2023年重庆市乌江新高考协作体高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023年重庆市乌江新高考协作体高一（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年重庆市乌江新高考协作体高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知i为虚数单位，复数z满足(1+2i)z=3−i，则复数z在复平面所对应的点在(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i与1+bi互为共轭复数，则b=(    )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
3. 已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ=m，β∩γ=n，则“α/​/β”是“m/​/n”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续5周的量化打分不低于80分，则为优秀班级.下列能断定该班为优秀班级的是(    )
A. 某班连续5周量化打分的平均数为83，中位数为81
B. 某班连续5周量化打分的平均数为83，方差大于0
C. 某班连续5周量化打分的中位数为81，众数为83
D. 某班连续5周量化打分的平均数为83，方差为1
5. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1D1和棱C1D1的中点，G为棱BC上的动点(不含端点)．
①三棱锥D1−EFG的体积为定值；
②当G为棱BC的中点时，△EFG是锐角三角形；
③△EFG面积的取值范围是(38, 178)；
④若异面直线AB与EG所成的角为α，则sinα∈[ 22, 53)．
以上四个命题中正确命题的个数为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知直线a⊂α，给出以下三个命题：
①若平面α/​/平面β，则直线a/​/平面β；
②若直线a/​/平面β，则平面α/​/平面β；
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．
其中正确的命题是(    )
A. ② B. ③ C. ①② D. ①③
7. 已知A，B，C，D是体积为20 53π的球体表面上四点，若AB=4，AC=2，BC=2 3，且三棱锥A−BCD的体积为2 3，则线段CD长度的最大值为(    )
A. 2 3 B. 3 2 C. 13 D. 2 5
8. 如图，平面四边形ABCD中，∠ABC=π2，△ACD为正三角形，以AC为折痕将△ACD折起，使D点达到P点位置，且二面角P−AC−B的余弦值为− 33，当三棱锥P−ABC的体积取得最大值，且最大值为 23时，三棱锥P−ABC外接球的体积为(    )

A. π B. 2π C. 3π D. 6π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图是国家统计局发布的2020年8月至2021年8月全国工业生产者出厂价格同比与环比的涨跌幅(同比=(本期数−去年同期数去年同期数100%，环比=本期数−上期数上期数×100%)，则去年同期数(    )


A. 2021年1～8月，工业生产者出厂价格最高的是8月
B. 2021年1～8月，工业生产者出厂价格每月平均比去年同期上涨约6.2%
C. 2020年8月至2021年8月，工业生产者出厂价格最低的是2020年10月
D. 2020年8月至2021年8月，工业生产者出厂价格同比数据的中位数是1.7%
10. 已知平面向量a=(1,1)，b=(−3,4)，则下列说法正确的是(    )
A. cos〈a,b〉= 210
B. b在a方向上的投影向量为 22a
C. 与b垂直的单位向量的坐标为(45,35)
D. 若向量a+λb与向量a−λb共线，则λ=0
11. 在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，在边AB，AC上分别取M，N两点，沿MN将△AMN翻折，若顶点A正好可以落在边BC上，则AM的长可以为(    )
A. 2 B. 3 22 C. 4− 22 D. 4−2 2
12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，平面α过点A，A1H⊥平面α，且垂足H在正方体的内部，P是棱C1D1上的动点，则(    )
A. 当BD/​/平面α时，H点的轨迹长度为π
B. 点H所形成曲面的面积为2π3
C. 若仅存在唯一的平面α，使得HC⊥HP，则D1P=4 3−63
D. 若P为C1D1的中点，则直线PH与平面A1B1C1D1所成角的最大正切值为 52
三、填空题（本大题共5小题，共32.0分）
13. 已知向量a=(1,2),b=(−2,1),c=(m,n)满足(a+2b)⊥c，请写出一个符合题意的向量c的坐标______ ．
14. 如图圆锥的高SO= 3，底面直径AB=2，C是圆O上一点，且AC=1，则SA与BC所成角的余弦值为______ ．


15. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB= 2，BC= 3，AB⊥AD，AC⊥CD，AD=3AC，则AC=______．


