2023年四川省成都市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省成都市中考数学试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 因式分解等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市中考数学试卷
1. 在3，−7，0，19四个数中，最大的数是(    )
A. 3 B. −7 C. 0 D. 19
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为(    )
A. 3×108 B. 3×109 C. 3×1010 D. 3×1011
3. 下列计算正确的是(    )
A. −3x2=−9x2 B. 7x+5x=12x2
C. x−32=x2−6x+9 D. x−2yx+2y=x2+4y2
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局.如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是(    )
A. 26 B. 27 C. 33 D. 34
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(    )

A. AC=BD B. OA=OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC=∠BCD
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是(    )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为(    )
A. 12(x+4.5)=x−1 B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x−4.5 D. 12(x−1)=x+4.5
8. 如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，下列说法正确的是(    )


A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 抛物线的顶点坐标为(−12，−6)
C. A，B两点之间的距离为5
D. 当x”或“x−1.②

15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴.成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有__________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.

16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16∘，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45∘时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin 16∘≈0.28，cos 16∘≈0.96，tan 16∘≈0.29)


17. 如图，以△ABC 的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE//AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE.
(1)求证：AC=BC；
(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长.






18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画ΔPDE，使它与ΔPAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.






19. 若3ab−3b2−2=0，则代数式(1−2ab−b2a2)÷a−ba2b的值为__________.
20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有__________个.


21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳__________名观众同时观看演出.(π取3.14， 3取1.73)


22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE//BC交AC于点E，将ΔDEC沿DE折叠得到ΔDEF，DF交AC于点G.若AGGE=73，则tanA=__________.

23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是__________；第23个智慧优数是__________.
24. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.

25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点.

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.

【初步感知】
(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF= 22AB，请写出证明过程.
【深入探究】
(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明).
【拓展运用】
(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M.若AB=2 2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示).

答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数和零大于一切负实数，零小于任何的正实数，据此判断即可.
此题主要考查了实数大小比较，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数.
【解答】
 解：∵3>19>0>−7，
