天津市河西区2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题（Word版附解析）

这是一份天津市河西区2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学（一）
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可.
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.
故选：A
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】,
故的共轭复数为 ，
故选：B
3. 如图四个几何体中是棱锥的选项是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用棱锥的定义判断选项即可．
【详解】因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．所以中几何体为棱锥，
故选：．
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 向量与的长度相等 B. 两个相等向量若起点相同，则终点相同
C. 共线的单位向量都相等 D. 只有零向量的模等于0
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反向量、相等向量、单位向量和零向量的定义判断各个选项．
【详解】对于A，向量与互为相反向量，其长度相等，故A正确；
对于B，因为相等向量的方向相同，长度相等，则两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故B正确；
对于C，共线的单位向量可以是相反向量，故C错误；
对于D，因为模长为0的向量为零向量，所以只有零向量的模长等于0，故D正确．
故选：C．
5. 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（　　）
A. π B. 3π C. 2π D. 4π
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆柱表面积计算公式直接求解即可.
【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,
所以圆柱的表面积.
故选:D.
【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
6. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行向量坐标表示逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以共线，不能作为基底，A错误；
B：因为，所以不共线，可以作为基底，B正确；
C：因为，所以共线，不能作为基底，C错误；
D：因为，所以共线，不能作为基底，D错误.
故选：B
7. 在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＝
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可求出 所以．
【详解】如图，

∴；
故选A．
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．
8. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A. ，，，有两解
B. ，，，有一解
C. ，，，有一解
D. ，，，无解
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可.
【详解】A中，因为，所以，
又，所以，即只有一解，故A错误；
B中，因，所以，
且，所以，故有两解，故B错误；
C中，因，所以，
又，所以角B只有一解，故C正确；
D中，因为,,，所以，有解，故D正确.
故选：C.
9. 已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知等式，结合向量减法法则化简，而三点共线，可得，解得的值，设，可得，所以，从而求出的值．
【详解】，，
整理得，，
当时，显然不成立，故，
所以，
，，是直线上不同的三点，
，解得，，
设，，
，
，解得，即．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分．
10. 已知i是虚数单位，化简的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数除法运算直接化简可得.
【详解】

故答案为：

11. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据球体表面积与体积公式，确定比例关系，
【详解】设两球的半径分别为，，
∵球体表面积公式，，
∴，
∵球体体积公式，
∴.
故答案为：
12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】在中，，，，
由余弦定理可得，则.
故答案为：
13. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
14. 将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的体积公式求解．
【详解】正方体的棱长为6，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，
则球的直径为6，半径为3．
∴可能制作的最大零件的体积为.
故答案为：．
15. 如图所示，在梯形中，，，，，点为的中点，若向量在向量上的投影向量的模为，______；设为线段上的动点，则的最小值为______.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，由与可构造方程求得点坐标，由向量数量积坐标运算可得；设，可得，则可将表示为关于的函数，利用二次函数最值求法可得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，

则，，，，设，
，，
向量在向量上的投影向量的模为，，
，
又，，解得：，；
，；
设，，
又，，，解得：，
，，，
，
，当时，取得最小值.
【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知是复数，与均为实数．
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ） z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6
【解析】
【详解】（1）设
所以，；

由条件得，且，
所以
(2)
由条件得：，
解得所以，所求实数的取值范围是-
17. 已知向量与，，.
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相平行，求k的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）结合向量减法的坐标表示即可求解；
（2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；
（3）结合向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以；
（2），
（3），，
由题意可得，，
整理可得，，
解可得，.
【点睛】本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型.
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）若，，求边c的长；
（2）若，求角B大小．
【答案】（1）5 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理角化边，然后带入已知可得；
（2）利用正弦定理边化角，然后结合已知和诱导公式求解可得.
【小问1详解】
由及余弦定理，
得，∴．
代入，，得，解得．
【小问2详解】
由及正弦定理，得，
∵，∴，
即，解得或，
又，所以，所以．