2022-2023学年新疆兵团地州部分学校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆兵团地州学校高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合 ，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合交集的定义即可求解.

【详解】由题得.

故选:D.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定形式，直接判断选项.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“，”的否定是“，”.

故选：B

3．已知幂函数的图像关于轴对称，则的值可能为（    ）

A．0 B． C．1 D．3

【答案】A

【分析】由幂函数性质可知，当 为偶数时， 为偶函数即可求解.

【详解】由题意得为偶函数，所以为偶数，即为偶数.

故选：A

4．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作差法比较两数的大小.

【详解】因为，

所以.

故选：B

5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据定义域的定义，以及抽象函数的定义域求法，可得答案.

【详解】由，得.令，得的定义域为.

故选：A.

6．已知集合，，，则下列正确表示和关系的韦恩图是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求解集合B中的不等式，再求解，，根据结果判定对应韦恩图即可.

【详解】由题意，解得，

故，

所以或，所以.

故选：D

7．已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分段函数在上单调递减等价于各段函数均单调递减，及分段处满足左侧大于等于右侧

【详解】因为在上单调递减，所以得.

故选：C

8．已知函数，，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】，由复合函数的值域即可求

【详解】由题意得，因为，所以，，所以.

故选：C

9．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（    ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】B

【分析】利用自恋数的定义和子集的个数求解.

【详解】解：因为所以4是自恋数，

因为，所以26不是自恋数；

因为，所以81不是自恋数；

因为，所以153是自恋数；

因为，所以370是自恋数；

所以，

则子集个数为.

故选：B

10．“”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由充分不必要条件的定义求解即可

【详解】对于A：令，则，不能推出，A错误.

对于B：令，则，不能推出，B错误.

对于C：由，得，则，

反之令，则，但不成立，C正确.

对于D：由，得，令，不能推出，D错误.

故选：C

11．某公司计划建造一间体积为的长方体实验室，该实验室高为3m，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为（参考数据：）（    ）

A．9.91万元 B．9.95万元 C．10.1万元 D．10.5万元

【答案】A

【分析】建立函数关系式了，利用基本不等式求解函数的最小值即可.

【详解】由题意得，地面面积和天花板面积均为，

设实验室造价为元，地面的长为，则宽为，

墙壁面积为，

所以

万元，当且仅当，即时，等号成立.

故选:A.

12．已知函数，的定义域为，是奇函数，函数的图像关于直线对称，且函数，对任意，，且，都有，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得为偶函数，从而可得为偶函数，然后根据偶函数的性质，结合单调性即可解得不等式.

【详解】因为的定义域为，

所以的定义域为，关于原定对称，

因为函数的图像关于直线对称，

所以的图像关于轴对称，为偶函数，

又因为为奇函数，

所以，

所以为偶函数，图像关于轴对称，

又因为对任意，，且，都有，

所以在单调递增，

由可得

平方整理可得，解得或，

所以的解集为

故选:C.

二、填空题

13．若为偶函数，则______.

【答案】2

【分析】根据偶函数的性质即可求得的值，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】因为为偶函数，

则，即，解得

则，即.

故答案为:.

14．已知，则的最小值为______.

【答案】13

【分析】构造乘积为定值的式子利用基本不等式即可求解.

【详解】由题意得，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为:13.

15．已知集合，，若，，则______.

【答案】3

【分析】根据题意可得1，，，然后分与讨论，即可得到结果.

【详解】由题意得1，，，

当时，则不满足元素互异性，

当即时，，，满足要求.

所以.

故答案为:

16．已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性及单调性得到大概趋势，则分两种或讨论即可.

【详解】因为函数是定义域为的奇函数，则，，

在上单调递减，由，得或得或，即.故解集为

故答案为：.

三、解答题

17．在下列各题中，判断是的什么条件.（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答，不必证明）

(1)：，：；

(2)在平行四边形中，：，：四边形是正方形；

(3)：，：.

【答案】(1)是的既不充分也不必要条件

(2)是的必要不充分条件

(3)是的充要条件.

【分析】依次判断与之间是否能够由一个推出另一个即可.

【详解】（1）是的既不充分也不必要条件.

原因如下（不需写出）：

即，

即，

故是的既不充分也不必要条件.

（2）是必要不充分条件.

原因如下（不需写出）：

对角线相等的平行四边形是矩形，因此在平行四边形中，四边形是正方形，

正方形的对角线相等，因此四边形是正方形，

故是必要不充分条件.

（3）是的充要条件.

原因如下（不需写出）：

即与的交点组成的集合，

解得交点为和，即

，

∴，

，

故是的充要条件.

18．已知幂函数在上单调递减.

(1)求的值；

(2)若函数的图象与轴交于，两点，求在上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由幂函数定义可得，解得，再求解即可；

（2）代入可得，结合韦达定理可求解得，，结合二次函数性质可求解.

【详解】（1）由题意得，

解得或，且，即，

所以

故.

（2）由（1）得，

由题意得，6是方程的两个根，

则

解得，，

因为为开口向上的二次函数，且对称轴为，

因此在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

故在上的值域为.

19．已知是定义域为的奇函数，当时，.

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明.

【答案】(1)

(2)在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）结合条件，利用奇函数性质得，以及由的解析式可求出的解析式；

（2）由定义法证明单调性

【详解】（1）由题意得，当时，；

当时，.

故

（2）在上单调递增.

证明：由题意得，，

设，，且，

则，

由，得，得，即，

所以，即. 故在上单调递增.

20．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.

已知集合，，是否存在实数，使得______，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【分析】结合集合运算法则即可，其中等价于

【详解】选择①：存在实数，且的取值范围为. 理由如下：

由，得，所以，所以或，

由得，所以当时，，得.

当时，，或，解得.

所以的取值范围为.

选择②：存在实数，且的取值范围为. 理由如下：

由，得，所以，

所以或，

又，所以当时，，得.

当时，，得.

所以的取值范围为.

21．已知：，，：，.

(1)若为真命题，求的取值范围；

(2)若，中至少有一个为真命题，求的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）转化为，求解即可；

（2）结合判别式可得若为真命题的取值范围，分真真，真假，假真三种情况讨论即得解.

【详解】（1）由题意得，，因为，所以，

又，

所以，故的取值范围为.

（2）若为真命题，则，得.

若真真，则得.

若真假，则，得.

若假真，则得.

故的取值范围为.

22．已知，.

(1)若，求的最小值；

(2)若，证明：.

【答案】(1)4

(2)证明见解析

【分析】（1）先利用基本不等式得到，对不等式变形得到，求出最小值；

（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】（1）由题意得，即，

所以，

当且仅当时，等号成立，

故的最小值为4

（2）证明：因为，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

故.