16. 根据《周髀算经》记录，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理也称为商高定理，勾股数组是满足勾股定理的正整数组(a,b,c)，其中a，b，c称为勾股数.任意一组勾股数(a,b,c)都可以表示为如下的形式：a=k(m2−n2)b=2kmnc=k(m2+n2)，其中k，m，n均为正整数，且m>n.如图，△PEF中，PE⊥PF，PF=12>PE，三边对应的勾股数中k=1，n=2，点M在线段EF上，且EM=m，则PM⋅MF= ______ ．

17. 如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．
(1)求证：AC⊥A1B；
(2)求三棱锥C1−ABA1的体积．


四、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题10.0分)
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且．
(1)求角A；
(2)若a=2 3，△ABC的面积为 3，求b，c．
19. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足B=π3，a=3，BA⋅BC=9，过B作BD⊥AC于点D，点E为线段BD的中点．
(1)求c；
(2)求BE⋅EA的值．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−π6)，x∈[0,π2]
(1)求f(x)的值域；
(2)若△ABC的面积为3 32，角C所对的边为c，且f(C)=12，c= 7，求△ABC的周长．
21. (本小题12.0分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，∠ABC=60°，PB=PD，PA⊥AC．
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA=3，M为棱PC上一点，满足CM=23CP，求点A到平面MBD的距离．

22. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=π2，AB=3，BC=2，S△ABC=3 32且∠ABC为锐角．
(1)求DB；
(2)求△ACD的面积．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：(1+2i)z=3−i，
∴(1−2i)(1+2i)z=(1−2i)(3−i)，
化为5z=1−7i，
∴z=15−75i，
则复数z在复平面所对应的点(15,−75)在第四象限．
故选：D．
利用复数的运算法则及其几何意义即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：∵a+2i与1+bi互为共轭复数，
∴a=1b=−2．
故选：D．
由共轭复数的概念求解即可．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：由α∩γ=m，β∩γ=n，α//β⇒m//n；反之不成立，可能α与β相交．
∴α∩γ=m，β∩γ=n，则“α/​/β”是“m/​/n”的充分不必要条件．
故选：A．
利用面面平行的性质定理及其充要条件的判定方法即可得出．
本题考查了面面平行的性质定理及其充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数据为88，87，81，80，79，满足平均数为83，中位数为81，但不能断定该班为优秀班级；
对于B，若数据为88，87，81，80，79，满足平均数为83，其方差一定大于0，但不能断定该班为优秀班级；
对于C，若数据为83，83，81，80，79，满足中位数为81，众数为83，但不能断定该班为优秀班级；
对于D，设数据的最低分为x，若数据平均数为83，方差为1，则有(83−x)280，可以断定该班为优秀班级．
故选：D．
根据题意，举出反例可以说明ABC错误，由平均数、方差的计算公式分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查数据的平均数、中位数和方差的性质，注意平均数、中位数和方差的计算公式，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：设CD中点为M，若G为BC中点，

