2022-2023学年新疆兵团地州十二校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆兵团地州十二校联考高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  现有甲部门的员工人，乙部门的员工人，丙部门的员工人，从这三个部门的员工中任选人参加接待客户的活动，不同的选法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等差数列的前项和为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  从名同学中选出正、副组长各名，不同的选法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  被除的余数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  美丽的新疆让不少旅游爱好者神往，某人计划去新疆旅游，在火焰山、喀纳斯村、卧龙湾、观鱼台、阿克库勒湖、那仁草原、天山天池、赛里木湖、那拉提、葡萄沟这个景点中选择个作为目的地已知火焰山必选，则不同的选法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知随机事件，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若数列满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的月日是我国法定的植树节某班名男同学和名女同学约定周末一起去植树，现需将人分成三组，每组人，各小组内人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知离散型随机变量的分布列为

则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，则(    )

A.
B.
C.
D.

11.  若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点若函数在区间上有两个不同的平均值点，则的取值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知首项为的数列，其前项和，数列满足，其前项和为，则(    )

A. 数列是常数列 B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若随机变量满足，则 ______ ．

14.  已知非常数函数的导函数为，若对恒成立，则的一个解析式可以是 ______ ．

15.  等比数列的前项和为，且，，成等差数列若，则 ______ ．

16.  夺冠这部影片讲述的是中国女排从年首夺世界冠军到年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的精神某排球赛采用五局三胜制先胜三局者获胜，前局每局分，第局分在每局的每一个回合中，赢的球队获得分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于得分方经过统计，甲、乙两支球队在前局比赛中，甲每局获胜的概率为，各局相互独立且互不影响，在第局每一个回合中，输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，当乙队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，那么在第局开始之前甲队不输的概率为______ ；若两支球队比拼到第局时，甲队拥有发球权，则甲队在前个回合中至少获得分的概率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求在上的最值．

18.  本小题分
已知公差不为的等差数列的首项，设其前项和为，且成等比数列．
求的通项公式及；
记，证明：．

19.  本小题分
已知的展开式中所有二项式系数之和为．
求的展开式中所有项的系数和；
求的展开式中所有有理项．

20.  本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．

21.  本小题分
某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得分，第二名得分，第三名得分，第四名得分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为．
求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率．
“挑战答题”活动规则如下：参赛者从道题中随机选取道回答，每道题答对得分，答错得分若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的道题中只有道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为，求随机变量的分布列与数学期望．

22.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性．
若存在两个零点，，且曲线在和处的切线交于点
求实数的取值范围；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由现有甲部门的员工人，乙部门的员工人，丙部门的员工人，
从这三个部门的员工中任选人参加接待客户的活动，
结合分类计数原理，可得共有种不同的选法种数．
故选：．
根据题意，结合组合数公式和分类计算原理，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
因为等差数列的前项和为，可得，
即，即，
又由，可得，
联立方程组，解得，，
所以．
故选：．
设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求得，，结合等差数列的通项公式，即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：从名同学中选出正、副组长各名，不同的选法种数为．
故选：．
根据排列数公式即可求解．
本题考查排列数公式，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，即能被整除，
又由，
所以被除的余数为．
故选：．
根据能被整除，化简，结合二项展开式，即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，火焰山必选，剩余个景点，
故从另外个景点中选个的选法有种．
故选：．
根据题意可知，火焰山必选，剩余个景点，根据组合的知识求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以又因为，
所以，
所以是周期为的数列，故．
故选：．
利用数列的周期性即可求得的值．
本题主要考查数列的递推式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为每组人，各小组内人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，
所以每组中男女分配只有一种可能，即两个男生和一个女生，
若男同学甲与女同学乙在同一个小组，再从个男生中抽取一个男生，有中，
剩余的分成两组，共有种分法，所以共有分法，
若将个男生和个女生，分为组，且每组中两个男生和一个女生，
共有分法，
所以男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法，共有种分法，
又因为每组中的两名男生有种不同的分配情况：
所以不同的安排方法种数为种．
故选：．
根据题意得到每组中两个男生和一个女生，先求得男同学甲与女同学乙不在同一个小组，有分法，再求得将个男生和个女生，分为组，结合平均分组的计算方法，求得有分法，进而得到男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法为种分法，再根据每组中的两名男生有种不同的分配情况，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，由离散型随机变量的分布列的性质得，解得，故A不正确；
选项，因为，所以B正确；
选项，因为，所以不正确；
选项，因为，所以D正确．
故选：．
根据离散型随机变量的分布列的性质可求得值，根据期望与方差公式计算即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查期望、方差的计算，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，可得，故A错误；
令，可得，故B正确；
令，可得，
结合选项B，两式作差，可得，
即，故C正确；
令，可得，故D正确．
故选：．
根据题意通过赋值逐项分析判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为函数在区间上有两个不同的平均值点，
则有两个不同的根，
整理得，
构建，则原题意等价于与有两个不同的交点，
因为，令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，
因为，
所以的取值不可能是．
故选：．
根据题意分析可得原题意等价于与有两个不同的交点，求导，利用导数判断单调性，结合图象分析判断．
本题考查函数单调性以及恒成立相关知识，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在数列中，当时，，
即，
整理得，
即，
显然数列是常数列，故A正确；
因为，
所以，所以，故B错误；
数列满足，
所以，故C正确；
令，
则，
所以



