【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-2.2《基本不等式》同步讲学案

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2．2　基本不等式知识点一　基本不等式1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二　用基本不等式求最值用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等.(1)a，b是正数；(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 题型一、基本不等式比较大小1．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（       ）A． B． C． D．2．(多选)当a，时，下列不等关系不成立的是（       ）A． B． C． D． 3．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（       ）A． B． C． D． 题型二、基本不等式求和的最小值1．（1）若，求的最小值，并求此时的值．（2）若实数，求的最小值，并求此时的值．（3）求函数的最小值．（4）已知，求的最小值.（5）已知，求函数的最大值． 2．已知，求的最小值．  题型三、基本不等式求积的最大值1．（1）已知，且，求的最大值；（2）已知，，且，求的最大值．（3）已知，，且满足，求的最大值 2．（1）已知，求函数的值域；（2）已知，求的最大值．  3．已知正数满足，求下列式子的最大值．(1)(2)  题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值1．（1）当时，求函数的最小值．（2）当时，求函数的最小值.（3）已知，求最小值.  2．若，求函数的最小值.   题型五、基本不等式“1”的妙用求最值1．观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足 ，求的最小值．解：∵， ∴，当且仅当，结合得，时等号成立，∴的最小值为．请类比以上方法，解决下面问题：(1)已知正实数x，y满足，求 的最小值；(2)已知正实数x，y满足 ，求的最小值．  2．（1）若正数满足，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值．（3）已知且，求的最小值．   3．已知，，且，求的最小值．   题型六、条件等式求最值 1．求解下列问题：(1)若，且，求的最小值；(2)若，且，求的最小值.  2．设x＞0，y＞0.(1)若x+2y＝4 ，求的最大值；(2)若x+2y＝5 ，求的最小值；(3)求的最小值.  3．已知正数a，b满足(1)求ab的最大值；(2)求的最小值．  4．已知正实数，满足，求的最小值.   题型七、基本不等式的恒成立问题1．已知，．(1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若不等式恒成立，求实数m的最小值；(3)若．且恒成立，求正实数a的最小值．  2．已知，，且.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.   题型八、对勾函数求最值1．(1)已知，求的最大值，并求此时x的值；(2)已知，求的最小值(提示：利用图像助解)． 2．已知，则的最值为（     ）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 3．（1）求函数在上的最小值；（2）若函数在上的最小值为6，求的取值范围；（3）若函数在上是减函数，求的取值范围.  4．求下列函数的最值：（1）已知函数，求此函数的最大值（2）已知，求的最小值．   题型九、有关基本不等式的应用题1．某地政府为增加农民收人，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.(1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；(2)求加工后的该农产品利润的最大值.  2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形生态种植园．设生态种植园的长为，宽为． (1)若生态种植园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值．   3．运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元．（不考虑其他因所素产生的费用）(1)求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；(2)当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值．   题型十、证明不等式1．证明：(1)；(2)．  2．已知.证明：；  3．已知正数，满足，证明：    1．若，，，则下列不等式恒成立的是（       ）A． B．C． D． 2．若，且，则下列不等式一定成立的是（       ）A．        B．         C．      D．  3．若 ，且 ，试找出2，2ab中的最大者．  4．(1)当x＞0时，求＋4x的最小值；(2)当x＞1时，求2x＋的最小值.  5．已知，求最大值.  6．（1）已知，求的最小值；（2）已知，，求的最大值.  7．当x<时，求函数y＝x＋的最大值.  8．已知，且，求的最小值.  9．（1）已知，求的最大值．（2）已知，求的最大值．  10．（1）若对成立，求a的取值范围；（2）若x>-3，求函数最小值.  11．已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值.   12．已知，且，求ab的最大值.  13．已知x，y都是正实数．(1)求证：；(2)若，求的最小值．  14．已知函数（1）求函数的最小值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.  15．已知.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求实数m的取值范围.   16．如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.  17．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量为万件与促销费用万元满足.已知万件该商品的进价成本为万元，商品的销售价格定为元/件.(1)将该商品的利润万元表示为促销费用万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？   1．（多选）已知，则a，b满足（       ）A． B． C． D．2．（多选）设，则下列不等式中一定成立的是（       ）A． B．C． D．  3．（多选）若，则（       ）A． B． C． D． 4．（多选）设a＞0，b＞0，则（            ）A． B．C． D．  5．（多选）已知，，且，则（       ）A． B． C． D． 6．（多选）若a＞b＞0＞c，则(       )A． B． C． D．  7．若正数，满足，求的最小值.  8．（1）求函数的最小值；（2）解关于的不等式：.  9．（1）已知，求函数的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．  10．若，求的最小值；  11．已知，，且.(1)求的最大值.(2)若，求的最小值.  12．已知正数满足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.  13．已知，求函数的最小值．  14．（1）已知，，，求的最小值，及此时x、y的值；（2）已知，，，求的最小值，及此时x、y的值． 15．（1）比较与的大小.（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.  16．求下列函数的最值(1)已知，求的最小值；(2)已知0＜x＜1，求的最大值；(3)已知，且， 求的最小值.  17．（1）设，，且，求的取值范围；（2）设，若，求的最大值．   18．（1）已知，求函数的最小值；（2）已知，且，求的最大值．   19．已知正数，，满足．(1)求的最大值；(2)证明：．    20．已知均为正数，且.(1)求的最小值；(2)证明：.  21．已知.求的最小值.   22．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用（单位：万元）满足（ k 为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.(1)将2021年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？(3)若该厂家2021年的促销费用不高于2万元，则当促销费用为多少万元时，该厂家的利润最大？