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2023年陕西省中考数学试卷（含答案解析）
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这是一份2023年陕西省中考数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了 计算等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省中考数学试卷
1. 计算：3−5=( )
A. 2 B. −2 C. 8 D. −8
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，l//AB，∠A=2∠B.若∠1=108∘，则∠2的度数为( )
A. 36∘ B. 46∘ C. 72∘ D. 82∘
4. 计算：6xy3⋅(−12x3y2)=( )
A. 3x4y5 B. −3x4y5 C. 3x3y6 D. −3x3y6
5. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax和y=x+a(a为常数，a<0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
6. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为( )
A. 132 B. 7 C. 152 D. 8
7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图，AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为( )
A. 13 cm B. 16 cm C. 17 cm D. 26 cm
8. 在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m(m为常数)的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( )
A. 最大值5 B. 最大值154 C. 最小值5 D. 最小值154
9. 如图，在数轴上，点A表示 3，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是__________.
10. 如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E，则线段BE的长为__________.
11. 点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56∘，连接AE，则∠BAE的度数为__________.
12. 如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________.
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E在边AD上，且ED=3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM+PN=4，则线段PC的长为__________.
14. 解不等式：3x−52>2x.
15. 计算： 5×(− 10)−(17)−1+|−23|.
16. 化简：(3aa2−1−1a−1)÷2a−1a+1.
17. 如图，已知锐角△ABC，∠B=48∘.请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使PB=PC，且∠PBC=24∘.(保留作图痕迹，不写作法)
18. 如图，在△ABC中，∠B=50∘，∠C=20∘.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD=AC，在边AC上截取AF=AB，连接DF.
求证：DF=CB.
19. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3.这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为________；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字．请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
20. 小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
21. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF=2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6∘.已知爸爸的身高CD=1.8m，小明眼睛到地面的距离EF=1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB.求该景观灯的高AB.(参考数据：sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50)
22. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
23. 某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：
28 36 37 39 42 45 46 47 48 50 54 54 54 54 55 60 62 62 63 64
通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计图表：
分组
频数
组内小西红柿的总个数
25≤x<35
1
28
35≤x<45
n
154
45≤x<55
9
452
55≤x<65
6
366
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；这20个数据的众数是________；
(2)求这20个数据的平均数；
(3)“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数．
24. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45∘，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F.
(1)求证：BD=BC；
(2)若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长．
25. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素．设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN.
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m.其中，点N′在x轴上，P′E′⊥ON′，OE′=E′N′.
要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2.点A′、D′在抛物线上，边B′C′在ON′上．
现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′=3m时，S2=12 2m2.
请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1，并比较S1，S2的大小．
26. (1)如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120∘，AB=24.若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值．
(2)如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90∘，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内(含边界)修一个半径为30 m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N，连接BN，点P在⊙O上，连接EP.其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路．要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
先根据有理数的减法法则计算即可.
本题主要考查了有理数的减法法则，熟知减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键.
【解答】
解：3−5=−2.
故选B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.
本题考查中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
【解答】
解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意;
B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意;
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意;
D.原图既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项符合题意.
故选C.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
由对顶角相等可得∠3=∠1=108∘，再由平行线的性质可求得∠A=72∘，∠B=∠2，结合已知条件可求得∠B，即可求解.
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.
【解答】
解：如图，
∵∠1=108∘，
∴∠3=∠1=108∘，
∵l//AB，
∴∠3+∠A=180∘，∠2=∠B，
∴∠A=180∘−∠3=72∘，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=36∘，
∴∠2=36∘.
故选A.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
利用单项式乘单项式的法则进行运算即可.
本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
【解答】
解：6xy3⋅(−12x3y2)
=6×(−12)x1+3y3+2
=−3x4y5.
故选B.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y=ax和y=x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决.
本题考查正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答.
【解答】
解：∵a<0，
∴函数y=ax的图象经过原点且经过第二、四象限，
函数y=x+a的图象经过第一、三、四象限，
故选D.
6.【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理证得DE//BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论.
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键.
【解答】
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC=12×6=3，
∴△DEF∽△BMF，
∴DEBM=DFBF=2BFBF=2，
∴BM=32，
∴CM=BC+BM=152.
故选C.
7.【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，再设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=(R−8)cm.
在Rt△OAC中，根据勾股定理列出方程R2=122+(R−8)2，求出R即可.
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙O的半径OA为Rcm，列出关于R的方程是解题的关键.
【解答】
解：∵AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm.
