈N*，an＞0”是“数列{Sn}为递增数列”的充分不必要条件．
故选：A．
8．（2023•延庆区一模）若m∈R，则“m＝1”是“复数z＝m2（1+i）+m（i﹣1）是纯虚数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：由m＝1，得z＝m2（1+i）+m（i﹣1）＝1+i+i﹣1＝2i为纯虚数，
反之，由z＝m2（1+i）+m（i﹣1）＝（m2﹣m）+（m2+m）i为纯虚数，
可得，解得m＝1．
∴“m＝1”是“复数z＝m2（1+i）+m（i﹣1）是纯虚数”的充分必要条件．
故选：C．
9．（2023•丰台区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：
①三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为；
②A1D+DB的最小值为；
③点D到直线C1E的距离的最小值为．
其中所有正确结论的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中BB1⊥平面ABC，
对于①：因为点E在棱BB1上BB1＝AA1＝2，所以BE∈[0，2]，又，
又AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，点D在棱AC上，所以AD∈[0，2]，，
所以，当且仅当D在C点、E在B1点时取等号，故①正确；
对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，
因为A1C1＝CC1＝2，BC＝1，所以BC1＝3，所以，
即A1D+DB的最小值为，故②错误；

对于③：如图建立空间直角坐标系，

设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），
所以，，
则点D到直线C1E的距离＝，
当c＝2时，
当0≤c＜2时0＜（c﹣2）2≤4，，，则，
所以当取最大值，且a2＝0时，
即当D在C点E在B点时点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；
故选：C．
10．（2023•禅城区模拟）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，且满足a⊂α，b⊂β，α⋂β＝l，a∥l，则“a与b异面”是“直线b与l相交”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：若“a与b异面”，反证：直线b与l不相交，由于b，l⊂β，则b∥l，
∵a∥l，则a∥b，
这与a与b异面相矛盾，故直线b与l相交，
故“a与b异面”是“直线b与l相交”的充分条件；
若“直线b与l相交”，反证：若a与b不异面，则a与b平行或相交，
①若a与b平行，∵a∥l，则b∥l，这与直线b与l相交相矛盾；
②若a与b相交，设a⋂b＝A，即A∈a，A∈b，
∵a⊂α，b⊂β，则A∈α，A∈β，
即点A为α，β的公共点，且α⋂β＝l，
∴A∈l，
即A为直线a、l的公共点，这与a∥l相交相矛盾；
综上所述：a与b异面，即“a与b异面”是“直线b与l相交”的必要条件；
所以“a与b异面”是“直线b与l相交”的充分必要条件．
故选：C．
11．（2023•东城区一模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，α∥β，则“m⊥n”是“n⊥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：m⊂α，α∥β，
由m⊥n，可得n∥β或n⊂β或n与β相交，相交也不一定垂直，
反之，由n⊥β，可得n⊥α，而m⊂α，则m⊥n．
则“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分条件．
故选：B．
12．（2023•石景山区一模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点P总满足PD1⊥DC1，则动点P的轨迹是一条直线；
②若点P到直线BB1与到平面CDD1C1的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；
③若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆．
其中正确的命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，
①连接CD1，A1B，由正方体的性质可得C1D⊥平面A1BCD1，
而平面A1BCD1∩平面ABCD＝BC，
∴点P的轨迹是一条直线BC，因此①正确；
②设P（x，y，0），B（2，0，0），∵点P到直线BB1与到平面CDD1C1的距离相等，
∴＝|2﹣y|，化为y＝﹣x2+x，
∴动点P的轨迹是抛物线，因此②正确；
③设P（x，y，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
∵P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，
∴+＝2，化为y＝2（0≤x≤2）．
∴动点P的轨迹是线段CD，因此③不正确．
综上只有①②正确，
故选：C．

