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2022-2023学年四川省自贡市贡井区田家炳中学高二（下）期中数学试卷（含解析）
展开这是一份2022-2023学年四川省自贡市贡井区田家炳中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省自贡市贡井区田家炳中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 已知M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=3，则动点P的轨迹是( )
A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 双曲线右边一支 D. 一条射线
3. 在△ABC中，“A>30°”是“sin A>12”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A. 原命题真，逆命题假 B. 原命题假，逆命题真
C. 原命题与逆命题均为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题
5. 有下述说法：
①a>b>0是a2>b2的充要条件．
②a>b>0是1a<1b的充要条件．
③a>b>0是a3>b3的充要条件．则其中正确的说法有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 下列说法中正确的是( )
A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B. “a>b”与“a+c>b+c”不等价
C. “a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”
D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
7. 已知F1、F2为双曲线C：x2−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|⋅|PF2|=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知F1，F2是椭圆x216+y29=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=1，则|AF1|−|BF2|=( )
A. 7 B. 8 C. 13 D. 16
9. 设F1和F2为双曲线x24−y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是( )
A. 1 B. 52 C. 2 D. 5
10. 已知圆x2+y2−6x−7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11. 已知直线l：y=kx与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. [ 22,1) B. (0, 22] C. ( 22,1) D. (0, 22)
12. 已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)与直线y=kx交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为kPA、kPB，曲线C的左、右焦点分别为F1、F2.若kPA⋅kPB=19，则下列说法正确的是( )
A. a= 3
B. 双曲线C的渐近线方程为y=± 3x
C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2
D. 曲线C的离心率为 103
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如果椭圆x2 100+y236=1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是______．
14. 抛物线y2=12x截直线y=x−3所得弦长等于______ ．
15. 如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为______ 米(精确到0.1米)．
16. 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是______．
①p1∧p4
②p1∧p2
③￢p2∨p3
④￢p3∨￢p4
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m−2)x+1=0无实根，若“p或q”真“p且q”为假，求m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
设命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足x2−x−6≤0x2+2x−8>0.．
(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19. (本小题12.0分)
(1)求与双曲线y24−x23=1有共同的渐近线，且经过点M(3,−2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2 33，过点A(0,−b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 32，求此双曲线的标准方程．
20. (本小题12.0分)
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y− 3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12．
(Ⅰ)求M的方程；
(Ⅱ)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为 22，直线y=k(x−1)与椭圆C交与不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为 103时，求k的值．
22. (本小题12.0分)
已知抛物线D的顶点是椭圆x24+y23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线D的方程；
(2)已知直线l过点P(4,0)交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线x=m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出直线x=m的方程；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．
先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．
【解答】
解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：∵M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=3
∴|PM|−|PN|<|MN|
∴动点P的轨迹为以M，N为焦点的双曲线的右支．
故选：C．
根据题意可得PM|−|PN|<|MN|，利用双曲线的定义，即可得到动点P的轨迹为以M，N为焦点的双曲线的右支．
本题考查双曲线的定义，解题的关键是正确理解双曲线的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解斜三角形，三角函数，充分必要条件的定义，属于基础题．
要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∵A>30°，
∴30°
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b<2是真命题
所以原命题是真命题
逆命题为：若a，b 中至少有一个不小于1则a+b≥2，例如a=3，b=−3满足条件a，b 中至少有一个不小于1，但此时
a+b=0，故逆命题是假命题
故选：A．
根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．
判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假
5.【答案】A
【解析】解：a>b>0⇒a2>b2，反之则不成立，故①错误；
a>b>0⇒1a<1b，反之则不成立，故②错误；
a>b>0⇒a3>b3，反之由不成立，故③错误．
故选A．
依次分析命题，a>b>0⇒a2>b2，反之则不成立，故①错误；a>b>0⇒1a<1b，反之则不成立，故②错误；a>b>0⇒a3>b3，反之由不成立，故③错误；综合可得答案．
本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意避免不必要错误的发生．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
由四种命题的等价关系可判断A，D；利用等价命题的定义，可判断B；写出原命题的逆否命题，可判断C；
本题考查的知识点是四种命题，等价命题，熟练掌握四种命题的等价关系和定义是解答的关键．
【解答】
解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，D正确；
“a>b”⇔“a+c>b+c”，故B错误；
“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：由双曲线方程得a=1，b=1，c= 2，
由余弦定理得
cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|⇒cos60°=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|22|PF1||PF2|⇒12=22+2|PF1||PF2|−(2 2)22|PF1||PF2|
∴|PF1|⋅|PF2|=4．
故选：B．
利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|⋅|PF2|的值．
本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．
8.【答案】A
【解析】解：∵过F2的直线交椭圆x216+y29=1于点A，B，
∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，
∵|AB|=1，
∴|AF2|+|BF2|=1
∴|AF1|−|BF2|=|AF1|+|AF2|−(|AF2|+|BF2|)=8−1=7，
故选A．
由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，由|AB|=5，可知|AF2|+|BF2|=5，从而可求|AF1|−|BF2|.