设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=OD−CD=(R−8)cm.
在Rt△OAC中，∵∠OCA=90∘，
∴OA2=AC2+OC2，
∴R2=122+(R−8)2，
∴R=13，
即⊙O的半径OA为13cm.
故选A.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数过点(0,6)，代入二次函数解析式，求得m1=3，m2=−2的值，根据对称轴在y轴左侧，确定m的值，根据a=1，知道开口方向向上，函数有最小值，解出即可.
本题考查待定系数法求函数解析式，以及求函数的最值.
【解答】
解：∵二次函数y=x2+mx+m2−m的图象经过点(0,6)，
∴6=m2−m，
解得m1=3，m2=−2，
∵对称轴在y轴左侧，且为直线x=−m2，
∴−m2<0
∴m>0，
∴m=3，
∴二次函数y=x2+3x+6=(x+32)2+154，
∵1>0，
∴抛物线开口向上，有最小值，最小值为154，
故选D.
9.【答案】− 3
【解析】
【分析】
A到原点的距离是 3，与B原点的距离相等，所以B到原点的距离也是 3，则B表示的数是− 3，
此题考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.
【解答】
解：A到原点的距离是 3，所以B到原点的距离也是 3，
点A表示的数是 3，则B表示的数是− 3.
故答案为− 3.
10.【答案】2+ 2
【解析】
【分析】
根据正多边形的内角和及边数求出每个内角为135∘，再由正八边形的性质得AB⊥AG，CD⊥CF，从而可得△ACE是等腰直角三角形，则AE= 22AC= 2，过点F作FH⊥AB，得四边形CEHF是矩形，△ACE≌△BFH，从而EH=CF=2，BH=AE= 2，再相加即可求解.
本题考查了正多边形的内角和及性质，解题的关键是要熟悉正多边形的对称性.
【解答】
解：正八边形的每个内角为(8−2)×180∘÷8=135∘，
由正八边形的性质可知，AB⊥AG，CD⊥CF
∴∠CAE=∠ACE=45∘
∴△ACE是等腰直角三角形
∴AE= 22AC= 2，
过点F作FH⊥AB，则四边形CEHF是矩形
由正八边形的对称性，可知△ACE≌△BFH，
∴EH=CF=2，BH=AE= 2
∴BE=EH+BH=2+ 2.
11.【答案】62∘
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可以知道AC⊥BD，∠ABE=12∠ABC=12×56∘=28∘，在直角三角形ABE中，利用两角互余即可得解.
本题考查了菱形的性质，及直角三角形两锐角互余的性质.
【解答】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=12∠ABC=12×56∘=28∘，∠AEB=90∘，
∴∠BAE=90∘−28∘=62∘，
故答案为62∘.
12.【答案】y=18x
【解析】
【分析】
设B(3,a)，根据题意得D点坐标(3,a2)，E(a2+3,a2)，再把B、E点坐标代入y=kx可求得a的值，从而得出B的坐标，代入y=kx可
得答案.
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点.
【解答】
解：∵AB=3，设B(3,a)，BC=2CD，
∴D(3,a2)
∴正方形CDEF的边长为a2，
∴E(a2+3,a2)，
∵B、E在反比例函数y=kx的图象上，
∴3a=a2(a2+3)，
解得a=6，a=0(舍)
∴k=3×6=18，
∴反比例函数解析式为y=18x.
故答案为y=18x.
13.【答案】2 2
【解析】
【分析】
过点P作PG⊥BC交BC于点G，PQ⊥DC交DC于点Q，截取QH=NG，易证△PGN≌△PQH，得PN=PH，连接HM，得PM+PN=PM+PH≥MH≥AD=4，从而当M、P、H三点共线时PM+PH最小，为MH，而当MH⊥CD时，MH=MP+NP=4，此时MP=NP=2，即可求解.
本题考查了轴对称的最短路径问题，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解决此问题的关键是找出PM+PN的最小值.
【解答】
过点P作PG⊥BC交BC于点G，PQ⊥DC交DC于点Q，截取QH=NG，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，ED=3
∴DC=DE=3，∠D=∠BCD=90∘，∠DCE=∠DEC=45∘，
则∠DCE=∠BCE=45∘
∴BE平分∠BCD
∴PG=PQ，
∵∠PGN=∠PQH=90∘，NG=QH
∴△PGN≌△PQH，
∴PN=PH，
连接HM，则PM+PN=PM+PH≥MH≥AD=4
当M、P、H三点共线时PM+PH最小，为MH.