13．（2023•西城区一模）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】见试题解答内容
【解答】解：若双曲线C的离心率为2，则，
∴，若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为；
若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为y＝±＝±x；
∴“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的充分条件；
反之，双曲线C的一条渐近线为，
若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为，则，此时离心率；
若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为，则，此时离心率，
∴“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的必要条件；
综上所述，“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
14．（2023•顺义区一模）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝（2k+1）π+β”是“cosα+cosβ＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由cosα+cosβ＝0，即有cosα＝﹣cosβ，
则α＝（2k+1）π±β，k∈Z，
所以“存在k∈Z使得α＝（2k+1）π+β”是“cosα+cosβ＝0”的充分不必要条件．
故选：A．
二．填空题（共9小题）
15．（2023•海淀区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将△BEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥P﹣ACFE，如图所示，给出下列四个结论：
①AC∥平面PEF；
②△PEC不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得PD⊥AE；
④当四棱锥P﹣ACFE的体积最大时，AE＝．
其中所有正确结论的序号是 　①③　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：①因为AC∥EF，EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，
所以AC∥平面PEF，故①正确；
②因为△ABC是等腰直角三角形，所以△PEF也是等腰直角三角形，则EF＝PF，
因为AC⊥BC，EF∥AC，所以EF⊥BC，且EF⊥PF，
当∠PFC＝90°时，△PFC≌△EFC，所以EC＝PC，
此时△PEC是等腰三角形，故②错误；
③因为EF⊥BC，且EF⊥PF，BC∩PF＝F，
且BC⊂平面PCF，PF⊂平面PCF，所以EF⊥平面PCF，EF⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面PCF，且平面ABC∩平面PCF＝BC，
如图，过点P作PM⊥BC，连结DM，
则PM⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以PM⊥AE，
若PD⊥AE，PD∩PM＝P，PD⊂平面PDM，PM⊂平面PDM，
所以AE⊥平面PDM，DM⊂平面PDM，所以AE⊥DM，

如图，AC＝2，延长MD，交AB于点N，
则△DCM和△AND都是等腰直角三角形，
则CM＝1，点N到直线AC的距离等于，
这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则BF＞FM，
设FC＝x，则2﹣x＞1+x，则0＜x＜，
则存在点E，P，使得PD⊥AE，故③正确：
④当底面ACFE的面积一定时，平面ABC⊥平面PEF时，即PF⊥平面ABC时，四棱锥P﹣ACFE的体积最大，
设FC＝x，EF＝BF＝PF＝2﹣x，0＜x＜2，
VP﹣ACEF＝××（2﹣x+2）x（2﹣x）＝x3﹣x2+x，
V'＝x2﹣2x+＝（3x2﹣12x+8）＝0，
得x＝2+（舍）或x＝2﹣，当x∈（0，2﹣），V'＞0，函数单调递增，
当x∈（2﹣，2），V'＜0，函数单调递减，
所以当x＝2﹣时，函数取得最大值，此时AE＝x＝2﹣，故④错误；
故答案为：①③