本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．
9.【答案】A
【解析】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，(x>y)
根据双曲线性质可知x−y=4，
∵∠F1PF2=90°，
∴x2+y2=20，
∴2xy=x2+y2−(x−y)2=4，
∴xy=2，
∴△F1PF2的面积为12xy=1．
故选：A．
设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x−y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2−(x−y)2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积
本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系
10.【答案】C
【解析】
【分析】
先把圆的方程整理标准方程，求得圆心和半径，进而根据圆与抛物线的准线相切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P.本题主要考查了抛物线的标准方程，点到直线的距离及圆与直线的位置关系．解题的关键是利用圆和抛物线的标准方程求得圆心，半径及抛物线的准线方程．
【解答】
解：整理圆方程得(x−3)2+y2=16，
∴圆心坐标为(3,0)，半径r=4，
∵圆与抛物线的准线相切，
∴圆心到抛物线准线的距离为半径，
即 (3−p2) 2+0=4，
求得p=2．
故选C．
11.【答案】C
【解析】解：由AF与BF垂直，
运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，
可得|OA|=|OF|=c，
由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2=a2−c2，
即有c2>12a2，
可得 22
由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c>b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．
本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用直角三角形斜边上中线的性质，以及离心率公式和弦长的性质，考查运算能力，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由y=kxx2a2−y2=1，可得(1a2−k2)x2−1=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=0，即x2=−x1，
∴B(−x1,−y1)，设P(x0,y0)，
则x12a2−y12=1，x02a2−y02=1，∴x12−x02a2=y12−y02，即y12−y02x12−x02=1a2，
又kPA=y1−y0x1−x0,kPB=−y1−y0−x1−x0，kPA⋅kPB=19，
∴kPAkPB=y1−y0x1−x0⋅−y1−y0−x1−x0=y02−y12x02−x12=1a2=19，
∴a2=9，即a=3，故A错误；
∴双曲线C：x29−y2=1，b=1,c= 10，
双曲线C的渐近线方程为y=±13x，离心率为 103，故B错误，D正确；
若PF1⊥PF2，则|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1||PF2|=(2 10)2，
∴|PF1||PF2|=2，△PF1F2的面积为1，故C错误．
故选：D．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，由题可得1a2=19，可得双曲线方程，进而判断ACD，然后利用双曲线的定义及三角形的面积公式可判断C．
本题考查了双曲线的定义与性质，三角形的面积公式，考查方程思想和转化思想，属中档题．
13.【答案】14
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
根据椭圆方程，可得a=10，再结合椭圆的定义，即可求解．
【解答】
解：∵椭圆x2 100+y236=1，
∴a=10，
∴由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a=20，
∵椭圆x2 100+y236=1上一点P与焦点F1的距离等于6，
∴6+|PF2|=20，
∴|PF2|=14．
故答案为：14．
14.【答案】24
【解析】解：设直线与抛物线的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的方程可得焦点F(3,0)，
可得直线y=x−3过焦点F，
联立y2=12xx=y+3，整理可得：y2−12y−36=0，
可得y1+y2=12，x1+x2=y1+y2+6=18，
由抛物线的性质可得|AB|=x1+x2+6=18+6=24．
故答案为：24．
由题意可得直线过抛物线的焦点，联立直线与抛物线的方程，可得两根之和，由抛物线的性质求出弦长的大小．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】2.6
【解析】解：根据题意，设抛物线的方程为x2=my，(m<0)
|AB|=16，当水面上涨2米后达到CD，|CD|=12，
设A(8,a)，C(6,a+2)，
则有64=ma36=m(a+2)，解可得a=−327，
则a+2=−327+2=−187≈−2.6，
则此时桥洞顶部距水面的高度约为2.6米，
故答案：2.6．
根据题意，设抛物线的方程为x2=my，作出抛物线的图形，设A(8,a)，C(6,a+2)，代入抛物线的方程，计算可得a的值，求出a+2的值，即可得答案．
本题考查抛物线性质的应用，涉及抛物线的标准方程，属于基础题．
16.【答案】①③④
【解析】解：设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；
由复合命题的真假可判断①p1∧p4为真命题，②p1∧p2为假命题，③￢p2∨p3为真命题，④￢p3∨￢p4为真命题，
故真命题的序号是：①③④，
故答案为：①③④，
根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系对四个命题分别判断真假即可得到答案．
本题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．
17.【答案】解：若方程 x2+mx+1=0有两个不等的负根，
则△=m2−4>0m>0
解得m>2，
若方程4x2+4(m−2)x+1=0无实根，则△=16(m−2)2−16<0，
解得：1
因此，命题p，q应一真一假，
∴m>2m≤1,或m≥3或m≤21
【解析】若“p或q”真“p且q”为假，命题p，q应一真一假，分类讨论，可得m的取值范围．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次方程根与系数的关系，难度中档．
18.【答案】解：(1)当a=1时，p：{x|1
又p：{x|a
【解析】(1)现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；(2)先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．