∵MH≥AD=4
∴当MH⊥CD时，MH=MP+NP=4，此时MP=NP=2，如图，
∴PC=2 2
14.【答案】解：3x−52>2x，
去分母，得 3x−5>4x，
移项，得 3x−4x>5，
合并同类项，得−x>5，
不等式的两边都除以−1，得x<−5.
【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可.
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键.
15.【答案】解：原式=−5 2−7+|−8|
=−5 2−7+8
=−5 2+1.
【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案.
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.
16.【答案】解：原式=[3a(a+1)(a−1)−a+1(a+1)(a−1)]⋅a+12a−1
=3a−(a+1)(a+1)(a−1)⋅a+12a−1
=2a−1a−1⋅12a−1
=1a−1.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的乘法，即可化简.
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.
17.【答案】解：如图，点P即为所求.
【解析】先作∠ABC的平分线BD，再作BC的垂直平分线l，直线l交BD于P点，则P点满足条件.
本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.
18.【答案】证明：在△ABC中，∠B=50∘，∠C=20∘，
∴∠CAB=180∘−∠B−∠C=110∘.
∵AE⊥BC.
∴∠AEC=90∘.
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110∘，
∴∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中，
AD=AC∠DAF=∠CAB,AF=AB
∴△DAF≌△CAB(SAS).
∴DF=CB.
【解析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再利用三角形的外角性质得到∠DAF=110∘，从而∠DAF=∠CAB，再根据全等三角形的判定与性质可得结论.
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其判定定理是解决此题的关键.
19.【答案】解：(1)12;
(2)画树状图如下：
由树状图可得，一共有16种等可能的结果，其中两数之积是偶数的可能结果有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率716.
【解析】
【分析】
(1)从袋中随机摸出一个小球，有4种可能结果，摸出的这个小球上标有的数字是1的可能结果有2种，据此解答即可.
(2)根据题意可以画出相应的树状图，即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率.
本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率.
【解答】
解：(1)由题意可得，从袋中随机摸出一个小球，有4种可能结果，摸出的这个小球上标有的数字是1的可能结果有2种，
则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为24=12，
故答案为12;
(2)见答案.
20.【答案】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记的单价是(x−3)元，
根据题意，得 4x+6(x−3)=62
解得 x=8.
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元.
【解析】设大笔记本的单价为x元，则小笔记本的单价为(x−3)元，再根据等量关系列出方程，即可求解.
此题考查了一元一次方程的实际运用，根据题目蕴含的等量关系列出方程是解决问题的关键.
21.【答案】解：过点E作EH⊥AB，垂足为H，
由题意得：EH=FB，EF=BH=1.6m，
设EH=FB=xm，
在Rt△AEH中，∠AEH=26.6∘，
∴AH=EH⋅tan26.6∘≈0.5x(m)，
∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CDF=∠ABF=90∘，
∵∠CFD=∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴CDAB=DFBF，
∴1.8AB=2.4x，
∴AB=34x，
∴34x=0.5x+1.6，
解得：x=6.4，
∴AB=34x=4.8(m)，
∴该景观灯的高AB约为4.8m.
【解析】过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得EH=FB，EF=BH=1.6m，然后设EH=FB=xm，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出AB的长，再根据垂直定义可得∠CDF=∠ABF=90∘，从而证明△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性质可得AB=34x，从而列出关于x的方程，即可解答.
本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
22.【答案】解：(1)设y=kx+b(k≠0)，
根据题意，得0.2k+b=200.28k+b=22，
解得k=25b=15，
∴y与x之间的函数表达式为：y=25x+15;
(2)当x=0.3时，y=25×0.3+15=22.5.
∴当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m.
【解析】(1)设y=kx+b(k≠0)，根据题意利用待定系数法解答即可;
(2)把x=0.3代入(1)的结论解答即可.
此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解决问题的关键.
23.【答案】解：(1)补全频数分布直方图如下；54；
(2)x=120×(28+154+452+366)=50.
∴这20个数据的平均数是50;
(3)所求总个数：50×300=15000(个)
∴估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个.
【解析】
【分析】
(1)用总数减去其它三组的频数可得n的值，进而补全频数分布直方图，然后根据众数的定义解答即可;
(2)根据算术平均数的计算公式解答即可;
(3)用300乘(2)中所求的平均数可得答案.
本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数以及平均数.
【解答】
解：(1)由题意得，n=20−1−9−6=4，
补全频数分布直方图如下
这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54.
故答案为54.