16．（2023•房山区一模）能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 　﹣2，﹣1，0　．
【答案】﹣2，﹣1，0（答案不唯一）．
【解答】解：若a＜b，当c＞0时，ac＜bc；
当c＝0时，ac＝bc；
当c＜0时，ac＞bc；
“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣2，﹣1，0，
故答案为：﹣2，﹣1，0（答案不唯一）．
17．（2023•通州区一模）两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如φ（1）＝1，φ（4）＝2．
关于欧拉函数给出下面四个结论：
①φ（7）＝6；
②∀n∈N*，恒有φ（n+1）≥φ（n）；
③若m，n（m≠n）都是素数，则φ（mn）＝φ（m）φ（n）；
④若n＝pk（n，k∈N*），其中p为素数，则φ（n）＝（p﹣1）pk﹣1．
（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）
则所有正确结论的序号为 　①③④　．
【答案】①③④．
【解答】解：不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则φ（7）＝6，故①正确；
不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则φ（8）＝4，则φ（8）＜φ（7），故②错误；
若m是素数，m与前m﹣1个正整数均互素，则φ（m）＝m﹣1；
同理，若n是素数，则φ（n）＝n﹣1，
故φ（m）φ（n）＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣m﹣n+1；
若m，n（m≠n）都是素数，则不超过mn的正整数中，除去m，2m，…，（n﹣1）m与n，2n，…，（m﹣1）n及mn外，其他的正整数均与mn互素，
共有mn﹣（n﹣1）﹣（m﹣1）﹣1＝mn﹣m﹣n+1个，则φ（mn）＝mn﹣m﹣n+1，
所以φ（mn）＝φ（m）φ（n），故③正确；
若n＝pk（n，k∈N*），其中p为素数，不超过pk的正整数共有pk，其中p的倍数有pk﹣1个，
则不超过pk且与p互素的正整数有pk﹣pk﹣1＝（p﹣1）pk﹣1个，则φ（n）＝（p﹣1）pk﹣1，故④正确．
故答案为：①③④．
18．（2023•顺义区一模）如果函数f（x）满足对任意s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＜f（s）+f（t），则称f（x）为优函数．给出下列四个结论：
①g（x）＝ln（1+x）（x＞0）为优函数；
②若f（x）为优函数，则f（2023）＜2023f（1）；
③若f（x）为优函数，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
④若在（0，+∞）上单调递减，则f（x）为优函数．
其中，所有正确结论的序号是 　①②④　．
【答案】①②④．
【解答】解：对于①，∵s，t∈（0，+∞），
∴g（s）+g（t）﹣g（s+t）＝ln（1+s）+ln（1+t）﹣ln（1+s+t）
＝ln＝ln＝ln（1+）＞ln1＝0，
∴g（s）+g（t）＞g（s+t），∴g（x）＝ln（1+x）是优函数，故①正确；
对于②，∵f（x）是优函数，∴f（1）+f（1）＞f（1+1），即2f（1）＞f（2），
f（2）+f（1）＞f（2+1）＝f（3）．∴3f（1）＞f（3），
同理，4f（1）＞f（4），•••，2023f（1）＞f（2023），故②正确；
对于③，例如f（x）＝﹣x2，x＞0，满足f（s+t）﹣f（s）﹣f（t）＝﹣（s+t）2+s2+t2＝﹣2st＜0，
∴f（s+t）＜f（s）+f（t），为优函数，但f（x）＝﹣x2在x∈（0，+∞）上单调递减，故③错误；
若F（x）＝在（0，+∞）上单调递减，
任取s，t∈（0，+∞），s+t＞s，s+t＞t，
则F（s+t）＜F（s），F（s+t）＜F（t），
∴＜，＜，
变形为sf（s+t）＜（s+t）[f（s）+f（t）]，
∵s+t＞0，∴f（s+t）＜f（s）+f（t），∴f（x）为优函数，故④正确．
故答案为：①②④．
19．（2023•房山区一模）设函数给出下列四个结论：①函数f（x）的值域是R；②∀a＞1，方程f（x）＝a恰有3个实数根；③，使得f（﹣x0）﹣f（x0）＝0；④若实数x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）．则（x1+x2）（x3﹣x4）的最大值为．其中所有正确结论的序号是 　②③④　．
【答案】②③④．
【解答】解：作出函数的图象如下图所示：

对于①，由图可知，函数f（x）的值域不是R，故①不正确；
对于②，由图可知，∀a＞1，方程f（x）＝a恰有3个实数根，故②正确；
对于③，当时，使得有f（﹣x0）＝f（x0）成立，即y＝x2﹣4x+1与y＝|lnx|有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，当满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）时，
由图可知，即x1+x2＝﹣4，|lnx3|＝|lnx4|，即，
所以，由图可知，x4∈（1，e]，
而在x∈（1，e]上单调递减，所以，
所以，
则（x1+x2）（x3﹣x4）的最大值为，故④正确．
故答案为：②③④．
20．（2023•石景山区一模）项数为k（k∈N*，k≥2）的有限数列{an}的各项均不小于﹣1的整数，满足，其中a1≠0．给出下列四个结论：
①若k＝2，则a2＝2；
②若k＝3，则满足条件的数列{an}有4个；
③存在a1＝1的数列{an}；
④所有满足条件的数列{an}中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【答案】①②④．
【解答】解：因为有限数列{an}的各项均不小于﹣1的整数，
所以an≥﹣1，n∈N*，an∈Z，
又因为，
所以a1•2k﹣1＝﹣（a2•2k﹣2+a3•2k﹣3+…+ak﹣1•2+ak）≤（2k﹣2+2k﹣3+…+21+1）＝2k﹣1﹣1，
所以﹣1≤a1≤1﹣＜1，且a1≠0，a1为整数，
所以a1＝﹣1，所以③错误，④正确；
当k＝2时，得2a1+a2＝0，所以a1＝﹣1，则a2＝2，故①正确；
当k＝3时，得4a1+2a2+a3＝0，
又因为a1＝﹣1，
所以2a2+a3＝4，则2a2＝4﹣a3≤5，
所以﹣1≤a2≤，a2为整数，
则a2的可能取值为﹣1，0，1，2，对应的a3的取值为6，4，2，0，
故数列{an}可能为﹣1，﹣1，6；﹣1，0，4；﹣1，1，2；﹣1，2，0，共4个，故②正确．
故答案为：①②④．
21．（2023•东城区一模）已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A'，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则λ＝　　．

