【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.3《幂函数》同步讲学案

这是一份【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.3《幂函数》同步讲学案，文件包含暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-33《幂函数》同步讲学案解析版docx、暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-33《幂函数》同步讲学案原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共34页， 欢迎下载使用。
3．3　幂函数

知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减

知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当00必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确
故选：C．

4．“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为是定义在上的增函数，又，
所以，解得，
因为由可推出，而由无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.

5．（多选）若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（       ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【详解】对于A，当时，定义域为，不符合题意，故选项A不正确；
对于B，当时，的定义域为且为奇函数，故选项B正确；
对于C，当时，的定义域为且为偶函数，故选项C不正确；
对于D，当时，的定义域为且为奇函数，故选项D正确；
故选：BD.

6．（多选）下列说法中错误的是（       ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B．的图象是一条直线
C．若函数的定义域为，则它的值域为
D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是
【答案】BCD
【详解】对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；
对于B，因为当时，无意，即在无定义，所以B错；
对于C，函数的定义域为，则它的值域为，不是，所以C错；
对于D，定义域不一定是，如，所以D错.
故选：BCD.

7．（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（       ）
A．函数为增函数
B．函数为减函数
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【详解】设幂函数为实数，∵其图像经过点，∴，解得，
∴，其定义域为，且在上为增函数，A正确；
时，，选项C正确；
∵函数是上凸函数，
∴对定义域内任意的，都有成立，选项D错误.
故选：AC.

8．写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.
故答案为：（答案不唯一）.

9．写出一个同时具有下列三个性质的函数：________.①；②在上单调递增；③.
【答案】或其他
【详解】例如，是单调递增函数，，满足三个条件.
故答案为：.（答案不唯一）

10．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
【答案】
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：

11．已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【详解】(1)依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
(2)若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
(3)若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
12．已知幂函数．
(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；
(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．
【详解】(1)根据题意，当时，，
因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调减函数，
故，即的取值范围为.
(2)根据题意，当时，，
因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调增函数，
故，即的取值范围为.

13．比较下列各组数的大小：
(1)，1，
(2)，
(3)，
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】(1)，幂函数在区间上是增函数，故；
(2)，幂函数在上减函数，故；
(3)函数为减函数，，
又函数在上是增函数，，即.

14．已知，函数的图像关于原点对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值．
【答案】1，3，5，7.
【详解】因为幂函数的图象关于原点对称，且与x轴、y轴均无交点，所以，解得，
因为，所以的值为奇数，
所以当时，，图象关于原点对称，满足题意；
当时，，图象关于y轴对称，不满足题意；
当时，，图象关于原点对称，满足题意；
当时，，图象关于y轴对称，不满足题意；
当时，，图象关于原点对称，满足题意；
当时，，图象关于y轴对称，不满足题意；
当时，，图象关于原点对称，满足题意；
综上所述：m的值为：1，3，5，7.

15．已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
【详解】(1)因为幂函数的图象经过点，则有，所以，
所以；
(2)因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，解得，
所以满足条件  的实数  的取值范围为 .