(2)见答案；
(3)见答案
24.【答案】(1)证明：如图，连接DC，则∠BDC=∠BAC=45∘.
∵BD⊥BC′
∴∠BCD=90∘−∠BDC=45∘.
∴∠BCD=∠BDC.
∴BD=BC.
(2)解：如图，∵∠DBC=90∘，
∴CD为⊙O的直径，
∴CD=2r=6.
∴BC=CD⋅sin∠BDC=6sin45∘=3 2⋅
∴EC= BE2+BC2= 62+(3 2)2=3 6⋅
∵∠BMC=∠EBC=90∘，∠BCM=∠BCM，
∴△BCM∽△ECB.
∴BCEC=BMEB=CMCB.
∴BM=BC⋅EBEC=3 2×63 6=2 3，CM=BC2EC=(3 2)23 6= 6.
连接CF，则∠F=∠BAC=45∘，
∴∠MCF=45∘.
∴MF=MC= 6⋅
∴BF=BM+MF=2 3+ 6.
【解析】(1)连接DC，易得∠BDC=∠BAC=45∘，因为BD⊥BC′根据两锐角互余可得∠BCD=∠BDC，即可得证；
(2)由锐角三角函数和勾股定理可以求得BC，EC的长，由△BCM∽△ECB可得BCEC=BMEB=CMCB，进而得到BM和CM的长，再根据线段的和差关系得到BF=BM+MF.
本题考查圆周角定理，锐角三角函数及相似三角形的判定与性质，解题的关键是要掌握圆周角定理.
25.【答案】解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6,4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6)2+4，
把O(0,0)代入得0=a(0−6)2+4，
解得a=−19，
∴y=−19(x−6)2+4=−19x2+43x;
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x;
(2)在y=−19x2+43x中，
令y=3得：3=−19x2+43x;
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6(m)，
∴S1=AB⋅BC=3×6=18(m²);
∵18>12 2，
∴S1>S2.
【解析】(1)由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x;
(2)令y=3可得3=−19x2+43x，解得x=3或x=9，从而得BC=6m，S1=AB⋅BC=18m²；再比较S1，S2的大小即可.
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数的表达式.
26.【答案】解：(1)如图①，连接OP，OM，过点O作OM′⊥AB，垂足为M′，则OP+PM≥OM.
∵⊙O半径为4，
∴PM≥OM−4≥OM′−4.
∵OA=OB，∠AOB=120∘，
∴∠A=30∘.
∴OM′=AM′tan30∘=12tan30∘=4 3 .
∴PM≥OM′−4=4 3−4 ，
∴线段PM的最小值为 4 3−4 .
(2)如图②，分别在BC，AE上作BB′=AA′=r=30(m).
连接A′B′、B′O、OP、OE、B′E.
∵OM⊥AB，BB′⊥AB，ON=BB′，
∴四边形BB′ON是平行四边形．
∴BN=B′O.
∵B′O+OP+PE≥B′O+OE≥B′E，
∴BN+PE≥B′E−r.
∴当点O在B′E上时，BN+PE取得最小值．
作⊙O′，使圆心O′在B′E上，半径r=30(m)，
作O′M′⊥AB，垂足为M′，并与A′B′交于点H.
易证，△B′O′H∼△B′EA′.
∴O′HEA′=B′HB′A′ .
∵⊙O′在矩形AFDE区域内(含边界)，
∴当⊙O′与FD相切时，B′H最短，即，B′H=10000−6000+30=4030.
此时，O′H也最短．
∵M′N′=O′H，
∴M′N′也最短．
O′H=EA′⋅B′HB′A′=(10000−30)×403010000=4017.91 .
∴O′M′=O′H+30=4047.91.
∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m.
【解析】(1)连接OP，OM，过点O作OM′⊥AB，垂足为M′，利用三角形的三边关系得到OP+PM≥OM，从而PM≥OM−4≥OM′−4，只需求出OM′，即可求出PM的最小值；
(2)分别在BC，AE上作BB′=AA′=r=30m，连接A′B′、B′O、OP、OE、B′E，证出四边形BB′ON是平行四边形，因为B′O+OP+PE≥B′O+OE≥B′E，所以BN+PE≥B′E−r.所以当点O在B′E上时，BN+PE取得最小值，易证△B′O′H∼△B′EA′，从而求得B′H的长，再由O′HEA′=B′HB′A′得出O′H。
本题考查最短路线问题，相似三角形的判定与性质，圆与几何图形的综合问题，解决此题的关键是理解题意，找到最短路径.