，
所以，故D正确．
故选：．
当时，，得到，即可判断；结合，得到，即可判断；根据数列满足，令，即可判断；计算，再将代入，即可判断．
本题考查数列的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查方差的线性公式，属于基础题．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：因为对恒成立，
所以恒成立，
则满足条件的一个．
故答案为：答案不唯一．
由已知结合函数的求导公式及复合函数的求导法则即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题，
 

15.【答案】 

【解析】解：设公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
即，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合等比数列的通项公式先求出公比，然后结合等比数列的求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：因为在第局开始之前甲队不输的情况包括：甲：胜，甲：胜，甲：平，对应的概率分别记为，，，
，，，
所以甲队不输的概率．
在前个回合中，甲队至少获得分对应的胜负情况为胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共种情况，对应的概率分别记为，，，，
则，，，
所以甲队在前个回合中至少获得分的概率．
前局甲队不输的情况包括了甲：胜，甲：胜，甲：平，利用相互独立事件的乘法公式计算即可；
在前个回合中，甲队至少获得分对应的胜负情况为胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共种情况，利用相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

17.【答案】解：．
，又，
曲线在处的切线方程为，即．
，令，得或．
当时，；当时，．
在上单调递减，在，上单调递增．
，，．
，，，
故在上的最小值为，最大值为． 

【解析】对求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程；
利用导数求出的单调性，进而可得函数的最值．
本题主要考查函数导数的几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据题意可知，成等比数列，
即，即．
设的公差为，，
即，即．
因为，所以，
所以．
故的通项公式为，前项和公式为；
证明：根据可知，，
所以，
根据裂项相消法得到

．
因为，，
所以． 

【解析】根据成等比数列，得到设的公差为，，求出通项公式和前项和公式即可；
根据，结合裂项相消法，证明即可．
本题考查数列的综合应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为的展开式中所有二项式系数之和为，
所以，得到，
所以，
令，得到，
所以的展开式中所有项的系数和为；
因为二项展开式的通项公式为，
即，
所以当或或或时，为有理项，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
的展开式中所有有理项为． 

【解析】先利用条件求出，再利用赋值法即可求出结果；
利用通项公式即可直接求出结果．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：，当时，，
两式相减，得，整理得，
即时，，又当时，，解得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
由知，，
令，易知，，
设数列的前项和为，则，，
由，得，
即，
，
． 

【解析】根据条件，利用与的关系，得到，再求出，即可求出结果；
利用所求结果得到，然后利用分组求和及错位相减法即可求出结果．
本题考查数列递推式，数列的求和，考查利用错位相减法进行数列求和，属于中档题．
 

21.【答案】解：设甲在“四人赛”中获得的分数为，
则甲在“四人赛”中累计得分不低于分包含了或或或．
；
；
；
，
所以甲在“四人赛”中累计得分不低于分的概率，
故甲能进入“挑战答题”活动的概率；
根据题意可知，，，
又；；
；．
所以的分布列如下表所示：

所以． 

【解析】设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得答案．
确定随机变量的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
 

22.【答案】解：．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得．
当时，，当时，，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
由知，当时，在上单调递减，不可能有两个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
又，；，；
所以的取值范围是．
证明：曲线在和处的切线分别是：
，
联立两条切线方程得，所以．
因为，所以．
要证，只需证，
即证，只要证
令，
则，所以在上单调递减，
所以，
所以，所以． 

【解析】利用导数分成，两种情况讨论函数的单调性；
利用导数得出函数的单调性，结合函数图像得出实数的取值范围；
由曲线在和处的切线方程联立，得出，又存在两个零点，，代入得出，
要证，只需证，即证，只要证即可．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，分析法的应用，化归转化思想，属难题．