2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列{an}中，a2+a12=32，则a6+a7+a8的值是( )
A. 24B. 32C. 48D. 96
2. 已知函数f(x)=x2+1，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
3. 如表是离散型随机变量X的概率分布，则常数a的值是( )
A. 16B. 112C. 19D. 12
4. 某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为( )
A. 42B. 72C. 30D. 56
5. 已知在数列{an}中，a1=3，a2=6，且an+2=an+1−an，则a2023=( )
A. 3B. −3C. 6D. −6
6. 现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A. 120种
B. 180种
C. 60种
D. 48种
7. 从分别标有1，2，3，⋯，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为( )
A. 38B. 16C. 112D. 124
8. 已知函数f(x)=eax−2lnx−x2+ax，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (1e,+∞)B. (1,+∞)C. (2e,+∞)D. (e,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列变量中，是离散型随机变量的是( )
A. 某机场明年5月1日运送乘客的数量
B. 某办公室一天中接到电话的次数
C. 某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数
D. 一瓶净含量为500±2mL的果汁的容量
10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11. 设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1<0，则下列结论正确的是( )
A. 01C. Tn的最大值为T6D. T13>1
12. 下面比较大小正确的有( )
A. ln22>1eB. 3ln4<4ln3C. πe>lnπD. 3第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an= ．
①am+n=am+an(m,n∈N*)；
②{an}单调递增．
14. (1−2x)5(1+3x)展开式中按x的升幂排列的第三项是______．
15. 已知事件A，B，且P(A)=13，P(B|A)=15，P(B|A−)=25，则P(B)等于______ ．
16. 已知函数f(x)=lnx−ax在(1e,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记X=0,两球全是白球1,两球不全是白球，求X的分布列和期望与方差．
18. (本小题12.0分)
设(2x−1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．
(1)求a0+a2+a4的值；
(2)求S=C271+C272+C273+⋯+C2726+C2727除以9的余数．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=3x3−9x+5．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值．
20. (本小题12.0分)
设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}是公差为2的等差数列，a1+a3=a4.{bn}是公比大于0的等比数列，b1=3，b3−b2=18．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn=anbn，求{cn}的前n项和Tn．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex−ax−1．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵{an}是等差数列，
∴a2+a12=2a7，
又∵a2+a12=32，
∴2a7=32，即a7=16，
∴a6+a7+a8=3a7=3×16=48．
故选：C．
根据{an}是等差数列可得a2+a12=2a7=32，则a7=16，进一步利用a6+a7+a8=3a7进行求解即可．
本题考查等差数列的性质，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：f(x)=x2+1，
则f′(x)=2x，
Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=f′(2)=4．
故选：B．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据概率和为1，列方程得：
a2+16+a+12+16=1，
解得a=19．
故选：C．
根据概率和为1，列方程求得a的值．
本题考查了离散型随机变量的分布列应用问题，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有A88种，
而原有的6个节目对应的不同排法共有A66种，
所以不同的排法有A88A66=56种．
故选：D．
先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：已知在数列{an}中an+2=an+1−an，
则an+3=an+2−an+1，
即an+3=−an，
即an+6=−an+3，
即an+6=an，
即数列{an}是周期为6的周期数列，
又a1=3，a2=6，
则a2023=a6×337+1=a1=3，
故选：A．
由题意可得an+6=an，即数列{an}是周期为6的周期数列，然后求解即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了数列的周期性，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，
对于区域1，有5种颜色可选，
对于区域2，与区域1相邻，有4种颜色可选，
对于区域3，与区域1、2相邻，有3种颜色可选，
对于区域4，与区域2、3相邻，有3种颜色可选，
则一共有5×4×3×3=180种着色方法；
故选：B．
根据题意，依次分析4个区域的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．
7.【答案】A
【解析】解：设事件A为第1张为偶数，事件B为第2张为偶数，