充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．
19.【答案】解：(1)双曲线y24−x23=1的渐近线方程为y=±2 33x，
∵点M(3,−2)不在双曲线y24−x23=1上，∴所求双曲线焦点一定在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
∵双曲线经过点M(3,−2)，
∴ba=2 339a2−4b2=1，解得a2=6b2=8，
∴双曲线的标准方程为x26−y28=1；
(2)∵A(0,−b)，B(a,0)，∴直线AB的方程为：xa+y−b=1，
即bx−ay−ab=0，
由原点到此直线的距离为 32，|−ab| a2+b2= 32，即4a2b2=3(a2+b2)，①
又e=ca=2 33，∴e2=1+b2a2=43，②
联立①②解得a2=3，b2=1．
∴双曲线的标准方程为x23−y2=1．
【解析】(1)先求出已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的标准方程，根据过点M(3,−2)和渐近线方程，列出方程组，解出a，b即可；
(2)由已知求出AB的方程，利用点到直线的距离公式以及离心率列出方程组求得a2，b2的值，则答案可求．
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线方程的求法，考查计算能力，是中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)把右焦点(c,0)代入直线x+y− 3=0得c+0− 3=0，解得c= 3．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点P(x0,y0)，
则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，相减得x12−x22a2+y12−y22b2=0，
∴x1+x2a2+y1+y2b2×y1−y2x1−x2=0，
∴2x0a2+2y0b2×(−1)=0，又kOP=12=y0x0，
∴1a2−12b2=0，即a2=2b2．
联立得a2=2b2a2=b2+c2c= 3，解得b2=3a2=6，
∴M的方程为x26+y23=1．
(Ⅱ)∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立y=x+tx26+y23=1，消去y得到3x2+4tx+2t2−6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2−12(2t2−6)=72−8t2>0，解−3
∴|CD|= (1+12)[(x3+x4)2−4x3x4]= 2[(−4t3)2−4×2t2−63]=2 2⋅ 18−2t23．
联立x+y− 3=0x26+y23=1得到3x2−4 3x=0，解得x=0或43 3，
∴交点为A(0, 3)，B(43 3,− 33)，
∴|AB|= (43 3−0)2+(− 33− 3)2=4 63．
∴S四边形ACBD=12|AB| |CD|=12×4 63×2 2⋅ 18−2t23=8 3⋅ 18−2t29，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为83 6，满足(*)．
∴四边形ACBD面积的最大值为83 6．
【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，考查椭圆中四边形面积，属于难题．
(Ⅰ)把右焦点(c,0)代入直线可解得c.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点P(x0,y0)，利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．
(Ⅱ)由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|.把直线x+y− 3=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=12|AB| |CD|即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
21.【答案】解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，
将点A的坐标代入椭圆C的方程可得a=2，由于椭圆C的离心率为e=ca=c2= 22，∴c= 2，
则b= a2−c2= 2，
因此，椭圆C的方程为x24+y22=1；
(2)设点M(x1,y1)、N(x2,y2)，易知，k≠0．
令1k=m，则直线MN的方程为x=my+1，直线MN过定点T(1,0)，
将直线MN的方程与椭圆的方程联立x=my+1x24+y22=1，消去x化简得(m2+2)y2+2my−3=0，
△=4m2+12(m2+2)=8(2m2+3)>0恒成立，
由韦达定理可得y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−3m2+2，
所以，S△AMN=12|AT|⋅|y1−y2|
=12 (y1+y2)2−4y1y2
=12 (−2mm2+2)2+12m2+2
= 2(2m2+3)m2+2= 103，
化简得5m4+2m2−7=0，即(5m2+7)(m2−1)=0，解得m=±1，
因此，k=1m=±1．
【解析】(1)将点A的坐标代入椭圆C的方程可求出a的值，由离心率可求出c的值，进而求出b的值，从而得出椭圆C的方程；
(2)设1k=m，将直线MN的方程表示为x=my+1，并设点M(x1,y1)、N(x2,y2)，将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式，结合△AMN的面积并代入韦达定理可计算出m的值，于是可求出k的值．
本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，属于中等题．
22.【答案】解：(1)由题意，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)
椭圆x24+y23=1中a2−b2=4−3=1，得c=1，∴抛物线的焦点为(1,0)，
∴p2=1，∴p=2，
∴抛物线D的方程为y2=4x；
(2)设A(x1,y1)，则圆心M(x1+42,y12)，
过M作直线x=m的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|2=|MG|2−|ME|2，
即|EG|2=|MA|2−|ME|2=(x1−4)2+y124−(x1+42−m)2=14y12+(x1−4)2−(x1+4)24+m(x1+4)−m2=(m−3)x1+4m−m2，
当m=3时，|EG|2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2 3
因此存在直线x=3满足题意．
【解析】(1)确定椭圆的几何量，求出抛物线的焦点坐标，即可得到抛物线D的方程；
(2)确定M的坐标，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，故|EG|2=|MG|2−|ME|2，由此即可求得结论．
本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解，属于中档题．
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