则有AC⊥MG，AC⊥MF，MG∩MF=M，
则AC⊥平面MFG，则AC⊥FG，
因为EF/​/AC，所以EF⊥FG，所以△EFG是直角三角形，故选项①不正确；
因为VD1−EFG=VG−EFD1，点G到平面EFD1的距离为定值，SEFD1是定值，则三棱锥G−EFD1的体积为定值，故选项②正确；
在侧面BCC1B1内作GN⊥B1C1垂足为N，设N到EF的距离m，
则△EFG边EF上的高为h= 1+m2，故其面积为S=12× 22h= 24× 1+m2，当G与C重合时，m= 24，S=38，
当G与B重合时，m=3 24，S= 178，故选项③正确；
取B1C1中点为N，连接EN，因为EN/​/AB，所以异面直线AB与EG所成的角即为∠NEG=α，
在直角三角形NEG中，sinα=NGEG，当G为BC中点时，sinα=NGEG= 22，
当G与B，C重合时，sinα=NGEG= 53，故sinα∈[ 22, 53)，所以选项④正确，
故命题正确的个数为3．
故选：C．
设CD中点为M，若G为BC中点，证明EF⊥FG，所以△EFG是直角三角形，故①不正确；
因为VD1−EFG=VG−EFD1，三棱锥G−EFD1的体积为定值，故②正确；
在侧面BCC1B1内作GN⊥B1C1垂足为N，设N到EF的距离m，其面积为S= 24× 1+m2，数形结合即得解，③正确；
取B1C1中点为N，连接EN，异面直线AB与EG所成的角即为∠NEG=α，数形结合分析即得，④正确．
本题考查几何体的表面积，体积，考查异面直线所成的角，是中档题．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题，属于概念性质理解的问题，题目较简单，几乎无计算量，属于基础题目．
对于①若平面α/​/平面β，则直线a/​/平面β；由面面平行显然推出线面平行，故正确．
对于②若直线a/​/平面β，则平面α/​/平面β；因为一个线面平行推不出面面平行．故错误．
对于③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，因为线面不平面必面面不平行．故正确．即可得到答案．
【解答】
解①若平面α/​/平面β，则直线a/​/平面β；因为直线a⊂α，平面α/​/平面β，则α内的每一条直线都平行平面β.显然正确．
②若直线a/​/平面β，则平面α/​/平面β；因为当平面α与平面β相交时，仍然可以存在直线a⊂α使直线a/​/平面β.故错误．
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行于另一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．
故选D．  
7.【答案】B 
【解析】解：因为球的体积为20 53π，设球的半径R，
则20 53π=4π3R3，故R= 5，
而AB=4，AC=2，BC=2 3，
故AB 2=AC2+BC2，故∠ACB=π2，
故S△ACB=12×2 3×2=2 3，
设点D到平面ABC的距离为h，则13×h×2 3=2 3，故h=3，
点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为h>R，
所以平面α与平面ABC在球心的异侧，
设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为12AB=2，则d= 5−4=1，
故球心到平面α的距离为3−1=2，故截面圆的半径为 5−4=1，
设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点，
当CE最长时CD最长，此时CE=2+1=3，
故CD长度的最大值为 CE2+h2=3 2．
故选：B．
先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到∠ACB=π2，且S△ACB=2 3，求出点D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合CE=2+1=3，求出CD长度的最大值．
本题考查三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．

8.【答案】D 
【解析】解：过点P作PQ⊥平面ABC，垂足为Q，作QH⊥AC，垂足为H，连接PH，

因为PQ⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PQ⊥AC，
又QH⊥AC，QH∩PQ=Q，QH，PQ⊂平面PQH，
所以AC⊥平面PQH，
因为PH⊂平面PQH，所以AC⊥PH，
则∠PHQ为二面角P−AC−B的补角，故cos∠PHQ= 33，
因为PA=PC，所以H为AC的中点，
设AC=t，则PH= 32t,AB2+BC2=t2，
在Rt△PQH中，cos∠PHQ=QHPH= 33，则QH=12t,PQ= 34t2−14t2= 22t，
由VP−ABC=13S△ABC⋅PQ= 26t⋅S△ABC，
得当S△ABC取得最大值时，三棱锥P−ABC的体积取得最大值，
S△ABC=12AB⋅BC≤12⋅AB2+BC22=t24，
当且仅当AB=BC= 22t时，取等号，
所以(VP−ABC)max= 26t⋅t24= 23，解得t=2，
则QH=1,PQ= 2，
设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，则OH⊥平面ABC，
设OH=h，
由OP=OA得( 2−h)2+12=h2+12，解得h= 22，
则三棱锥P−ABC外接球的半径R=OA= 12+( 22)2= 62，
所以三棱锥P−ABC外接球的体积为43πR3= 6π．
故选：D．
过点P作PQ⊥平面ABC，垂足为Q，作QH⊥AC，垂足为H，连接PH，则∠PHQ为二面角P−AC−B的补角，H为AC的中点，设AC=t，根据二面角P−AC−B的余弦值可求得QH，PQ，再根据三棱锥P−ABC的体积取得最大值结合基本不等式求出t，再利用勾股定理求出三棱锥P−ABC外接球的半径，根据球的体积公式即可得解．
本题考查了三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．

9.【答案】ABD 
【解析】解：由图可知，2021年1～8月，工业生产者出厂价格的环比均大于0，故A正确；
2021年1～8月，工业生产者出厂价格每月平均比去同期上涨0.3+1.7+4.4+6.8+9.0+8.8+9.0+9.58×100%≈6.2%，故B正确；
2020年8月至2021年8月，工业生产者出厂价格的环比均不小于0，故2020年8月至2021年8月，工业生产者出厂价格最低的是2020年8月，故C错误；
将2020年8月至2021年8月工业生产者出厂价格同比的13个数据从小到大排列，1.7%为第7个数，所以同比数据的中位数是1.7%，故D正确．
故选：ABD．
根据统计图表逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．