给出下列四个结论：
①；
②图2中，；
③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；
④图2中，S是△A'BC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于．
其中所有正确结论的序号是 　②③　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在图2中，过B作BD垂直x轴于D，
由题意可得T＝＝4，∴A′D＝2，
∴A′B＝，∴AB＝＝＝，

解得λ＝或λ＝﹣（舍去），
∴f（x）＝sin（x+φ），当x＝0时，sinφ＝，
∵0＜φ＜π，∴φ＝或φ＝，
当φ＝显然不符合图象的变化情况，故舍去，
∴φ＝，故①错误；
由题意可得AC＝＝2，BC＝2，
∴cos∠BAC＝＝，
∴•＝||•||•cos∠BAC＝×2×＝5，故②正确；
∵AC＝BC＝2，∴过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C，故③正确；
∵|AQ|≤2，二面角为直二面角可得|A′Q|≤1，
∴T表示的区域的面积为π×12×＜，故④错误．
故答案为：；②③．
22．（2023•西城区一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AD1和B1C1上．
出下列四个结论：
①MN的最小值为2；
②四面体NMBC的体积为；
③有且仅有一条直线MN与AD1垂直；
④存在点M，N，使△MBN为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．

【答案】①②④．
【解答】解：对于①，由M在AD1上运动，N在B1C1上运动，
∴|MN|的最小值为两条直线之间距离|D1C1|，而|D1C1|＝2，
∴MN的最小值为2，故①正确；
对于②，＝，
∵，∴四面体NMBC的体积为，对②正确；
对于③，由题意知当M与D1重合时，D1C1⊥AD1，
又根据正方体性质得AD1⊥平面A1B1CD，
∴当M为AD1中点，N与B1重合时，MN⊥AD1，
∴与AD1垂直的MN不唯一，故③错误；
对于④，当△MBN为等边三角形时，BM＝BN，则此时AM＝B1N，
∴只需要BM与BN的夹角等于即可，
以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设AM＝B1N＝n，则由题意得M（2﹣，0，），B（2，2，0），N（2﹣n，2，2），
∴＝（﹣，﹣2，），＝（﹣n，0，2），
∴cos∠MBN＝＝||＝||，
整理得（）＝0，
该方程看成关于n的二次函数，
＝8，
∴存在n，使得△MBN为等边三角形．
故答案为：①②④．
23．（2023•平谷区一模）如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折，构成四棱锥B1﹣AMCD，N为B1D的中点，则在翻折过程中，
①对于任意一个位置总有CN∥平面AB1M；
②存在某个位置，使得CN⊥AB1；
③存在某个位置，使得AD⊥MB1；
④四棱锥B1﹣AMCD的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是 　①④　．

【答案】①④．
【解答】解：如图，分别取AB1，AD的中点为E，F，连接EN，EM，B1F，FM，

因为AB1，B1D的中点分别为E，N，所以EN∥AD∥MC，且EN＝AD＝MC，
即四边形ENCM为平行四边形，故EM∥NC，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有CN∥平面AB1M，故①正确；
因为∠AB1M＝90°，所以AB1与EM不垂直，由EM∥NC可知，AB1与NC不垂直，故②错误；
由题意AB1⊥B1M，若AD⊥MB1，则由线面垂直的判定可得MB1⊥平面AB1D，则MB1⊥B1D，
因为AM＝MD，所以△AMB1与△MB1D全等，则AB1＝B1D＝1，此时点B1与点F重合，不能形成四棱锥B1﹣AMCD，故③错误；
如图，取AM的中点为G，连接B1G，B1G＝，

当B1G⊥平面AMCD时，四棱锥B1﹣AMCD的体积最大，最大值为（1+2）×1×＝，故④正确；
故答案为：①④．
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