则P(A)=49，P(AB)=C42C92=16，
故P(B|A)=P(AB)P(A)=38．
故选：A．
设事件A为第1张为偶数，事件B为第2张为偶数，则P(A)=49，P(AB)=16，根据条件概率公式得到答案．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：f(x)>0等价于eax+ax>x2+2lnx=e2lnx+2lnx．
令函数g(x)=ex+x，则g′(x)=ex+1>0，故g(x)是增函数．
eax+ax>e2lnx+2lnx等价于ax>2lnx(x>0)，即a>2lnxx．
令函数h(x)=2lnxx，则h′(x)=2−2lnxx2．
当x∈(0,e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增：当x∈(e,+∞)时，h(x)<0，h(x)单调递减．
h(x)max=h(e)=2e．
故实数a的取值范围为(2e,+∞)．
故选：C．
依题意可得eax+ax>x2+2lnx=e2lnx+2lnx，进而可得a>2lnxx在x∈(0,+∞)上恒成立，构造函数h(x)=2lnxx，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：A选项，某机场明年5月1日运送乘客的数量可能为0，1，2，3.…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故A正确；
B选项，某办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故B正确；
C选项，某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数可能为0，1，2，3…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故C正确；
D选项，果汁的容量在498mL～502mL之间波动，虽然是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量，故 D错误．
故选：ABC．
根据离散型随机变量的概念逐一分析即可求解．
本题考查离散型随机变量的概念，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53−43=61(种).判断正确；
选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52=25(种).判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有5×4×3=60(种).判断正确；
选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，
则不同的安排方法共有5+5×4=25(种).判断错误．
故选：ABC．
求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；
求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选项B；
求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；
求得甲、乙两名同学必须在同一个社区的安排方法数判断选项D．
本题主要考查排列组合数的简单应用，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：①若q<0，∵a1>1，则a6<0，a7>0，∴a6a7<0与a6a7>1矛盾，
②若q≥1，∵a1>1，则a6>1，a7>1，∴a6−1a7−1>0与a6−1a7−1<0矛盾，
∴0∵a6−1a7−1<0，则a6>1，0∵a6>1，0∵T13=a1a2⋅⋅⋅a13=a713<1，故D错误．
故选：AC．
利用等比数列的通项公式和性质，判断即可．
本题考查等比数列的通项公式和性质，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：令f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=1−lnxx2，
由f′(x)=0得x=e，由f′(x)>0得0e，
∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
对于A：f(2)对于B：f(3)>f(4)，即ln33>ln44，即3ln4<4ln3，故B正确；
对于C：f(e)>f(π)，即1e>lnππ，即πe>lnπ，故C正确；
对于D：f(e)>f(3)，即1e>ln33，即3>eln3，故D错误．
故选：BC．
由题意构造函数f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=1−lnxx2，可得f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】n(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了数列的通项公式，考查数列的单调性，属于中档题．
令an=n，均满足题意，即可求得结果．
【解答】
解：令an=n，
由①am+n=am+an(m,n∈N*)，
则am+n=m+n,am+an=m+n，
则am+n=am+an(m,n∈N*)满足题意，
易知{an}单调递增，
∴an=n满足题意．
故答案为：n(答案不唯一)．

14.【答案】10x2
【解析】解：(1−2x)5(1+3x)展开式中按x的升幂排列的第三项，即含x2的系数，
即T3=C52⋅(−2)2+3⋅C51⋅(−2)=40−30=10，
故答案为：10．
本题即求展开式中含x2的系数，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
15.【答案】13
【解析】解：P(AB)=P(A)P(B|A)=13×15=115，
P(B|A−)=P(A−B)P(A−)=P(B)−P(AB)1−P(A)=25，解得P(B)=13．
故答案为：13．
根据条件概率公式列式计算即可．
本题考查条件概率公式的应用，是基础题．
16.【答案】[e,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)=lnx−ax在(1e,+∞)上单调递减，
所以f′(x)=1x−a≤0在(1e,+∞)上恒成立，
所以a≥1x在(1e,+∞)上恒成立，
所以a≥(1x)max=e，
所以a的取值范围为[e,+∞)，
故答案为：[e,+∞)．
根据题意可得f′(x)=1x−a≤0在(1e,+∞)上恒成立，即a≥1x在(1e,+∞)上恒成立，则a≥(1x)max，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意可得P(X=0)=C52C152=221，