∴所给的四个数中，最大的数是3.
故选A.  
2.【答案】D 
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|0，在每一个象限内，y随x的增大而减小解答即可.
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题关键.
【解答】
解：∵k=6>0，
∴函数的图象位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
又∵−3.  
11.【答案】3 
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质和线段的和差求解即可.
【解答】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=8，
∴CF=EF−CE=8−5=3.
故答案为：3.  
12.【答案】(−5,−1) 
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征解答即可.
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题关键.
【解答】
解：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴点P5,−1关于y轴对称的点的坐标为(−5,−1).
故答案为：(−5,−1).  
13.【答案】23 
【解析】
【分析】
根据作图步骤可知∠BDE=∠BAC，则DE//AC，△BDE∽△BAC，由△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，可得△BDE与△BAC的面积比为4：25，从而得到△BDE与△BAC的相似比，即可求出BECE的值.
本题主要考查了尺规作图，平行线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，得到△BDE与△BAC的相似比是解题关键.
【解答】
根据作图步骤可知∠BDE=∠BAC，∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC.
∵△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，
∴△BDE与△BAC的面积比为4：(4+21)=4：25，
∴BEBC= 425=25，
∴BECE=25−2=23.
故答案为23.  
14.【答案】解：(1)原式=2+2× 22−1+2− 2
=2+ 2−1+2− 2
=3；
(2)解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>−4，
∴不等式组的解集为−41，m，n是正整数，确定m，n的最小值，再按照m的不同取值，列举出所有的智慧优数，即可求解.
本题考查了数式规律的探究问题，解决本题的关键是要找到数式的规律，再根据规律解决问题.
【解答】
解：∵m−n>1，m，n是正整数
∴m>n+1，m最小为3，n最小为1，
当m=3，n=1时，第1个智慧优数为3²−1²=(3+1)×(3−1)=8，
当m=4，n=2时，第2个智慧优数为4²−2²=(4+2)×(4−2)=12，
当m=4，n=1时，第3个智慧优数为4²−1²=(4+1)×(4−1)=15，
当m=5时，n可取3，2，1，有3个智慧优数，分别为16，21，24；
当m=6时，n可取4，3，2，1，有4个智慧优数，分别为20，27，32，35；
当m=7时，n可取5，4，3，2，1，有5个智慧优数，分别为24，33，40，45，48；
当m=8时，n可取6，5，4，3，2，1，有6个智慧优数，分别为28，39，48，55，60，63；
当m=9时，n可取7，6，5，4，3，2，1，有7个智慧优数，分别为32，45，56，65，72，77，80；
当m=10时，n可取8，7，6，5，4，3，2，1，有8个智慧优数，分别为36，51，64，75，84，91，96，99；
当m=11时，n可取9，8，7，6，5，4，3，2，1，有9个智慧优数，分别为40，57，72，85，96，105，112，118，120；
当m=12时，n可取10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有10智慧优数，分别为44，63，80，95，108，119，128，135，140，143；
当m=13时，n可取11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有11智慧优数，分别为48，69，88，105，120，133，144，153，160，165，168；
当m=14时，n可取12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有12智慧优数，分别为52，75，96，115，132，147，160，171，180，187，192，195；
按照从小到大排序，第3个智慧优数为15，第23个智慧优数为57.
故答案为15；57.  
24.【答案】解：(1)设A种食材的单价为x元，B种食材的单价为y元，
根据题意有：x+y=685x+3y=280，
解得：x=38y=30
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；
(2)设购买A种食材m千克，则购买B种食材(36−m)千克，
∴m≥2(36−m)
解得m≥24，
设购买两种食材的总费用为w元，
则w=38m+30(36−m)=8m+1080，
∵8>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=24时，总费用最小为8×24+1080=1272(元).
答：购买A种食材24千克，购买B种食材12千克时，总费用最低，是1272元. 
【解析】(1)设A种食材的单价为x元，B种食材的单价为y元，根据购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元，列出二元一次方程组，再解方程组即可.
(2)设购买A种食材m千克，则购买B种食材(36−m)千克，根据题意得到m≥2(36−m)，解得m≥24，设总费用为w，用m表示出总费用，得到w=8m+1080，再根据一次函数的性质求解即可.
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式及一次函数等知识点，是中考常考考点.