10.【答案】AD 
【解析】解：对于选项A，∵a=(1,1)，b=(−3,4)，
∴|a|= 12+12= 2，|b|= (−3)2+42=5，a⋅b=1×(−3)+1×4=1，
则cos〈a,b〉=a⋅b|a||b|=1 2×5= 210，故A正确；
对于选项B，b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a,b〉⋅a|a|=5× 210⋅a 2=12a，故B错误；
对于选项C，设与b垂直的单位向量的坐标(x0,y0)，则有−3x0+4y0=0x02+y02=1，
解得x0=45y0=35或x0=−45y0=−35，
∴与b垂直的单位向量的坐标为(45,35)或(−45,−35)，故C错误；
对于选项C，显然a与b不共线，
∵a+λb=(1−3λ,1+4λ)，a−λb=(1+3λ,1−4λ)，且向量a+λb与向量a−λb共线，
∴(1−3λ)(1−4λ)−(1+3λ)(1+4λ)=0，
解得λ=0，故D正确．
故选：AD．
可求出|a|= 2，|b|=5，a⋅b=1，根据数量积的公式即可求出A项；根据投影向量的计算公式即可判断B项；设出坐标(x0,y0)，根据题意列出关系式−3x0+4y0=0x02+y02=1，解出方程组即可判断C项；分别求出向量a+λb与向量a−λb的坐标，根据共线向量的坐标表示，即可求出λ的值．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．

11.【答案】ABD 
【解析】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，
可得B(2 2,0)，C(0,2 2)，BC的方程为x+y−2 2=0，
设M(0,t)，(0≤t≤2 2)，MN的方程设为y=kx+t(k0，设m=1−k(m>1)，
可得 2(1+k2)1−k= 2(m2−2m+2)m= 2(m+2m−2)≥ 2(−2+2 2)=4−2 2，
当且仅当m= 2，即k=1− 2时，上式取得等号，
则t的最小值为4−2 2，且t的最大值为2 2，
对照选项，可得ABD成立，C不成立．
故选：ABD．
以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，求得B，C的坐标，以及BC的方程，设M(0,t)，(0≤t≤2 2)，MN的方程设为y=kx+t(ka，c>b，
因为在Rt△PEF中，EF为斜边，EF=c，
若a=PF=12，则m2−4=12，
解得，m=4，此时PE=b=4m=16>12，与PF>PE矛盾，不合题意，
若b=PF=12，则4m=12，解得m=3，此时PE=a=32−4=5PE，
故PE=5，PF=12，EF=13，EM=3，MF=10，
所以cos∠E=PEEF=513，
所以PM⋅MF=(PE+EM)⋅MF=PE⋅MF+EM⋅MF=PE⋅MFcos(π−∠E)+EM⋅MFcos0，
=5×10×(−513)+3×10×1=14013．
先通过勾股数确定三角形的三边长，然后利用向量的数量积求解即可．
解决向量在平面几何中的应用有两种方法：(1)坐标法，(2)基向量法．

17.【答案】(1)证明：取AC中点O，连A1O，BO．
∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分
又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分
∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分
又A1B⊂平面A1OB，…4分
∴AC⊥A1B…5分
(2)解：由条件得：VC1−ABA 1=VB−AA1C1…6分
∵三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，
AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，
∴OB= 2，OA= 3，S△AA1C1= 3…9分
∴VC1−ABA 1=VB−AA1C1=13⋅S△AA1C1⋅OB…10分
= 33.…12分 
【解析】(1)取AC中点O，连A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A1OB，由此能证明AC⊥A1B.
(2)由VC1−ABA 1=VB−AA1C1，利用等积法能求出三棱锥C1−ABA1的体积．
本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．

18.【答案】解：(1)由 3asinC=2c+ccosA及正弦定理，
得 3sinAsinC=2sinC+sinCcosA，
由于sinC≠0，所以 3sinA=2+cosA，即sin(A−π6)=1．
又0