2023年陕西省中考数学试卷
1. 计算：3−5=( )
A. 2 B. −2 C. 8 D. −8
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，l//AB，∠A=2∠B.若∠1=108∘，则∠2的度数为( )
A. 36∘ B. 46∘ C. 72∘ D. 82∘
4. 计算：6xy3⋅(−12x3y2)=( )
A. 3x4y5 B. −3x4y5 C. 3x3y6 D. −3x3y6
5. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax和y=x+a(a为常数，a<0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
6. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为( )
A. 132 B. 7 C. 152 D. 8
7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图，AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为( )
A. 13 cm B. 16 cm C. 17 cm D. 26 cm
8. 在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m(m为常数)的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( )
A. 最大值5 B. 最大值154 C. 最小值5 D. 最小值154
9. 如图，在数轴上，点A表示 3，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是__________.
10. 如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E，则线段BE的长为__________.
11. 点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56∘，连接AE，则∠BAE的度数为__________.
12. 如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________.
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E在边AD上，且ED=3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM+PN=4，则线段PC的长为__________.
14. 解不等式：3x−52>2x.
15. 计算： 5×(− 10)−(17)−1+|−23|.
16. 化简：(3aa2−1−1a−1)÷2a−1a+1.
17. 如图，已知锐角△ABC，∠B=48∘.请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使PB=PC，且∠PBC=24∘.(保留作图痕迹，不写作法)
18. 如图，在△ABC中，∠B=50∘，∠C=20∘.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD=AC，在边AC上截取AF=AB，连接DF.
求证：DF=CB.
19. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3.这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为________；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字．请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
20. 小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
21. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF=2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6∘.已知爸爸的身高CD=1.8m，小明眼睛到地面的距离EF=1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB.求该景观灯的高AB.(参考数据：sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50)
22. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
23. 某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：
28 36 37 39 42 45 46 47 48 50 54 54 54 54 55 60 62 62 63 64
通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计图表：
分组
频数
组内小西红柿的总个数
25≤x<35
1
28
35≤x<45
n
154
45≤x<55
9
452
55≤x<65
6
366
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；这20个数据的众数是________；
(2)求这20个数据的平均数；
(3)“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数．
24. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45∘，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F.
(1)求证：BD=BC；
(2)若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长．
25. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素．设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN.
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m.其中，点N′在x轴上，P′E′⊥ON′，OE′=E′N′.
要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2.点A′、D′在抛物线上，边B′C′在ON′上．
现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′=3m时，S2=12 2m2.
请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1，并比较S1，S2的大小．
26. (1)如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120∘，AB=24.若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值．
(2)如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90∘，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内(含边界)修一个半径为30 m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N，连接BN，点P在⊙O上，连接EP.其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路．要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
先根据有理数的减法法则计算即可.
本题主要考查了有理数的减法法则，熟知减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键.
【解答】
解：3−5=−2.
故选B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.
本题考查中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
【解答】
解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意;
B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意;
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意;
D.原图既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项符合题意.
故选C.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
由对顶角相等可得∠3=∠1=108∘，再由平行线的性质可求得∠A=72∘，∠B=∠2，结合已知条件可求得∠B，即可求解.
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.
【解答】
解：如图，
∵∠1=108∘，
∴∠3=∠1=108∘，
∵l//AB，
∴∠3+∠A=180∘，∠2=∠B，
∴∠A=180∘−∠3=72∘，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=36∘，
∴∠2=36∘.
故选A.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
利用单项式乘单项式的法则进行运算即可.
本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
【解答】
解：6xy3⋅(−12x3y2)
=6×(−12)x1+3y3+2
=−3x4y5.
故选B.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y=ax和y=x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决.
本题考查正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答.
【解答】
解：∵a<0，
∴函数y=ax的图象经过原点且经过第二、四象限，
函数y=x+a的图象经过第一、三、四象限，
故选D.
6.【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理证得DE//BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论.
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键.
【解答】
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC=12×6=3，
∴△DEF∽△BMF，
∴DEBM=DFBF=2BFBF=2，
∴BM=32，
∴CM=BC+BM=152.
故选C.
7.【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，再设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=(R−8)cm.
在Rt△OAC中，根据勾股定理列出方程R2=122+(R−8)2，求出R即可.
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙O的半径OA为Rcm，列出关于R的方程是解题的关键.
【解答】
解：∵AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm.
设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=OD−CD=(R−8)cm.
