压轴专题12 导数综合问题大题综合2023 届新高考数学复习尖子生30题难题突破（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西5省通用）

压轴专题12 导数综合问题大题综合

1．（2023·安徽合肥·统考一模）已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于x的方程有两个实数解，求a的最大整数值．

2．（2023·安徽·统考一模）已知函数.

(1)若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；

(2)当时，证明：.

3．（2023·云南红河·统考二模）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，恒成立，求的取值范围；

(3)设，，证明：．

4．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．

5．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数，其中．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)已知在区间上存在唯一的极小值点．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）记在区间上的极小值为，讨论函数的单调性．

6．（2023·吉林白山·统考三模）已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若是的两个零点，且，证明：.

7．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知函数满足恒成立.

(1)求的取值范围；

(2)设，求在上的零点个数；

(3)在（2）的条件下，设在上最小的零点为，若且，求证：.

8．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）设函数，．

(1)分别求与的最大值；

(2)若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，，，其中，证明：，，成等比数列．

9．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知函数，．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；

(3)设时，证明：．

10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点，，证明：．

11．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，，.

(1)判断的单调性；

(2)若有唯一零点，求的取值范围.

12．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数．

(1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若，求证：．

13．（2023·山西太原·统考一模）已知函数.

(1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；

(2)在（1）的条件下，证明：

①；

②.

14．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数．

(1)讨论在上的单调性；

(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．

15．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围．

16．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知函数（，为自然对数的底数），.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有两个零点，求实数的取值范围；

(3)若不等式对，恒成立，求实数的取值范围.

17．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，．

(1)求的单调区间；

(2)证明：；

(3)设，，证明：．

18．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知函数，在处取到极值．

(1)求，并指出的单调递增区间；

(2)若与有两个交点，且，证明：．

19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数.

(1)证明：；

(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.

20．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知函数是的导数．

(1)当时，求函数在上的最值；

(2)当时，方程有两个不同的实数根，求证：

21．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设函数，.

(1)若，讨论的单调性；

(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.

22．（2023·黑龙江哈尔滨·校联考一模）已知函数，为函数的导函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若为的极值点，证明：.

23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知函数．

(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知函数，．

(1)若不等式恒成立，求 的取值范围；

(2)若时，存在4个不同实数，，，，满足，证明：．

25．（2023·安徽淮北·统考一模）已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，令

（ⅰ）证明：当时，；

（ⅱ）若数列满足：，，证明：．

26．（2023春·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）设函数，其中，．

(1)若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求t的最小值；

(2)证明：对任意正数a，b，仅存在唯一零点．

27．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）设函数.

(1)若，，求a的取值范围；

(2)若且，证明：.

28．（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知函数，其中，是自然对数的底数.

(1)若，证明：当时，；当时，.

(2)设函数，若是的极大值点，求实数的取值范围.

（参考数据： ）

29．（2023·云南昆明·校联考一模）已知函数.

(1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点；

(2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.

30．（2023·云南昆明·统考一模）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求实数的取值范围．