压轴专题11 圆锥曲线综合问题大题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西5省通用）

压轴专题11 圆锥曲线综合问题大题综合

1．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知抛物线，点在C上，A关于动点的对称点记为M，过M的直线l与C交于，，M为P，Q的中点．

(1)当直线l过坐标原点O时，求外接圆的标准方程；

(2)求面积的最大值．

2．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线过双曲线的一个焦点，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点作一条斜率为k的直线，若直线上存在点P，使得过点P总能作C的两条切线互相垂直，求直线k的取值范围.

3．（2023·云南昆明·统考一模）已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．

(1)求的标准方程；

(2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．

4．（2023·安徽淮北·统考一模）已知椭圆，A、F分别为的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与交于M点（第二象限），．

(1)求椭圆的离心率e；

(2)若，直线，l交于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，．

（ⅰ）若l过F，求的值；

（ⅱ）若l不过原点，求的最大值．

5．（2023·安徽宿州·统考一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.

6．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.

(1)求的顶点的轨迹方程；

(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.

(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7．（2023·吉林延边·统考二模）知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

8．（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.

(1)求双曲线的方程；

(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.

（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；

（ii）求的取值范围.

9．（2023·吉林·统考二模）在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.

10．（2023·吉林白山·统考三模）已知是椭圆的右焦点，且在椭圆上，垂直于轴.

(1)求椭圆的方程.

(2)过点的直线交椭圆于（异于点）两点，为直线上一点.设直线的斜率分别为，若，证明：点的横坐标为定值.

11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，．

(1)若点，在双曲线C上，求C的方程；

(2)若点P为双曲线C右支上一点，I为的内心，且，过原点O作PI的平行线交于点K，求证：，且点I的横坐标等于PK的长．

12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆E上，C关于y轴的对称点为，且．

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线AB过F（A点横坐标小于1）与椭圆E交于A，B两点，直线AC交直线于点M，证明：直线MF平分．

13．（2023·吉林·统考三模）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．

14．（2023·山西临汾·统考一模）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为，__________.

①为等差数列；②为等比数列.

(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；

(2)（1）中所求的左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于两点，求以为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由

15．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）已知双曲线，其右焦点为，焦距为4，直线过点，且当直线的倾斜角为时，恰好与双曲线有一个交点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线交双曲线于两点，交轴于点，且满足，判断是否为常数，并给出理由.

16．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．

17．（2023·山西太原·统考一模）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，其离心率，直线与圆相切.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆相交于、两个不同点，过点作轴的垂线分别与、相交于点和，证明：是中点.

18．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）在平面直角坐标系中，已知动点．记动点P的轨迹为曲线E．

(1)求E的方程；

(2)点M为直线上一点，过点M作曲线E的切线，切点为Q，问在x轴上是否存在定点T，满足？若存在，求出定点T的坐标：若不存在，请说明理由．

19．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，是双曲线的左､右顶点，为双曲线上与，不重合的点.

(1)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；

(2)设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.

20．（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值．

21．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.

22．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为，焦距为．

(1)求双曲线E的方程；

(2)P为直线上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．

23．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．

24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知椭圆：，设过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，点为直线上不同于点A的任意一点.

(1)若，求的取值范围；

(2)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.

25．（2023·云南昆明·校联考一模）已知圆：，为圆上一动点，，线段的垂直平分线交于点G.

(1)求动点G的轨迹C的方程；

(2)已知，轨迹C上关于原点对称的两点M，N，射线AM，AN分别与圆交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，.

①求AM与AN的斜率的乘积；

②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

26．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知曲线，其离心率为，焦点在轴上．

(1)求的值；

(2)若与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：当时，，，三点共线．

27．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：的周长为定值.

28．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

29．（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知分别是椭圆的左､右顶点，若椭圆的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于，（异于，两点）两点，连接，并延长，分别交直线于不同的两点，.证明：直线与直线相交于点.

30．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知椭圆C：的离心率为，的面积为2.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.