在Rt△OAC中，∵∠OCA=90∘，
∴OA2=AC2+OC2，
∴R2=122+(R−8)2，
∴R=13，
即⊙O的半径OA为13cm.
故选A.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数过点(0,6)，代入二次函数解析式，求得m1=3，m2=−2的值，根据对称轴在y轴左侧，确定m的值，根据a=1，知道开口方向向上，函数有最小值，解出即可.
本题考查待定系数法求函数解析式，以及求函数的最值.
【解答】
解：∵二次函数y=x2+mx+m2−m的图象经过点(0,6)，
∴6=m2−m，
解得m1=3，m2=−2，
∵对称轴在y轴左侧，且为直线x=−m2，
∴−m2<0
∴m>0，
∴m=3，
∴二次函数y=x2+3x+6=(x+32)2+154，
∵1>0，
∴抛物线开口向上，有最小值，最小值为154，
故选D.
9.【答案】− 3
【解析】
【分析】
A到原点的距离是 3，与B原点的距离相等，所以B到原点的距离也是 3，则B表示的数是− 3，
此题考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.
【解答】
解：A到原点的距离是 3，所以B到原点的距离也是 3，
点A表示的数是 3，则B表示的数是− 3.
故答案为− 3.
10.【答案】2+ 2
【解析】
【分析】
根据正多边形的内角和及边数求出每个内角为135∘，再由正八边形的性质得AB⊥AG，CD⊥CF，从而可得△ACE是等腰直角三角形，则AE= 22AC= 2，过点F作FH⊥AB，得四边形CEHF是矩形，△ACE≌△BFH，从而EH=CF=2，BH=AE= 2，再相加即可求解.
本题考查了正多边形的内角和及性质，解题的关键是要熟悉正多边形的对称性.
【解答】
解：正八边形的每个内角为(8−2)×180∘÷8=135∘，
由正八边形的性质可知，AB⊥AG，CD⊥CF
∴∠CAE=∠ACE=45∘
∴△ACE是等腰直角三角形
∴AE= 22AC= 2，
过点F作FH⊥AB，则四边形CEHF是矩形
由正八边形的对称性，可知△ACE≌△BFH，
∴EH=CF=2，BH=AE= 2
∴BE=EH+BH=2+ 2.
11.【答案】62∘
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可以知道AC⊥BD，∠ABE=12∠ABC=12×56∘=28∘，在直角三角形ABE中，利用两角互余即可得解.
本题考查了菱形的性质，及直角三角形两锐角互余的性质.
【解答】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=12∠ABC=12×56∘=28∘，∠AEB=90∘，
∴∠BAE=90∘−28∘=62∘，
故答案为62∘.
12.【答案】y=18x
【解析】
【分析】
设B(3,a)，根据题意得D点坐标(3,a2)，E(a2+3,a2)，再把B、E点坐标代入y=kx可求得a的值，从而得出B的坐标，代入y=kx可
得答案.
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点.
【解答】
解：∵AB=3，设B(3,a)，BC=2CD，
∴D(3,a2)
∴正方形CDEF的边长为a2，
∴E(a2+3,a2)，
∵B、E在反比例函数y=kx的图象上，
∴3a=a2(a2+3)，
解得a=6，a=0(舍)
∴k=3×6=18，
∴反比例函数解析式为y=18x.
故答案为y=18x.
13.【答案】2 2
【解析】
【分析】
过点P作PG⊥BC交BC于点G，PQ⊥DC交DC于点Q，截取QH=NG，易证△PGN≌△PQH，得PN=PH，连接HM，得PM+PN=PM+PH≥MH≥AD=4，从而当M、P、H三点共线时PM+PH最小，为MH，而当MH⊥CD时，MH=MP+NP=4，此时MP=NP=2，即可求解.
本题考查了轴对称的最短路径问题，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解决此问题的关键是找出PM+PN的最小值.
【解答】
过点P作PG⊥BC交BC于点G，PQ⊥DC交DC于点Q，截取QH=NG，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，ED=3
∴DC=DE=3，∠D=∠BCD=90∘，∠DCE=∠DEC=45∘，
则∠DCE=∠BCE=45∘
∴BE平分∠BCD
∴PG=PQ，
∵∠PGN=∠PQH=90∘，NG=QH
∴△PGN≌△PQH，
∴PN=PH，
连接HM，则PM+PN=PM+PH≥MH≥AD=4
当M、P、H三点共线时PM+PH最小，为MH.