∴P(X=1)=1−P(X=0)=1921，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×221+1×1921=1921，D(X)=1921×(1−1921)=38441．
【解析】根据古典概型的概率公式，组合数公式，离散型随机变量的分布列与期望方差的概念，即可求解．
本题考查古典概型的概率公式，组合数公式，离散型随机变量的分布列与期望方差的概念，属基础题．
18.【答案】解：(1)令x=1，得a0+a2+a4+a1+a3+a5=1，
令x=−1，得a0+a2+a4−(a1+a3+a5)=−35，
两式作和得：2(a0+a2+a4)=−35+1，则a0+a2+a4=−121；
(2)由S=C271+C272+C273+⋯+C2726+C2727，
得S=(1+1)27−1=227−1=89−1=(9−1)9−1
=C90⋅99−C91⋅98+...+C98⋅9−C99−1
=99−C91⋅98+...−C9797+79．
∴S=C271+C272+C273+⋯+C2726+C2727除以9的余数为7．
【解析】(1)在已知二项展开式中，分别令x=1和−1，然后作和得答案；
(2)化S为(1+1)27−1，再根据227=89，即(9−1)9，展开后即可求S除以9的余数．
本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f′(x)=9x2−9=9(x+1)(x−1)，
令f′(x)>0，可得x<−1或x>1；令f′(x)<0，可得−1∴递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，递减区间(−1,1)；
(2)根据(1)列表如下：
∴函数f(x)在[−3,3]上的最大值为59，最小值为−49．
【解析】(1)求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；
(2)求出极值和端点值，比较后确定最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属中档题．
20.【答案】解：(1)设B表示“此人感染此病”，
A1，A2，A3表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
由题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，
P(B|A1)=17，P(B|A2)=15，P(B|A3)=14，
由全概率公式得：
此人感染此病的概率：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=13×17+13×15+13×14=83420．
(2)由贝叶斯公式得若此人感染此病，此人选自乙地区的概率为：
P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=13×1583420=2883．
【解析】(1)利用全概率公式能求出此人感染此病的概率．
(2)利用贝叶斯公式能求出若此人感染此病，此人选自乙地区的概率．
本题考查概率的求法，考查全概率公式、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)∵数列{an}是公差为2的等差数列，
∴a1+a3=a1+a1+4=a1+6，
得a1=2，∴an=2n，
∵{bn}是公比大于0的等比数列，b1=3，设公比为q，q>0，
∴b3−b2=3q2−3q=18，解得q=3(负值舍去)，
∴bn=3n；
(2)由(1)得cn=2n⋅3n，
∴Tn=2⋅3+4⋅32+6⋅33+⋯+(2n−2)⋅3n−1+2n⋅3n①，
∴3Tn=2⋅32+4⋅33+6⋅34+⋯+(2n−2)⋅3n+2n⋅3n+1②，
①−②得−2Tn=2⋅3+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−2n⋅3n+1=2×3(1−3n)1−3−2n⋅3n+1
=3(3n−1)−2n⋅3n+1=(1−2n)3n+1−3，
∴Tn=(n−12)3n+1+32．
【解析】(1)由等差数列的求和公式解方程可得首项，进而得到an；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到bn；
(2)由等比数列的求和公式，结合数列的错位相减法求和，可得所求和．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，属中档题．
22.【答案】解：(1)f′(x)=ex−a，
a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上是增函数；
a>0时，xlna时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
综上，a≤0时，f(x)在R上是增函数，a>0时，f(x)在(−∞,lna)上是减函数，在(lna,+∞)上是增函数；
(2)当a≤0时，由(1)得f(x)在R上是增函数，不符合题意；
当a>0时，由(1)得f(x)≥f(lna)=a−alna−1；
①当lna=0⇒a=1时，f(lna)=f(0)=0，f(x)只有一个零点，不符合题意；
②当lna>0⇒a>1时，f(lna)又f(x)在(lna,+∞)上是增函数，
设g(a)=f(a)=ea−a2−1，h(a)=g′(a)=ea−2a，h′(a)=ea−2>h′(1)>0，
∴g′(a)在(1,+∞)单调递增，g′(a)>g′(1)>0，
∴g(a)在(1,+∞)单调递增，f(a)=g(a)>g(1)>0，
设m(x)=x−lnx，由m′(x)=1−1x知，
当x∈(0,1)，m′(x)<0，m(x)单调递减，当x∈(1,+∞)，m′(x)>0，m(x)单调递增，
∴m(x)=x−lnx≥m(1)=1⇒x>lnx，即a>lna，
故f(x)在(lna,+∞)有一个零点，故函数有两个零点；
③当lna<0⇒0又f(x)在(−∞,lna)上是减函数，f(−1a)=e−1a>0，由②得1a>ln1a⇒−1a<−ln1a=lna，
故f(x)在(−∞,lna)有一个零点，故函数有两个零点；
综上，01，
实数a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞)．
【解析】(1)根据题意，分a≤0和a>0两种情况讨论求解即可；
(2)分别讨论a≤0，a=1，a>1，0本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
X
3
4
5
6
P
a2
16+a
12
16
X
0
1
P
221
1921
x
−3
(−3,−1)
−1
(−1,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
+
0
−
0
+
y=f(x)
−49
单调递增
极大值11
单调递减
极小值−1
单调递增
59