25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，A(0,1)，
∴16a+c=−3c=1，解得a=−14c=1，
∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+1；
(2)①如图，当AB=AP时，根据抛物线的对称性可得B(−4,−3)；

②如图，当AB=BP时，

设B(a,−14a2+1)，由AB2=BP2得a2+−14a22=(a−4)2+−14a2+42，
整理得a2+4a−16=0，解得a=−2+2 5或−2−2 5，
当a=−2+2 5时，−14a2+1=−5+2 5，
当a=−2−2 5时，−14a2+1=−5−2 5，
∴点B的坐标为(−2+2 5,−5+2 5)或(−2−2 5,−5−2 5).
综上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，点B的坐标为(−4,−3)或(−2+2 5,−5+2 5)或(−2−2 5,−5−2 5)；
(3)存在常数m，使得OD⊥OE.
根据题意，画出图形如下图，

设抛物线y=−14x2+1与直线y=kx(k≠0)的交点坐标为B(a,ka)，C(b,kb)，
由y=−14x2+1=kx得x2+4kx−4=0，
∴a+b=−4k，ab=−4;
设直线AB的表达式为y=px+q，
则ap+q=kaq=1，解得p=ka−1aq=1
∴直线AB的表达式为y=ka−1ax+1，
令y=m，由y=ka−1ax+1=m得x=a(m−1)ka−1，
∴D(a(m−1)ka−1,m)，
同理，可得直线AC的表达式为y=kb−1bx+1，则E(b(m−1)kb−1,m)，
过E作EM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
则∠EMO=∠OND=90∘，EM=ND=m，MO=−b(m−1)kb−1，ON=a(m−1)ka−1，
若OD⊥OE，则∠EOD=90∘，
∴∠MEO+∠MOE=∠DON+∠MOE=90∘，
∴∠MEO=∠DON，
∴△EMO∽△OND，
∴EMON=MOND，
则ma(m−1)ka−1=−b(m−1)kb−1m，
整理，得m2(ka−1)(kb−1)=−ab(m−1)2，
即m2[abk2−k(a+b)+1]=−ab(m−1)2，
将a+b=−4k，ab=−4代入，得m2(−4k2+4k2+1)=4(m−1)2，
即m2=4(m−1)2，则m=2(m−1)或m=−2(m−1)，
解得m1=2，m2=23，
综上，存在常数m，使得OD⊥OE，m的值为2或23. 
【解析】
【分析】
(1)将P(4,−3)，A(0,1)代入y=ax2+c，得到关于a，c的方程组，解方程组求得a，c的值，即可得到抛物线的函数表达式；
(2)分AB=AP，AB=BP两种情况求点B的坐标即可；
  (3)先根据题意画出图形，设抛物线y=−14x2+1与直线y=kx(k≠0)的交点坐标为B(a,ka)，C(b,kb)，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到a+b=−4k，ab=−4，利用待定系数法分别求得直线AB、AC的表达式为得到D(a(m−1)ka−1,m)，E(b(m−1)kb−1,m)，过E作EM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，证明△EMO∽OND得到，整理可得到m2=4(m−1)2，进而求解即可.
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，直线与二次函数的交点，等腰三角形的判定等知识，要注意数形结合思想的灵活运用.  
26.【答案】解：(1)证明：如图，连接CD，

当n=1时，AD=BD，即D是AB的中点，
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘，CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠BCD=∠A=45∘，
∵∠AED+∠CED=180∘，∠CED+∠CFD=180∘，
∴∠AED=∠CFD，
∴在△AED和△CFD中，
∠AED=∠CFD∠A=∠DCFAD=CD
∴△AED≌△CFD(AAS)，
∴AE=CF，
∵BC= 22AB，
∴BF+AE=BF+CF= 22AB；
(2)①AE+12BF= 23AB，证明如下：
如图，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，

∴∠DME=∠DNF=90∘，
由(1)知，∠AED=∠CFD，∠A=∠B，
∴△MED∽△NFD，△AMD∽△DNB，
∴MENF=DEDF=MDND=ADDB，
设AD=1，ME=x，
则NF=nx，BD=n，AM= 22，BN= 22n，
∴AE= 22+x，BF= 22n−nx，
∴AE+1nBF= 2，AB=n+1，
∴AE+1nBF= 2n+1AB，
当n=2时，AE+12BF= 23AB.
②当点F在射线BC上时， AE+1nBF= 2n+1AB，
当点F在CB延长线上时， AE−1nBF= 2n+1AB ；
(3)当E在A点时，过D作DF1⊥AB交BC的延长线于点F1，连接AF1，
当E在C点时，作相应的△E2DF2
由(2)知，E1DDF1=E2DDF2=1n，∠E1DE2=∠F1DF2，
∴△E1DE2∽△F1DF2，
∴E1E2F1F2=1n，
∵AB=2 2，
∴E1E2=AC=2，
∴F1F2=2n，
如图，分别取E1F1，E2F2的中点M1，M2，连接M1，M2即为M的轨迹，
连接E1F2，取其中点N，连接M1N，M2N，
∴M1N//F1F2且M1N=12F1F2，M2N//AC且M2N=12AC，
∴M1N⊥M2N，M1N=n，M2N=1，
∵∠ACB=90∘，
∴M1M2= n2+1.
即点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为 n2+1. 
【解析】(1)连接CD，证△AED≌△CFD(AAS)，得到AE=CF，再由BC= 22AB，得BF+AE=BF+CF= 22AB；
(2)①结论：AE+12BF= 23AB，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，证△MED∽△NFD，△AMD∽△DNB，得MENF=DEDF=MDND=ADDB，设AD=1，ME=x，从而得到AE+1nBF= 2n+1AB，当n=2时，代入即可求证；
②分两种情况讨论，仿照①的证明过程进行证明即可;
(3)当E在A点时，过D作DF1⊥AB交BC的延长线于点F1，连接AF1，当E在C点时，作相应的△E2DF2，证△E1DE2∽△F1DF2，得F1F2=2n，分别取E1F1，E2F2的中点M1，M2，连接M1，M2即为M的轨迹.
本题考查了三角形与代数的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定等知识，灵活掌握这些知识是解题的关键.