∵MH≥AD=4
∴当MH⊥CD时，MH=MP+NP=4，此时MP=NP=2，如图，
∴PC=2 2
14.【答案】解：3x−52>2x，
去分母，得 3x−5>4x，
移项，得 3x−4x>5，
合并同类项，得−x>5，
不等式的两边都除以−1，得x<−5.
【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可.
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键.
15.【答案】解：原式=−5 2−7+|−8|
=−5 2−7+8
=−5 2+1.
【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案.
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.
16.【答案】解：原式=[3a(a+1)(a−1)−a+1(a+1)(a−1)]⋅a+12a−1
=3a−(a+1)(a+1)(a−1)⋅a+12a−1
=2a−1a−1⋅12a−1
=1a−1.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的乘法，即可化简.
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.
17.【答案】解：如图，点P即为所求.
【解析】先作∠ABC的平分线BD，再作BC的垂直平分线l，直线l交BD于P点，则P点满足条件.
本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.
18.【答案】证明：在△ABC中，∠B=50∘，∠C=20∘，
∴∠CAB=180∘−∠B−∠C=110∘.
∵AE⊥BC.
∴∠AEC=90∘.
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110∘，
∴∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中，
AD=AC∠DAF=∠CAB,AF=AB
∴△DAF≌△CAB(SAS).
∴DF=CB.
【解析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再利用三角形的外角性质得到∠DAF=110∘，从而∠DAF=∠CAB，再根据全等三角形的判定与性质可得结论.
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其判定定理是解决此题的关键.
19.【答案】解：(1)12;
(2)画树状图如下：
由树状图可得，一共有16种等可能的结果，其中两数之积是偶数的可能结果有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率716.
【解析】
【分析】
(1)从袋中随机摸出一个小球，有4种可能结果，摸出的这个小球上标有的数字是1的可能结果有2种，据此解答即可.
(2)根据题意可以画出相应的树状图，即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率.
本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率.
【解答】
解：(1)由题意可得，从袋中随机摸出一个小球，有4种可能结果，摸出的这个小球上标有的数字是1的可能结果有2种，
则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为24=12，
故答案为12;
(2)见答案.
20.【答案】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记的单价是(x−3)元，
根据题意，得 4x+6(x−3)=62
解得 x=8.
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元.
【解析】设大笔记本的单价为x元，则小笔记本的单价为(x−3)元，再根据等量关系列出方程，即可求解.
此题考查了一元一次方程的实际运用，根据题目蕴含的等量关系列出方程是解决问题的关键.
21.【答案】解：过点E作EH⊥AB，垂足为H，
由题意得：EH=FB，EF=BH=1.6m，
设EH=FB=xm，
在Rt△AEH中，∠AEH=26.6∘，
∴AH=EH⋅tan26.6∘≈0.5x(m)，
∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CDF=∠ABF=90∘，
∵∠CFD=∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴CDAB=DFBF，
∴1.8AB=2.4x，
∴AB=34x，
∴34x=0.5x+1.6，
解得：x=6.4，
∴AB=34x=4.8(m)，
∴该景观灯的高AB约为4.8m.
【解析】过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得EH=FB，EF=BH=1.6m，然后设EH=FB=xm，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出AB的长，再根据垂直定义可得∠CDF=∠ABF=90∘，从而证明△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性质可得AB=34x，从而列出关于x的方程，即可解答.
本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
22.【答案】解：(1)设y=kx+b(k≠0)，
根据题意，得0.2k+b=200.28k+b=22，
解得k=25b=15，
∴y与x之间的函数表达式为：y=25x+15;
(2)当x=0.3时，y=25×0.3+15=22.5.
∴当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m.
【解析】(1)设y=kx+b(k≠0)，根据题意利用待定系数法解答即可;
(2)把x=0.3代入(1)的结论解答即可.
此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解决问题的关键.
23.【答案】解：(1)补全频数分布直方图如下；54；
(2)x=120×(28+154+452+366)=50.
∴这20个数据的平均数是50;
(3)所求总个数：50×300=15000(个)
∴估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个.
【解析】
【分析】
(1)用总数减去其它三组的频数可得n的值，进而补全频数分布直方图，然后根据众数的定义解答即可;
(2)根据算术平均数的计算公式解答即可;
(3)用300乘(2)中所求的平均数可得答案.
本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数以及平均数.
【解答】
解：(1)由题意得，n=20−1−9−6=4，
补全频数分布直方图如下
这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54.
故答案为54.
(2)见答案；
(3)见答案
24.【答案】(1)证明：如图，连接DC，则∠BDC=∠BAC=45∘.
∵BD⊥BC′
∴∠BCD=90∘−∠BDC=45∘.
∴∠BCD=∠BDC.
∴BD=BC.
(2)解：如图，∵∠DBC=90∘，
∴CD为⊙O的直径，
∴CD=2r=6.
∴BC=CD⋅sin∠BDC=6sin45∘=3 2⋅
∴EC= BE2+BC2= 62+(3 2)2=3 6⋅
∵∠BMC=∠EBC=90∘，∠BCM=∠BCM，
∴△BCM∽△ECB.
∴BCEC=BMEB=CMCB.
∴BM=BC⋅EBEC=3 2×63 6=2 3，CM=BC2EC=(3 2)23 6= 6.
连接CF，则∠F=∠BAC=45∘，
∴∠MCF=45∘.
∴MF=MC= 6⋅
∴BF=BM+MF=2 3+ 6.
【解析】(1)连接DC，易得∠BDC=∠BAC=45∘，因为BD⊥BC′根据两锐角互余可得∠BCD=∠BDC，即可得证；
(2)由锐角三角函数和勾股定理可以求得BC，EC的长，由△BCM∽△ECB可得BCEC=BMEB=CMCB，进而得到BM和CM的长，再根据线段的和差关系得到BF=BM+MF.
本题考查圆周角定理，锐角三角函数及相似三角形的判定与性质，解题的关键是要掌握圆周角定理.
25.【答案】解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6,4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6)2+4，
把O(0,0)代入得0=a(0−6)2+4，
解得a=−19，
∴y=−19(x−6)2+4=−19x2+43x;
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x;
(2)在y=−19x2+43x中，
令y=3得：3=−19x2+43x;
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6(m)，
∴S1=AB⋅BC=3×6=18(m²);
∵18>12 2，
∴S1>S2.
【解析】(1)由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x;
(2)令y=3可得3=−19x2+43x，解得x=3或x=9，从而得BC=6m，S1=AB⋅BC=18m²；再比较S1，S2的大小即可.
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数的表达式.
26.【答案】解：(1)如图①，连接OP，OM，过点O作OM′⊥AB，垂足为M′，则OP+PM≥OM.
∵⊙O半径为4，
∴PM≥OM−4≥OM′−4.
∵OA=OB，∠AOB=120∘，
∴∠A=30∘.
∴OM′=AM′tan30∘=12tan30∘=4 3 .
∴PM≥OM′−4=4 3−4 ，
∴线段PM的最小值为 4 3−4 .
(2)如图②，分别在BC，AE上作BB′=AA′=r=30(m).
连接A′B′、B′O、OP、OE、B′E.
∵OM⊥AB，BB′⊥AB，ON=BB′，
∴四边形BB′ON是平行四边形．
∴BN=B′O.
∵B′O+OP+PE≥B′O+OE≥B′E，
∴BN+PE≥B′E−r.
∴当点O在B′E上时，BN+PE取得最小值．
作⊙O′，使圆心O′在B′E上，半径r=30(m)，
作O′M′⊥AB，垂足为M′，并与A′B′交于点H.
易证，△B′O′H∼△B′EA′.
∴O′HEA′=B′HB′A′ .
∵⊙O′在矩形AFDE区域内(含边界)，
∴当⊙O′与FD相切时，B′H最短，即，B′H=10000−6000+30=4030.
此时，O′H也最短．
∵M′N′=O′H，
∴M′N′也最短．
O′H=EA′⋅B′HB′A′=(10000−30)×403010000=4017.91 .
∴O′M′=O′H+30=4047.91.
∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m.
【解析】(1)连接OP，OM，过点O作OM′⊥AB，垂足为M′，利用三角形的三边关系得到OP+PM≥OM，从而PM≥OM−4≥OM′−4，只需求出OM′，即可求出PM的最小值；
(2)分别在BC，AE上作BB′=AA′=r=30m，连接A′B′、B′O、OP、OE、B′E，证出四边形BB′ON是平行四边形，因为B′O+OP+PE≥B′O+OE≥B′E，所以BN+PE≥B′E−r.所以当点O在B′E上时，BN+PE取得最小值，易证△B′O′H∼△B′EA′，从而求得B′H的长，再由O′HEA′=B′HB′A′得出O′H。
本题考查最短路线问题，相似三角形的判定与性质，圆与几何图形的综合问题，解决此题的关键是理解题意，找到最短路径.
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